【正文】 雖然上述定理給出了矩陣方程 有唯一解的充分與必要條件，但要寫DXBA??出它們解矩陣 的明顯表達(dá)式一般是不容易的。若 與 為穩(wěn)定矩陣，mCA??nB?即所有特征值的實(shí)部小于零的矩陣，則 的解 有明顯的表達(dá)式。X定理 設(shè) 與 為穩(wěn)定矩陣，且 給定。則線性矩陣方程mCA??n? n有唯一解 ，并且，DXBA??X dtDeBAt????0（）證 本定理的假定保證了 與 沒有相同的特征值，因而按定理 ，AB有唯一解 ?，F(xiàn)考慮初值問題XBA??X ,)()(BtZtZ???0（）式中， 為定義在 上的矩陣值函數(shù)。直接驗(yàn)證可得， 為nmCtZ??)(),0[??BtAtCe)(問題（）的解。自 對(duì)方程（）的兩端求積分便有?t到,?????00)()(( BdtZtAZ即有.)(00 ????? DtCedteABtBt因此，為了證明由（）式確定的 為 的解，只需驗(yàn)證上式中X。為此只要證明： 對(duì)任意穩(wěn)定矩陣 成立。但按普分lim)(???BtttCeZlim??Att A確定理，我們有 ， ，kjtjskAt Eeek????100?t 19式中， 為 不同的特征值， 分別為它們的指標(biāo)， 為 的分s?,21? Asm,21? kjEA量?，F(xiàn)令 ， 分別為 的實(shí)部和虛部。按 為穩(wěn)定矩陣的假設(shè)，kkia???k與 k?A，因而ak,0??.???tetttajjkk ,0于是， 。所以結(jié)論成立。lim??Atte前面我們討論了 有解與有唯一解的條件，現(xiàn)在討論當(dāng)此方程有解時(shí)，DXB?解的結(jié)構(gòu)形式。具體步驟如下。首先取 ,我們得到如下特殊的矩陣方程：OCA?, , X?nCA??（）求解方程（）等價(jià)于尋求與 可交換的所有矩陣。顯然，方程（）有無限n??多個(gè)解。事實(shí)上， 為復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式）總是它的解。在下面定理 中將)(ApX給出方程（）的解的表達(dá)式，接著，應(yīng)用這個(gè)結(jié)果討論 解的表達(dá)式與OXBA??它的解空間的構(gòu)造。由于 的解可以表示為齊次方程 的同解與DB??非齊次方程 某個(gè)特解之和，故最后我們只要討論 有解的條A?? D件即可。定理 設(shè) 有形式 ,這里 為 的 JordannC??1?PJA],[21pJdiag??A正規(guī)形式， 分別是對(duì)應(yīng)于 的特征值 的 Jordan 塊。則pJ,21? p?,21?為方程（）解的充分與必要條件為 ,其中， 是與 有相nCX?? ?YPX[stY?同分塊形式的分塊矩陣。接著考慮齊次線性矩陣方程 OBA?（）的解的形式。主要的技巧是將它歸結(jié)為前面討論過的問題。顯然，方程（）有解。假定 為它的解，則可以驗(yàn)證X ?????????????BOIXnm與（）可交換，反之，若（）式中兩個(gè) 階矩陣可交換，則 必定為方程（）的)n?（解。因此，對(duì)（）式中這兩個(gè)矩陣應(yīng)用定理 的結(jié)果，我們有，],[111 ppkkA NIIdiagPJ ??? ???，qqrrBQ??則矩陣方程（）的任意解 有形式 ,其中 （ ）是X?YtsY,1[?)(,CMtrk?矩陣方程 的一般解。OYJA?類似地，將推論應(yīng)用到矩陣方程 20 ????????nmIOXBA???????BOAInm（）我們有如下結(jié)果推論 矩陣方程（）的一般解呈如下形式： ， iaiXv??1（）式中， 為方程（）的線性無關(guān)解，而aX,1? ， ?qtstpsa1（）這里， 為 的初等因子 的初等因子 的最),(qtpst ?ABsk?與)(?tr)(???大公因式的次數(shù)。 我們順便指出， （）式中 恰為（）解空間的維數(shù)，因而也等于 ,其a dimKeG中 。TTmnBIAG?????)(最后考慮一般非齊次矩陣方程 DXBA??（）它等價(jià)于線性代數(shù)方程組 ，于是， ， ，因此，cGx?T?)()(vecvecx與若方程（）可解，則它的解或是唯一的，或有無限多個(gè)，且一般解為方程（）的一般解與方程（）的某個(gè)特解之和。下面的基本結(jié)果應(yīng)用非構(gòu)造性辦法給出方程（）有解得充分與必要條件。顯然，它相當(dāng)于 ??cGrank?? 矩陣方程 DXBA?不相容時(shí)解的情況 當(dāng) 即相當(dāng)于)(,()( DveBIRIRmnTmn ??????crak?時(shí)，稱矩陣方程 不相容，此方程組為矛盾方程組。當(dāng)矩陣方程不相容時(shí)?可求出該方程的最小二乘解 XAnmCX????i一般說來，矛盾方程的最小二乘解是不唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有極小范數(shù)的解 DXBA??min是唯一的，稱之為極小范數(shù)最小二乘解。要求解上述矩陣方程的極小范數(shù)最小二乘解，需用到下列兩個(gè)引理。 21引理 設(shè) ，則 是線性方程組 的最小二乘解。反mnCbA??, bAx??bAx?之，設(shè) ，是 的極小范數(shù)最小二乘解，則XCXmn??，若 對(duì), bAX?引理 設(shè) 則有,nRB???B)(定理 如果矩陣方程 不相容，且滿足DBA????)()(( TTT IAI則矩陣方程 的極小范數(shù)最小二乘解，即滿足XBA??XDBA??min的唯一解是 。??ID證 將 按行向量拉直后，得 )()(( vecIT??從而將該矩陣方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)形式 cGx由引理 ，當(dāng)上述線性放重組不相容時(shí)，其極小范數(shù)最小二乘解為 )(() DveBIAxvecT???由已知，得 ?????)(( TTII即得 )(])[() vecBIAxvecT??? )(D?? vecT所以 ??????BAIDAX 證畢 22結(jié)論線性矩陣方程問題的求解在生物學(xué)、電學(xué)、光子光譜學(xué)、振動(dòng)理論、有限元、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、固體力學(xué)、參數(shù)識(shí)別、自動(dòng)控制理論、線性最優(yōu)控制等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用。正是這些領(lǐng)域提出了許多不同類型的線性矩陣方程的模型問題刺激了它理論的快速發(fā)展，使得線性矩陣方程問題成為當(dāng)今計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域的熱門研究課題之一。經(jīng)過國內(nèi)外的專家和學(xué)者的不斷探索，迄今為止，線性矩陣方程問題的研究已取得了一系列豐碩的成果。本文根據(jù)矩陣直積的性質(zhì)及其應(yīng)用，將矩陣方程按行向量拉直轉(zhuǎn)化成了可解的線性方程組的形式。以此為基礎(chǔ)分別討論該矩陣方程在相容和不相容條件下得到解的情況，最終得到該矩陣方程的極小范數(shù)最小二乘解。最后通過計(jì)算結(jié)果表明，這些算法在實(shí)際中是可行的。 23 參考文獻(xiàn)[1]程云鵬，張凱院，徐仲 .矩陣論[M] .西安：西北工業(yè)大學(xué)出版,2022：108360.[2]陳景良,[M].北京:清華大學(xué)出版社,2022：168768.[3]周樹荃,[M].河南:河南科學(xué)技術(shù)出版社,1991：693.[4]邱海明， AX+XB=C 的解法[J] .控制與決策，1989,4（2）：3840.[5](日)須田信英,[M].曹長修,:科學(xué)出版社,1979：58150.[6][J].廣西大學(xué)學(xué)報(bào),1992.[7]韓俊林, Kronecker 和[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng) 用,2022,22(1):1720.[8]彭亞新．求解約束矩陣方程及其最佳逼近的迭代法的研究[D]．長沙：湖南大學(xué) 2022．[9][M].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1980，23(4):522533.[10] 的最優(yōu)解.[J].南京大學(xué)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)半年刊，DXBA??2022，18(l):114 一 120.[11][M].出版社：清華大學(xué)出版社，2022.[12]FLANDERS H，WIMMER H K．On the matrix equation AXXB=C and AXYB=C[J] .SAM J Appl Math,1977，32：707— 710． [13]BAKSAI ARY J K，KAI A R．The matrix equation AXYB=C[J]．Linear Algebra App1．1979，25：41—43[14]CHANG X W ，WANG J S．The symmetric solution of the matrix equations AX+YA=C， AXA +BYB =C and (AXA， BXB)一( C， D)[J]．Linear Algebra App1．1993，179：171—189．