14向量和矩陣的范數(shù)-資料下載頁
2024-09-27 23:09本頁面
【導(dǎo)讀】掌握向量范數(shù)、矩陣范數(shù)等概念。在解析幾何中，向量的大小和兩個向量之差的大小是“長度”和。為了對矩陣運算進(jìn)行數(shù)值分析，我們需要。對向量和矩陣的“大小”引進(jìn)某種度量。范數(shù)是絕對值概念的自然推。正定性：，且當(dāng)且僅當(dāng)x=0；則稱為上的一個向量范數(shù)。1max范數(shù)或最大范數(shù)的??容易驗證，向量的∞范數(shù)和1范數(shù)滿足定義。顯然時的特例和在是21??x所以的特例也是px),(時????大值的特征值的絕對值的最為其中AA)AA(TTmax?ijFaA設(shè)稱A的F-范數(shù).
【正文】 第一章 緒論 2A )(m a x AAT?? ?FA292 ??? ?1A ?A 2A FA容易計算 計算較復(fù)雜 對矩陣元素的 變化比較敏感 較少使用 使用最廣泛 性質(zhì)較好 51 ?A 4??A使用最廣泛 第一章 緒論 定義 4 稱的特征值為設(shè) , 21 nnnRA ??? ???},m ax {)( 21 nA ???? ??的譜半徑為矩陣 A,?? Ax 和算子范數(shù)對于某種向量范數(shù)??? xAAx ??? ?xAx ? ?? x??而 因此 ?? x? ?? xA?顯然 2A )(m a x AA T?? )( AAT??( spectral norm ) 譜范數(shù) 第一章 緒論 ?? A??? AA ?)(任何一種算子范數(shù)的譜半徑不超過矩陣的即矩陣 A即 所以 定理 1. , nnnn RAR ?? ?? 上的一種算子范數(shù)是設(shè)且非奇異則滿足若 ,1 AIAA ??AAI ????11)( 1證明 :略 第一章 緒論 例 4 設(shè)矩陣 A與矩陣 B是對稱的，求證 )()()( BABA ??? ???證 因為 ,于是有 TAA ?? ? 22m a xm a x22 )()()( AAAAA T ??? ???即 。同理 。 )(2 AA ?? )(2 BB ??由于 ，所以 TBABA )( ???)()()( 222 BABABABA ??? ???????
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