矩陣的概念與矩陣運(yùn)算-資料下載頁
2025-05-15 00:58本頁面
【正文】 AX=B . x1 x2 ??? xn a11 a12 ??? a1n ??? ??? ??? ??? a21 a22 ??? a2n am1 am2 ??? amn b1 b2 ??? bm 其中 ， A= ， X= ， B= 下頁《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 應(yīng)注意的問題： (1) AB?BA ； (3) AB?O A?O或 B?O ； / ? (2) AC?BC A?B； / ? 矩陣乘法的性質(zhì)： 方陣的冪： 對(duì)于方陣 A及自然數(shù) k Ak?A?A ??? A (k個(gè) A相乘 )， 稱為方陣 A的 k次冪 . 方陣的冪有下列性質(zhì)： (1)ArAs?Ar?s； (2) (Ar)s?Ars . (4) AA?A A?E或 A?O . / ? (1) (AB)C?A(BC)； (2) (A?B)C?AC?BC； (3) C(A?B)?CA?CB； (4) k(AB)?(kA)B?A(kB) . 問題： (A+B)2=? 下頁《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 定義 4 將 m?n矩陣 A的行與列互換 ， 得到的 n?m矩陣 ， 稱 為矩陣 A的轉(zhuǎn)置矩陣 ， 記為 AT或 A?。 即如果 a11 a21 … am1 a12 a22 … am2 a1n a2n … amn … … … … A ? ， a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n am1 am2 … amn … … … … AT ? 則 . 例如 ， 設(shè) x?(x1 x2 ? ? ? xn)， y?(y1 y2 ? ? ? yn)， 則 (y1 y2 ? ? ? yn ) xTy x1 x2 ??? xn ? ? x1y1 x2y1 … xny1 x1y2 x2y2 … xny2 x1yn x2yn … xnyn … … … … . 四、轉(zhuǎn)置矩陣及對(duì)稱方陣 顯然 ， Ｅ T＝ Ｅ . 下頁《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì)： (1)(AT)T?A； (2)(A?B)T?AT?BT； (3)(kA)T?kAT； a11 a21 … am1 a12 a22 … am2 a1n a2n … amn … … … … A ? ， a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n am1 am2 … amn … … … … AT ? 則 . 定義 4 將 m?n矩陣 A的行與列互換 ， 得到的 n?m矩陣 ， 稱為矩陣 A的轉(zhuǎn)置矩陣 ， 記為 AT或 A?。 即如果 四、轉(zhuǎn)置矩陣及對(duì)稱方陣 (4)(AB)T?BTAT . 下頁《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 定義 5 設(shè) A 為 n階方陣 ， 若 AT=A， 則稱 A為對(duì)稱矩陣 ， 如 果 AT=A， 則稱 A為反對(duì)稱矩陣 。 分別是三階對(duì)稱矩陣和三階反對(duì)稱矩陣 . 顯然： A為對(duì)稱矩陣的充分必要條件是 aij=aji 。 A為反對(duì)稱矩陣的充分必要條件是 aij=aji . 如： 1 1 2 0 1 21 3 4 , 1 0 42 4 2 2 4 0??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?AB下頁《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 定義 6 設(shè) A是 n階方陣，由 A的元素構(gòu)成的 n階行列式 稱為方陣 A的行列式，記為 |A|或 det A . 性質(zhì)： 設(shè) A、 B為 n階方陣， k為數(shù)，則 (1) |A|=|AT|。 (3) |AB|=|A||B| . (2) |kA|=kn|A|。 五、方陣的行列式 顯然 ， |E|=1 . 一般地 ， 若 A1,A2,… Ak都是 n階方陣 ， 則 1 2 1 2kk?A A A A A A顯然 kk ?AA下頁《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 例 11． 設(shè) ?????????????123012101A?????????? ??200130012B?AB求 解 : 因?yàn)? ???????????????096154212AB2 1 2| | 4 5 1 246 9 0??? ? ??AB由公式 ?A B A B 則 24??AB若先求得 1 0 1| | 2 1 0 23 2 1?? ? ??A2 1 0| | 0 3 1 120 0 2?? ? ?B同樣 24??AB下頁《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 例 12． 設(shè) A， B均為四階方陣 ， 且 . 計(jì)算 . 解 由方陣的行列式的運(yùn)算規(guī)律 ， 2 , 1? ? ?ABT T 22 ( )? A B A2TT )(2 ABA? 4 T T 2( 2) ( )?? A B A2216? A B A2T1 6 ( )? A B A128.??下頁《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 練習(xí) 1. 設(shè)Ａ是３階方陣，且 2??A ，則 ?2A （ ）， ?A2 （ ）， ?? A （ ）． 練習(xí) 2. 若Ａ，Ｂ都是２階方陣，且 A ＝２，Ｂ＝ ３ E ， 則 BA T ＝ ( ) ． 4 16 2 18 練習(xí) 下頁《 線性代數(shù) 》 下頁 結(jié)束 返回 作業(yè)： 69頁 2 3 4（ 3）（ 4）（ 5） 5（ 1） 結(jié)束
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