克萊姆法則矩陣及其運(yùn)算-資料下載頁(yè)
2025-05-11 20:44本頁(yè)面
【正文】 ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?—— （ 1） 若記： 12mbbBb???????????????11 12 121 22 212........................nnm m mna a aa a aAa a a?????????????12nxxXx???????????????則方程組（ 1）可記為： A X B?● 矩陣 A的轉(zhuǎn)置（見(jiàn)教材 P237定義 5） ? ?,TtA A A ?或 如 1 2 1 33 1 2 1T? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?032420T???????????11 11mTn m naaAaa?????????11 11nm m naaAaa?????????如果 ，則 ? ?11 2 3 23T???????????? ?14 1 4 55T???????????0 2 23 4 0???? ????● 矩陣轉(zhuǎn)置的運(yùn)算規(guī)律： ? ? ? ?1 TTAA?? ? ? ?2 T TTA B A B? ? ?? ? ? ?3 T TAA?? ?? ? ? ?4 T TTA B B A?驗(yàn)證（ 4）式： 2 0 11 3 2A???? ????1 0 11 2 32 1 0B???????????答案 08( ) 1 82 10AB????? ????????A為對(duì)稱矩陣 ij jiaa?A為反對(duì)稱矩陣 ,0ij ji iia a a? ? ?反對(duì)稱矩陣 ：如果 ，則稱矩陣 A為反對(duì)稱矩陣。 TAA??對(duì)稱矩陣 ：如果 ，則稱矩陣 A為對(duì)稱矩陣。 TAA?● 方陣的行列式 方陣的行列式 設(shè) A為 n階方陣，則保持 A的元素及排列方式不變而 得到的 n階行列式，稱為方陣 A的行列式，記作 detA 或 A （ determinant） 如 ?????????4321A 則 24321de t ???A數(shù)表 數(shù)值 方陣的行列式的性質(zhì) ( 1 ) ( 2) ( 3 ) TnAAAAA B A B? ?????作 業(yè) P252 10, 12, 16, 20, 21 預(yù)習(xí) 第五節(jié)、第六節(jié) 證明 設(shè) A1j、 A2j、 … 、 Anj為方程組的系數(shù)矩陣第 j列 元素的代數(shù)余子式，依次用 A1j、 A2j、 … 、 Anj乘以方 程組的第一、第二、 … 、第 n個(gè)方程，然后相加，則 可得 1 1 2 21 1 1 11n n n nk k j k k j k j k j j k n k j nk k k knk k jka A x a A x a A x a A xbA? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? 即 ( 1 , 2 , , )jjD x D j n?? （ 2） 當(dāng) 0D? 時(shí)， 方程組（ 2）有唯一解 ( 1 , 2 , , )jj Dx j nD??（ 3） 其中 1nj k k jkD b A?? ?，即系數(shù)行列式中第 j列換成常數(shù)列。 而 方程組（ 1）的解一定是方程組（ 2）的解 ，所以如果 方程組（ 1）有解，則至多只有一個(gè)解。 將（ 3）式代入方程組（ 1）中的第 i個(gè)方程，得 1 1 1 1 111 1 1n n n n nji j i j k k j k k ij j k kni j k j i kkjDa a b A b a A DbbD D D D ?? ? ? ? ????? ? ? ????? ?? ? ? ? ?( 1 , 2 , , )in?即（ 3）式滿足方程組（ 1） 所以，當(dāng) D≠0時(shí)，方程組（ 1）有唯一解 ( 1 , 2 , , )jj Dx j nD
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