【正文】 mjjmmaak a a k aE i j k Aaaaa? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???????? ? ? ??? ??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ?A其結(jié)果相當(dāng)于矩陣 進(jìn)行一次第三種初等行 Ak ij變換，即用數(shù) 乘矩陣 的第 行加到第 元素 . 定理 2 對(duì)于任一 矩陣 ，一定存在有限個(gè) 階初等矩陣 和 階初等方陣 使 mn? Am1 , sPP n1 ,skPP?11000rs s k m nmnEP P A P P F?????? ? ? ? ?????標(biāo)準(zhǔn)形 定理 3 階矩陣 可逆的 充要條件 是 n A11 s s kP P A P P E? ?存在有限個(gè) 階初等矩陣 n1 , , ,sPP 1 ,skPP?即 ~AE使得 A可逆矩陣 一定與單位矩陣等價(jià) 證 必要性 由定理 2，對(duì) 階矩陣 An存在 階初等矩陣 n11, , , , , ,s s kP P P P?若 ，則 的對(duì)角線上必有零元素 FE?nnF?11 0s s k n nP P A P P F?? ??11 (1)s s k n nP P A P P F?? ?使 A .nnFE? ?下面證明：如果矩陣 可逆，則 在（ 1）的兩端取行列式，并利用方陣的行 列式性質(zhì)，有 于是， 11, , , , , ,s s kP P A P P?仍可逆，故 可逆 . A中必至少有一個(gè)是零，這與 11, , , , , ,s s kP P A P P?均為可逆矩陣相矛盾 . 1 .kA P P?充分性 ：設(shè) 因初等矩陣可逆，有限個(gè)可逆矩陣的乘積 .nnFE? ?故 定理 4 設(shè) 為可逆矩陣， A則存在有限個(gè)初等矩陣 12, , , kP P P推論 矩陣 與 等價(jià)的 充要條件 mn? A B12 kA P P P?使 m P n Q是存在 階可逆矩陣 和 階可逆矩陣 P A Q B?使 例 1 設(shè) 1 2 32 2 13 4 3A???????????1 .A?? ?1 2 3 1 0 02 2 1 0 1 03 4 3 0 0 1AE?????????求 解 213123rrrr??????1 2 3 1 0 00 2 5 2 1 00 2 6 3 0 1????? ? ???? ? ???1232rrrr??????1 0 2 1 1 00 2 5 2 1 00 0 1 1 1 1??????? ? ???? ? ???1 0 0 1 3 2350 1 0 3220 0 1 1 1 1????????????132325rrrr??????? ?? ?2321rr????????1 0 0 1 3 20 2 0 3 6 50 0 1 1 1 1?????????? ? ???所以 11 3 2353221 1 1A????????? ? ????????矩陣的初等行變換還可用于求解矩陣方程 A X B?1X A B??顯然 ? ? ? ?11A A B E A B?? ?而 1A?且 可寫成有限個(gè)初等方陣的乘積，即 11 lA P P? ?A其中 為可逆矩陣 ? ? ? ?11 lP P A B E A B??從而 當(dāng)把 變成 時(shí)， 就變成 A E B1 .X A B??例 2 解矩陣方程 0 1 2 1 11 1 4 0 12 1 0 1 0X? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ?AB因此，若對(duì)矩陣 施行初等行變換 解 ? ?0 1 2 1 11 1 4 0 12 1 0 1 0AB???????????12rr?????1 1 4 0 10 1 2 1 12 1 0 1 0??????????312rr?????1 1 4 0 10 1 2 1 10 3 8 1 2??????? ? ? ???12323rrrr??????1 0 2 1 00 1 2 1 10 0 2 2 1??????????? ?13233 2rrrrr????????1 0 0 1 10 1 0 3 210 0 1 12??????????11132112X A B?????????????????故 六. 矩陣的秩 定義 1 在矩陣 中任選 行 列 ? ?ij mnAa ?? k k其交叉處的 個(gè)元素 ? ?1 , 1 ,k m k n? ? ? ? 2k按原來(lái)的位置構(gòu)成的 階行列式 k稱為 矩陣 的 階子式 A k其中不為零的子式稱為 非零子式 ． 矩陣的 階子式共有 個(gè) mn? k CCkkmn?例 1 2 3 8 22 1 2 2 1 21 3 1 4A???????????382731???選取第一行和第三行，第二列和第三列，其交叉處的元素按原來(lái)位置構(gòu)成的二階行列式 A就是矩陣 的一個(gè)二階子式． 定義 2 如果在矩陣 中有一個(gè) 階非零子 式 ， 且所有的 階子式 （ 如果存在的 話 ） 全等于零 ， 那么 稱為矩陣 的 最高 階非零子式 ， 數(shù) 稱為矩陣 的秩 ， 記作 ， 即 規(guī)定零矩陣的秩為 ． A rD 1r?D Ar A? ?RA ? ? .R A r?0 在矩陣 中 ,當(dāng)所有的 階子式全 等于零時(shí) ， 由行列式的性質(zhì) 3可知 ， 所有 高于 階的子式 （ 如果存在的話 ） 也 全等于零 ， 因此 的秩 就是 中 不等于零的子式的最高階數(shù) ． A 1r?1r?A ? ?RA A例 2 證明 （ 1） （ 2） 階方陣 可逆的 充要條件 為 （ 3） 若刪去矩陣 的一行（列）得到矩陣 則 ? ? ? ? 。TR A R A?n A ? ?。R A n?A B? ? ? ? .R B R A?證 （ 1） 由于行列式轉(zhuǎn)置后值不變 所以 中非零子式的最高階數(shù) TA與 中非零子式的最高階數(shù)相等 A? ? ? ? .TR A R A?即 （ 2） 階方陣 可逆的充要條件 是 n A0A ?? ? .R A n?（ 3） 由于矩陣 的非零子式必是矩陣 的 B A? ? ? ? .R B R A?補(bǔ)充 ： 由（ 2）知 ， 可逆矩陣的秩等于其 階數(shù)，故可逆矩陣又稱 滿秩矩陣 ．不可逆 的方陣（奇異矩陣）又稱為 降秩矩陣 ． 由矩陣秩的定義得 一個(gè)非零子式，故 例 3 求矩陣的秩 1 2 3 12 4 6 23 0 2 1A???????????的子式的最高階數(shù)是 3 A1 2 32 4 6 ,3 0 21 2 12 4 2 ,3 0 1??解 它共有 4個(gè) 3階子式 2 3 14 6 20 2 1??1 3 12 6 2 ,3 2 1??容易算出，它們的值都為零 又 中的二階子式 A126030? ? ?故 ? ? ? 即若 ，則 ~AB? ? ? ? .R A R B?由此定理 ， 為求矩陣的秩 ， 只要把矩陣用初等行變換變成 行階梯形矩陣 ， 行階梯形矩陣 中 非零行的行數(shù) 即是該矩陣的秩 ． 定理 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩， 例 4 設(shè) 1 2 2 12 4 8 0,2 4 2 33 6 0 6A????????????????????1234b?????????????? ?B A b? ? ?RA ? ? .RB且 ，求 及 解 用初等行變換將矩陣 化為行階梯形矩陣 ， 則 即為 的行階梯形矩陣 ， 故可從 中同時(shí)求出 B? ?1 1 1,B A b? 1A A? ?1 1 1,B A b?? ? ,RA ? ? .RB1 2 2 1 12 4 8 0 22 4 2 3 33 6 0 6 4B????????????????213141223rrrrrr???????1 2 2 1 10 0 4 2 00 0 2 1 50 0 6 3 1????????????2324223rrrrr???????1 2 2 1 10 0 2 1 00 0 0 0 50 0 0 0 1??????????????3435rrr??????1 2 2 1 10 0 2 1 00 0 0 0 10 0 0 0 0??????????????? ? 2,?RA ? ? ?因此 B從矩陣 的行階梯形矩陣可知 A b Ax b?本例中的 與 所對(duì)應(yīng)的線性方程組 是無(wú)解的．