[理學(xué)]35向量與矩陣的范數(shù)-資料下載頁
2025-10-05 17:21本頁面
【正文】 定矩陣時(shí)， cond(a,p) p=1,2,inf,’fro’ cond(a,1) cond(a,2) cond(a,inf) cond(a,’fro’) 30/35 計(jì)算方法 三 ⑤ ???????1210 0 2121xxxx???????122121xxxx ?????????00 0 0 b?Cond (A)可反映出方程組解對系數(shù)的敏感性。我們通過下面的例子加以理解。 絕對誤差 這兩個(gè)方程組的解相差很大，說明方程組的解對常數(shù)項(xiàng) b的擾動(dòng)很敏感。同時(shí)注意到 Cond (A)≈ ?104 ,可見 條件數(shù)很大 ,因而是病態(tài)方程組 . 例 :方程組 現(xiàn)將其右端加以微小的擾動(dòng)使之變?yōu)椋? 經(jīng)計(jì)算可得它的準(zhǔn)確解為 x1=2, x2=3. 準(zhǔn)確解為 x1=0, x2=1 31/35 計(jì)算方法 三 ⑤ 一般來說 ， 方程組的條件數(shù)越小 ， 求得的解就越可靠；反之 ， 解的可靠性就越差 。 病態(tài)方程組的求解問題： 首先考慮怎樣判斷方程組是否屬于病態(tài)方程組。 設(shè)方程組 Ax=b的系數(shù)矩陣 A非奇異，計(jì)算 A的條件數(shù)，是判斷病態(tài)方程組的可靠方法。但在實(shí)際問題中，當(dāng)方程組的規(guī)模較大時(shí)，計(jì)算條件數(shù)的工作量很大，甚至超過了求解方程組的計(jì)算量。一般采用下列方式，初步進(jìn)行直觀的判斷。 32/35 計(jì)算方法 三 ⑤ 1） 當(dāng) det(A)相對來說很小 ,或者 A的某些行（或列）近似線性相關(guān)， Ax=b可能病態(tài) 。 如果確定待解的方程組 Ax=b是一個(gè)病態(tài)方程組 ,則數(shù)值求解必須小心，選擇合適的方法，否則難以達(dá)到要求的精確度。 一般方法有： 2） 當(dāng)系數(shù)矩陣 A中元素的絕對值相差很大且無規(guī)則， Ax=b可能病態(tài)； 3） 如果采用 Gauss選主元消去法求解，在消元過程中出現(xiàn)小主元， Ax=b可能病態(tài)； 4） 求解方程組時(shí)，出現(xiàn)一個(gè)很大的解， Ax=b可能病態(tài)。 33/35 計(jì)算方法 三 ⑤ 方法 1 采用盡可能高精度的運(yùn)算，例如雙精度或多精度，以改善和減輕矩陣病態(tài)的影響，但此時(shí)的計(jì)算量將大大增大。 例 方程組 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 x1 x2 x3 x4 25/12 77/60 57/60 319/420 = 它的精解為 x= 1 1 1 1 分別用 3位和 5位有效數(shù)字舍入運(yùn)算的消去法求解，得到的解分別為 x=(， ， , )T 和 x=(， ， , )T 顯然后者的精度大大提高了 34/35 計(jì)算方法 三 ⑤ 方法 2 采用豫處理， 降低 矩陣 A的 條件數(shù) ，以改善方程組的病態(tài)程度。 例如當(dāng)系數(shù)矩陣 A元素的數(shù)量級差別很大時(shí)，可以對某些行或列乘上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得 A的所有行或列按某種范數(shù)大體上有相同的長度。我們稱這種方法為行（列）均衡法。 例 設(shè)方程組 1 104 1 1 x1 x2 104 2 = 考慮用均衡法改善它的條件數(shù)。 解：矩陣 A的條件數(shù) cond(A)∞≈104，方程組是病態(tài)的。為了使各行元素的大小均衡，將第一個(gè)方程乘以104，得到方程組 104 1 1 1 x1 x2 1 2 = BX = cond(B)∞≈4 35/35 計(jì)算方法 三 ⑤ 再計(jì)算矩陣 B的條件數(shù) cond(B)∞≈4，顯然經(jīng)過行均衡后，系數(shù)矩陣的條件數(shù)得到很大的改善。 方法 3 采用近似解的迭代改善方式，逼近方程組的精確解。 設(shè) x^是方程組 Ax=b的近似解，則以其殘余向量 r=bAx^為新的右端項(xiàng)的方程組： Ax=r （ *） 方程組（ *）的解 e作為近似解 x^修正，得到原方程組更好的近似解 x = x^+e 重復(fù)該過程，就可得到一個(gè)近似解序列，可以證明該序列收斂于 Ax=b的真解。具體內(nèi)容可參見有關(guān)文獻(xiàn)。 36/35 計(jì)算方法 三 ⑤ 實(shí)驗(yàn) ???????????????????????23106351710101768416104125A計(jì)算 A的條件數(shù) cond(A). 如何改變方程組 AX=b的病態(tài)性？ ???????????????31332332b作業(yè)： P7475 17
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