【導(dǎo)讀】①平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于定長??的動點P的軌跡，即點集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a. 焦點F1，F(xiàn)2（c，0）。注意：①在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a＞b＞0，22bac??并且橢圓的焦點總在長軸上；3參數(shù)方程：焦點在x軸，②對稱性：對稱軸方程為x=0，y=0，對稱中心為O（0，0）；③頂點：A1，A2（a，0），B1，B2（0，b），長軸|A1A2|=2a，短軸|B1B2|=2b；minmax,，左加右減，上減下加。bxay的性質(zhì)可類似的給出。余弦定理：21r＋22r－2r1r2cos?(其中P(00,yx)為橢圓上一點，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝?byax的共焦點橢圓設(shè)為222. 標(biāo)系有關(guān).因此確定橢圓方程需要三個條件:兩個定形條件a,b,一個定位條件焦點坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程.例1.橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有。babyax上一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點，試求：21PFPF?ABCSABA．若以AB，為焦點的橢圓經(jīng)過點C，則該橢圓的離心率。故的最大值為，最小值為。

　　

【正文】 22xy??上 222xy??外 C: 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的左焦點為 F，過點 F的直線與橢圓 C相交于 A,B兩點，直線 l 的傾斜角為 60? ，2AF FB? ,求橢圓 C的離心率。 25 直線與橢圓練習(xí) 1. 直線 1yx??被橢圓 2224xy??截得的弦的中點坐標(biāo)是 ______________. 2. 已知斜率為 1的直線 l ，過橢圓 2 2 14x y??的右焦點交橢圓于 A,B兩點，則弦 AB的長是 ________________. 3. 橢圓 224 40xy??的一條弦的中點為 M（ 4， 1） ，此弦長為 ________________. 4. 以 P（ 2,2）為圓心的圓與橢圓 2221xy??，交于 A,B兩點，則 AB 中點的軌跡方程為 ________________. 5. 已知兩定點 M(1,0),N(1,0),若某直線上存在點 P，使得 4PM PN??，則稱該直線為“ A型直線”。給出下列直線： ① 1yx??； ② 2y? ； ③ 3yx?? ? ； ④ 23yx?? ? ，其中 “ A型直線”的序號為________________. 6. 設(shè) AB為過橢圓 22125 16xy??的右焦點 F的弦，若 8AB? ,求 ABC? 的面積。 7. 已知橢圓的一個頂點為 A(0， 1),焦點在 x軸 上，若右焦點到直線 2 2 0xy? ? ? 的距離為 3. （ 1） 求橢圓的方程； （ 2） 設(shè)橢圓與直線 ( 0)y kx m k? ? ?相交于不同的兩點 M,N，當(dāng) AM AN? 時，求 m的取值范圍。 8. 經(jīng)過點 P（ 0,2）作直線 l 交橢圓 C: 2 2 12x y??與 A,B兩點。 （ 1） 若 AOB? 得面積是 23 ，求直線 l 的方程； （ 2） 當(dāng) AOB? 的面積最大時，求直線 l 的方程。 26 9. 設(shè)橢圓 2 2 12x y??的上頂點為 B，右焦點為 F，直線 l 與橢圓相交于 M,N兩點，問是否存在直線 l 使得 F為 BMN?的垂心？若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由。 10. 已知過點 D(2,0)的直線 l 與橢圓 2 2 12x y??交于不同的兩點 A,B，點 M是弦 AB的中點。 （ 1） 若 OP OA OB??,求點 P的軌跡方程； （ 2） 求 MDMA的取值范圍。 11. 設(shè) A,B是橢圓 223xy???上的兩點，點 N（ 1， 3）是線段 AB的中點，線段 AB的垂直平分線與橢圓交于 C,D兩點。 （ 1） 確定 ? 的取值范圍，并求直線 AB的方程； （ 2） 試判斷是否存在這樣的 ? 使得 A,B,C,D在同一個圓上，并說明理由。 12. 設(shè) ,xy R? ，向量 ( 3 , ) , ( 3 , ) ,a x y b x y? ? ? ?且 4ab??。 （ 1） 求 點 M（ x,y）的軌跡 C的方程； （ 2） 過點 P(0,2)作直線 l 交曲線 C于 A,B兩點，又 O為原點，若 125OA OB??,求直線 l 的傾斜角。 27 13. 已知橢圓的兩個焦點分別為 12( 0 , 2 2 ), ( 0 , 2 2 )FF? ,離心率 223e?。 （ 1） 求橢圓方程； （ 2） 一條不與坐標(biāo)軸平行的直線 l 與橢圓 交于不同的兩點 M,N，且線段 MN中點的橫坐標(biāo)為 12?，求直線 l 的傾斜角的取值范圍。 14. 已知橢圓中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，直線 l ： 3( 1)yx??與橢圓相交于 A,B兩點，若線段 AB 的中點 M到原點的距離為 1，且 2AB? ,求橢圓方程。 15. 過 x軸正半軸上一點 P(m,0)作直線 l ，交橢圓 22194xy??交于 A,B兩點，若 2AP PB? ，求 m的取值范圍。 16. 已知橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，過橢圓的一個焦點 F作直線 l 交橢圓于 A,B兩點， O為橢圓中心，若 AOB? 的面積為 4，求橢圓短半軸長的取值范圍。 17. 設(shè) 12,FF分別為橢圓 C: 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的左右焦點，過 2F 的直線 l 與橢圓 C相交于 A,B兩點，直線 l 的傾斜角為 60? ， 1F 到直線 l 的距離為 23。 （ 1） 求橢圓 C的焦距； （ 2） 如果 222AF FB? ，求橢圓 C的方程。 28 18. 設(shè)橢圓 C： 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的左焦點為 F，過點 F的直線與橢圓 C相交于 A,B兩點，直線 l 的傾斜角為 60? ，2AF FB? 。 （ 1） 求橢圓 C的離心率； （ 2） 如果 154AB?，求橢圓 C的方程。 19. 橢圓 E經(jīng)過點 A(2,3)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點 12,FF在 x軸上，離心率 12e?。 （ 1） 求橢圓 E的方程； （ 2） 求 12FAF? 的角平分線所在直線的方程。 20. 已知橢圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?過點（ 1， 22 ），離心率為 22 ，左右焦點分別為 12,FF，點 P為直線 :2l x y??上且不在 x軸上的任意一點，直線 1PF 和 2PF 與橢圓的交點分別為 A,B和 C,D， O為坐標(biāo)原點。 （ 1） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2） 設(shè)直線 1PF 和 2PF 的斜率分別為 12,kk。 （ i） 證明：12132kk??； （ ii） 問直線 l 上是否存在點 P，使得直線 OA,OB,OC,OD的斜率 , , , ,OA OB OC ODk k k k 滿足0O A O B O C O Dk k k k? ? ? ?？若存在，求出所有滿足條件的 P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由。 29 21. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點 B與點 A（ 1,1）關(guān)于原點 O對稱， P是動點，且直線 AP與 BP的斜率之積等于 13?。 （ 1） 求動點 P的軌跡方程； （ 2） 設(shè)直線 AP和 BP分別與直線 x=3交于點 M,N，問：是否存在點 P使得 PAB? 與 PMN? 的面積相等？若存在，求出點 P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。 22. 已知橢圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的離心率 32e? ，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為 4. （ 1） 求橢圓的方程； （ 2） 設(shè)直線 l 與橢圓相交于不同的兩點 A,B，已知點 A的坐標(biāo)為 (a,0). (i) 若 425AB? ,求直線 l 的傾斜角； (ii) 若點 Q（ 0， 0y ）在線段 AB的垂直平分線上，且 4QA QB??,求 0y 的值。 30 直線與橢圓（最值與定值問題） 22143xy??上有 n個不同的點， 12,nP P P 橢圓的右焦點為 F。數(shù)列是公差大于 1100的等差數(shù)列，則 n的最大值為（ ） P是橢圓 22125 9xy??上一點， Q,R分別是圓 221( 4)4xy? ? ?和 221( 4)4xy? ? ?上的點，則 PQ PR? 的最小值為（ ） A. 89 B. 85 2 2 2 2si n si n , ( ( 0 , ) )2xy ?? ? ?? ? ? ?上離頂點 A(0， sin? ),最遠(yuǎn)的點恰好是另一個頂點（ 0， sin? ）的充要條件是（ ） A. 0,2?? ??????? B. [ , )62???? C. [ , )42???? D. [ , )32???? 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?上到兩個焦點距離之積最小的點的坐標(biāo)是 _____________. P在橢圓 224 4 1 0x y x? ? ? ?上，則 yx 取得的最大值 ________。最小值 ________。 22xy? 的最大值 ________。最小值 ______________. 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的內(nèi)接矩形面積的最大值是 _______________. P在橢圓 224 9 36xy??上，求點 P到直線 : 2 15 0l x y? ? ?的距離的最大值為 ________________. 2 2 23 2 6 4 3 0x y m x m y m? ? ? ? ? ?。 （ 1）求證不論 m為何值，這些橢圓的中心在一條直線 l 上； （ 2）求證任何一條平行于 l 且與橢圓相交的直線，在每一個橢圓內(nèi)截得的弦長相等； （ 3）試求一條被這些橢圓的截得弦長等于 322 的直線； （ 4）求出使得橢圓上使 x+y取得最大值和最小值的點 P的坐標(biāo)。 31 A,B分別是橢圓 22136 20xy??長軸的左右端點，點 F是橢圓的右焦點，點 P在橢圓上，且位于 x軸上方， PA PF? 。 （ 1）求點 P的坐標(biāo)。 （ 2）設(shè) M是橢圓長軸 AB 上的一點 ， M到直線 AP的距離等于 MB ，求橢圓上的點到點 M的距離 d的最小值。 ,Q,M,N四點都在橢圓 22 12yx ??上， F為橢圓在 y軸正半軸上的焦點。已知 PF 與 FQ 共線， MF FN與 共線，且 0PF MF??.求四邊形 PMQN的面積的最小值和最 大值。 ，長軸在 x軸上，離心率 32e? ，已知點 P 3(0, )2 到這個橢圓上點的最遠(yuǎn)距離為 7 ，求此橢圓的方程及最遠(yuǎn)點的坐標(biāo)。 E與橢圓 224 12xy??有公共的焦點，且橢圓 E與直線 xy+9=0有公共點，求橢圓 E的長軸最短時橢圓的方程。