【正文】 頂點(diǎn)： A1（ a， 0）， A2（ a， 0）， B1（ 0， b）， B2（ 0， b），長軸 |A1A2|=2a，短軸 |B1B2|=2b； （ a 半長軸長， b 半短軸長）； ④ 橢圓的準(zhǔn)線方程： 對(duì)于 12222 ?? byax ，左準(zhǔn)線 caxl 21 : ??；右準(zhǔn)線 caxl 22 : ?奎屯王新敞 新疆 對(duì)于 12222 ??bxay ，下準(zhǔn)線 cayl 21 : ??；上準(zhǔn)線 cayl 22 : ?奎屯王新敞 新疆 2 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離cbc caccap 2222 ?????（焦參數(shù)） 橢圓的準(zhǔn)線方程有兩條，這兩條準(zhǔn)線在橢圓外部，與短 軸平行，且關(guān)于 短 軸對(duì)稱 奎屯王新敞 新疆 ⑤ 焦半徑公式 ： P（ x0， y0）為橢圓上任一點(diǎn)。2 c| y0 |= c| y0 |= 2 tan2b ?? (其中 P( 00,yx )為橢圓上一點(diǎn)， |PF1|＝ r1， |PF2|＝ r2， ∠F 1PF2＝ ? ) ： 把橢圓 12222 ??byax （ a＞ b＞ 0）的共焦點(diǎn)橢圓設(shè)為 22 222 1( )xy bab ???? ? ? ??? 8. 特 別 注 意 ： 橢圓方程中的 a,b,c,e 與坐標(biāo)系無關(guān) , 而焦點(diǎn)坐標(biāo) , 準(zhǔn)線方程 , 頂點(diǎn)坐標(biāo) , 與坐 標(biāo)系有關(guān) .因此確定橢圓方程需要三個(gè)條件 :兩個(gè)定形條件 a,b,一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程 . ： 221 2 1 2211 1 1A B k x x y y kka ?? ? ? ? ? ? ? ? 1212bxxacxxa? ? ?????? ???（ a,b,c 為方程的系數(shù) 二 ．典型例題 考點(diǎn) 1 橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 題型 1:橢圓定義的運(yùn)用 例 1 .橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn) A、 B是它的焦點(diǎn)，長軸長為 2a，焦距為 2c，靜放在點(diǎn) A的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn) A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn) A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是 （ ） 3 A． 4a B． 2(a－ c) C． 2(a+c) D．以上答案均有可能 例 P 為為橢圓 )0(12222 ???? babyax 上一點(diǎn)， F F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，試求： 21 PFPF? 取得最值時(shí)的 P 點(diǎn)坐標(biāo)。這種方法在本期《橢圓中減少運(yùn)算量的主要方法》一文中已經(jīng)介紹過，這里不再重復(fù)，答案為 二、 的最值 若 A為橢圓 C 內(nèi)一定點(diǎn)（異于焦點(diǎn)）， P 為 C 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， F 是 C 的一個(gè)焦點(diǎn)，求 的最值。 5 三、 的最值 若 A為橢圓 C 外一定點(diǎn)， 為 C 的一條準(zhǔn)線， P 為 C 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， P 到 的距離為 d，求 的最小值。 四、橢圓上定長動(dòng)弦中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的最值 6 例 10. 定長為 的線段 AB 的兩個(gè)端點(diǎn)分別在橢圓 上移動(dòng)，求 AB 的中點(diǎn) M 到橢圓右準(zhǔn)線 的最短距離。 題型 2“點(diǎn)差法”解題。兩式相減，02022122122121 )( )( ya xbyya xxbxx yy ???????? 2121 xx yyk ??? 注：一般的，對(duì)橢圓 12222 ??byax 上弦 AB 及中點(diǎn)， M ，有22abKKOMAB ??? 例 12 22 ??yx ， 求斜率為 2 的平行 弦的中點(diǎn)軌跡方程 考點(diǎn)五 .軌跡問題 7 這一問題難，但是解決法非常多，有如下幾種。 ：在 x， y 間的方程 F(x,y)=0 難以直接求 得時(shí)，往往用??? ?? )( )(tyy tfx(t 為參數(shù) )來反映 x， y 之間的關(guān)系。 基礎(chǔ)訓(xùn)練 A組 8 1．橢圓 632 22 ?? yx 的焦距是（ ） A． 2 B． )23(2 ? C． 52 D． )23(2 ? 2． F F2是定點(diǎn)， |F1F2|=6，動(dòng)點(diǎn) M 滿足 |MF1|+|MF2|=6，則點(diǎn) M 的軌跡是（ ） A．橢圓 B．直線 C．線段 D．圓 3． P 是橢圓 14 22 ??yx 上一點(diǎn)， P 到右焦點(diǎn) F2的距離為 1，則 P 到相應(yīng)左焦點(diǎn)的準(zhǔn)線距離為（ ） A． 63 B． 332 C． 23 D． 32 4．若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為 F1（ 1， 0）， F2（ 3， 0），則其離心率為（ ） A． 43 B． 32 C． 21 D． 41 4．若橢圓的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短是距離為 3 ，這個(gè)橢圓方程為（ ） A． 1912 22 ?? yx B． 1129 22 ?? yx C． 11291912 2222 ???? yxyx 或 D．以上都不對(duì) 6．離心率21?e，一個(gè)焦點(diǎn)是 ? ?3,0?F 的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 ___________ . 7．與橢圓 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦點(diǎn) ,且過點(diǎn) (－ 3，２ )的橢圓方程為 _______________． 221xyab??（ a＞ 0,b＞ 0）的漸近線與拋物線 y=x2 +1相切，則該雙曲線的離心率等于 _____________ 2 2:12xCy??的右焦點(diǎn)為 F ,右準(zhǔn)線為 l ，點(diǎn) Al? ，線段 AF 交 C 于點(diǎn) B ，若 3FA FB? ,則||AF =________ 10． 已知橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率 32?e ，短軸長為 58 ，求橢圓的方程． 11．已知 A、 B 為橢圓22ax +22925ay =1 上兩點(diǎn)， F2為橢圓的右焦點(diǎn)，若 |AF2|+|BF2|=58 a， AB 中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線的距離為23 ，求該橢圓方程． 9 )0(12222 ???? babyax 的內(nèi)接矩形面積的最大值 奎屯王新敞 新疆 22 yx ? ＝１，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn) P向 y 軸作垂線段 ＰＰ ′，求線段 ＰＰ ′的中點(diǎn) M 的軌跡 . 14.（ 2020 全國卷Ⅱ文） （本小題滿分 12 分） )0(12222 ???? babyax 33 22 （ Ⅰ ）求 a,b 的值； （ Ⅱ ） C 上是否存在點(diǎn) P，使得當(dāng) l繞 F 轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有 ??? ?? OBOAOP 成立？ 若存在，求出所有的 P 的坐標(biāo)與 l的方程；若不存在，說明理由。 0|2xxyx? ?.由題意有 000 2y xx ?又 2020yx?? 解得 : 220 1 , 2 , 1 ( ) 5bbxeaa? ? ? ? ? ?. 9．解：過點(diǎn) B 作 BM l? 于 M,并設(shè) 右準(zhǔn)線 l 與 X軸的交點(diǎn)為 N，易知 FN= 3FA FB? ,故 2||3BM?.又由橢圓的第二定義 ,得 2 2 2|| 2 3 3BF ? ? ? | | 2AF?? 10． [解析 ]:由 2223254cbaaceb?????? 812??ca ，∴橢圓的方程為： 180144 22 ??yx 或 180144 22 ??xy . 11． [解析 ]：設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)， ,54?e?由焦半徑公式有 a－ ex1+a－ ex2= a58， ∴ x1+x2= a21， 即 AB 中點(diǎn)橫坐標(biāo)為 a41， 又左準(zhǔn)線方程為 ax45??， ∴234541 ?? aa， 即 a=1， ∴ 橢圓方程為 x2+925y2=1． 12 abSabbaS 22s i n2s i nc o s4 m a x ????? ??? 奎屯王新敞 新疆 13解：設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)為 ),( yx ，則點(diǎn) P的坐標(biāo)為 ),2( yx . ∵ P在圓 122 ??yx 上，∴ 1)2( 22 ?? yx ，即 141 22 ??yx . ∴點(diǎn) M的軌跡是一個(gè)橢圓 14 22 ??yx 14 解析：本題考查解析幾何與平面向量知識(shí)綜合運(yùn)用能力，第一問直接運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計(jì)算，第二問利用向量坐標(biāo)關(guān)系及方程的思想，借助根與系數(shù)關(guān)系解決問題，注意特殊情況的處理。 綜上， C上存在點(diǎn) )22,23( ?P 使 OBOAOP ?? 成立，此時(shí) l 的方程為 022 ??? yx . 16 綜合訓(xùn)練 B組 答案 6． ]13,13[? 7． 54 8【解析】由 漸近線方程為 xy? 知雙曲線是等軸雙曲線， ∴雙曲線方程是 222 ??yx ，于是兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（－ 2，0）和（ 2， 0），且 )1,3(P 或 )1,3( ?P .不妨去 )1,3(P ，則 )1,32(1 ????PF ， )1,32(2 ???PF .∴ 1PF － θ 由正弦定理得：)60s in(120s ins in 1221 ?? ????? PFPFFF 由等比定理得：)60s in(120s ins in 2121 ?? ???? ?? PFPFFF )60s in (234s in2?? ????? 整理得： )c o s1(3sin5 ?? ?? 53cos1 sin ??? ?? 故232tan ?? 11352531 532ta nta n 21 ????? ?PFF . 12．解（ 1） 224 293 223 223432 22 ???????? ccaacee ?? 又即 1,22,3 222 ??????? cabca )22,0(1 ?F? 對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線方程為 22,249 ??? cy 且 ∴橢圓中心在原點(diǎn)，則橢圓方程為 19 22 ??xy （ 2）假設(shè)存在直線 l，且 l交橢圓所得的弦 MN 被直