【正文】 模型中，證券組合的方差等于： （824）其中，（二）兩因素模型兩因素模型認為，證券收益率取決于兩個因素，其表達式為： （825）其中，F(xiàn)1t和F2t分別表示影響證券收益率的兩個因素在t時期的預測值，bi1和bi2分別表示證券 i對這兩個因素的敏感度。在兩因素模型中，證券 i的預期收益率為： （826）證券 i收益率的方差為： （827）其中，COV（F1，F(xiàn)2）表示兩個因素F1和F2之間的協(xié)方差。證券 i和證券 j的協(xié)方差為： （828）（三）多因素模型多因素模型認為，證券i 的收益率取決于K個因素，其表達式為： （829）應該注意的是，與資本資產(chǎn)定價模型不同，因素模型不是資產(chǎn)定價的均衡模型。在實際運用中，人們通常通過理論分析確定影響證券收益率的各種因素，然后，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，運用時間序列法、跨部門法、因素分析法等實證方法估計出因素模型。二、套利組合根據(jù)套利定價理論，在不增加風險的情況下，投資者將利用組建套利組合的機會來增加其現(xiàn)有投資組合的預期收益率。那么，什么是套利組合呢？根據(jù)套利的定義，套利組合要滿足三個條件：條件1：套利組合要求投資者不追加資金, 即套利組合屬于自融資組合。如果我們用xi表示投資者持有證券i 金額比例的變化（從而也代表證券 i在套利組合中的權重，注意xi可正可負），則該條件可以表示為： （830）條件2：套利組合對任何因素的敏感度為零，即套利組合沒有因素風險。由式（824）可知，證券組合對某個因素的敏感度等于該組合中各種證券對該因素敏感度的加權平均數(shù)，因此在單因素模型下該條件可表達為： （831）在雙因素模型下，條件2表達式為：在多因素模型下，條件2表達式為： ……條件3：套利組合的預期收益率應大于零，即： （832）例某投資者擁有一個3種股票組成的投資組合，3種股票的市值均為500萬，投資組合的總價值為1500萬元。假定這三種股票均符合單因素模型，其預期收益率分別為16%、20%和13%，其對該因素的敏感度(bi)、。請問該投資者能否修改其投資組合，以便在不增加風險的情況下提高預期收益率。令三種股票市值比重變化量分別為xx2和x3。根據(jù)（830）和（831）我們有：上述兩個方程有三個變量，故有多種解。作為其中的一個解，我們令x1=，則可解出x2=,x3=－。為了檢驗這個解能否提高預期收益率，我們把這個解用式（832）檢驗。式（832）左邊等于：180。+180。－180。=%%為正數(shù)，（等于－180。1500萬元）同時買入150萬元第一種股票（180。1500萬元）（180。1500萬元）%。三、套利定價模型投資者套利活動是通過買入收益率偏高的證券同時賣出收益率偏低的證券來實現(xiàn)的，其結果是使收益率偏高的證券價格上升，其收益率將相應回落；同時使收益率偏低的證券價格下降，其收益率相應回升。這一過程將一直持續(xù)到各種證券的收益率跟各種證券對各因素的敏感度保持適當?shù)年P系為止。下面我們就來推導這種關系。（一）單因素模型的定價公式投資者套利活動的目標是使其套利組合預期收益率最大化(因為根據(jù)套利組合的定義,他無需投資,也沒有風險)。而套利組合的預期收益率為：但套利活動要受到式（）和（）兩個條件的約束。根據(jù)拉格朗日定理，我們可建立如下函數(shù)：L取最大值的一價條件是上式對xi和的偏導等于零即： ……由此我們可以得到在均衡狀態(tài)下和的關系： （833）這就是在單因素模型APT定價公式，其中是常數(shù)。從式（833）可以看出和必須保持線性關系，否則的活，投資者就可以通過套利活動來提高投資組合的預期收益率。式（833）可以用圖817來表示。 B APT資產(chǎn)定價線 S bB=bS bi 圖817 APT資產(chǎn)定價線從圖817可以看出，任何偏離APT資產(chǎn)定價線的證券，其定價都是錯誤的，從而將給投資者提供組建套利組合的機會。以B點所代表的證券為例，該點位于APT資產(chǎn)定價線上方，意味著其預期收益率較高，投資者就可以通過賣出S點所表示的證券，同時買入相同金額的B證券，從而形成套利組合。由于買賣B和S證券的金額相同，因此滿足套利組合的條件1；由于證券B和S的因素敏感度相等，而買賣金額也相同，因此滿足條件2；由于證券B的預期收益率大于證券S，且兩者在套利組合中權數(shù)相等，因此滿足條件3。由于投資者買入證券B，其價格將不斷上升，預期收益率將隨之下降，直至回到APT資產(chǎn)定價線為止。此時，證券價格處于均衡狀態(tài)。那么，式（833）中的代表什么意思呢？我們知道，無風險資產(chǎn)的收益率等于無風險利率，即：。由于式（833）適用于所有證券包括無風險證券，而無風險證券的因素敏感度，因此根據(jù)式（833）我們有：。由此可見，式（833）中的一定等于，因此式（833）可重新表示為： （834）為了理解的含義，我們考慮一個純因素組合其因素敏感度等于1，即代入（834），我們有： （835）由此可見，代表因素風險報酬，即擁有單位因素敏感度的組合超過無風險利率部分的預期收益率。為表達方便，我們令，即表示單位因素敏感度組合的預期收益率，我們有： （836）（二）兩因素模型的定價公式用同樣的方法我們可以求出兩因素模型中的APT資產(chǎn)定價公式： （837）由于無風險證券的收益率為，其對第一種和第二種因素的敏感度均為零，根據(jù)式（837），其預期收益率一定為。由此可知，一定等于即： （838）為理解的含義，我們考慮一個充分多樣化的組合，該組合對第一種因素的敏感度等于1，對第二種因素的敏感度等于0。從式（838）可知，該組合的預期收益率（）等于，因此。這樣，式（838）變?yōu)椋? （839）為理解的含義，我們考慮另一個充分多樣化的組合，該組合對第一種因素的敏感度等于0，對第二種因素的敏感度等于1。從式（838）可知，該組合的預期收益率（）等于，因此。這樣，式（839）變?yōu)椋? （840）（三）多因素模型的定價公式同樣道理，在多因素模型下，APT資產(chǎn)定價公式為： （841）如果我們用表示對第j種因素的敏感度為1，而對其它因素的敏感度為0的證券組合的預期收益率，我們可以得到： （842）式（842）說明，一種證券的預期收益率等于無風險利率加上k個因素風險報酬。第六節(jié) 資產(chǎn)定價模型的實證檢驗CAPM和套利定價理論的提出對全世界金融理論研究和實踐均產(chǎn)生了巨大的影響，其主要表現(xiàn)有：①大多數(shù)機構投資者都按預期收益率貝塔系數(shù)的關系（或者單位風險報酬）來評價其投資業(yè)績；②大多數(shù)國家的監(jiān)管當局在確定被監(jiān)管對象的資本成本時，都把預期收益率貝塔系數(shù)的關系連同對市場指數(shù)收益率的預測作為一個重要因素；③法院在衡量未來收入損失的賠償金額時也經(jīng)常使用預期收益率貝塔系數(shù)的關系來確定貼現(xiàn)率；④很多企業(yè)在進行資本預算決策時也使用預期收益率貝塔系數(shù)的關系來確定最低要求收益率。也正因為其影響力如此之大，從CAPM模型和套利定價理論提出至今，圍繞它們的爭論就一直沒有停止過。而大多數(shù)爭論都是根據(jù)不同的實證檢驗結果進行的。由于相關文獻多如牛毛，本節(jié)只能列舉一些主要的結論與證據(jù)。一、羅爾的批評1977年，Roll Roll,R., 1977, “A Critique of Asset Pricing Theory: Part I. On the Past and Potential Testability of the Theory,” Journal of Financial Economics,March, .發(fā)表了一篇了重要的論文，對CAPM的實證檢驗提出了嚴厲的批評。其主要觀點可以概括為：1． CAPM只有一個可檢驗的假設，那就是市場組合是均值方差有效的。2． 該模型的其他所有運用，包括最著名的預期收益率與貝塔系數(shù)之間的線性關系都遵從市場模型的效率，因此都不是單獨可以檢驗的。市場組合的有效性是預期收益率與貝塔系數(shù)之間線性關系的必要條件。3． 對于任何的樣本期收益率觀測值 ，運用樣本期的收益率和協(xié)方差（而不是事前的預期收益率和協(xié)方差）都可以找到無數(shù)的事后均值方差有效組合。運用任何這種組合與單個資產(chǎn)計算樣本期β系數(shù)都會與樣本平均收益率完全線性相關。換句話說，無論從事前的角度看真正的市場組合是否有效，這樣計算出來的β都會滿足證券市場線（SML）的關系。4． 除非我們知道真正市場組合的準確構成，并把它運用于實證檢驗，否則我們就無法檢驗CAPM的對錯。這意味著除非我們的樣本包括所有資產(chǎn)，否則CAPM就無法檢驗。5． 運用Samp。P500等來代替市場組合會面臨兩大問題：首先，即使真正的市場組合不是有效的，代替物也可能是有效的。相反，如果我們發(fā)現(xiàn)替代物不是有效的，我們也不能憑此認為真正的市場組合是無效的。再者，大多數(shù)替代物之間及其與真正的市場組合都會高度相關而不管他們是否有效，這就使得市場組合的準確構成看來并不重要。然而，運用不同的替代物自然會有不同的結論，這就是基準誤差（Benchmark Error）,它指的是在檢驗時使用不正確的基準所導致的誤差。 后來，Roll和RossRoll, R. and Stephen A. Ross, 1994, “On the CrossSectional Relation between Expected Return and Betas,” Journal of Finance 49, . 以及Kandel和StambaughKandel, Schmuel and Robert , “Potfolio Inefficiency and the CrossSection of Expected Return,” Journal of Finance 50(1995), pp. 185224?！盇 MeanVariance Framework for the tests of Asset Pricing Models,” Review of Financial Studies 2(1989), pp12556。 “On Correlations and Inferences about MeanVariance Efficiency,” Journal of Financial Economics 18(1987), .將Roll的批評更推進了一步，認為在檢驗中否定平均收益率與β系數(shù)存在正向關系只能說明在檢驗中所用的替代物無效，而不能否定預期收益率β系數(shù)之間的理論關系。他們還證明了，即使是高度分散的組合（如所有股票的等權重組合或市值加權組合）也可能不會產(chǎn)生有意義的平均收益率β系數(shù)關系。二、β系數(shù)的測度誤差Roll的批評說明了CAPM的實證檢驗從一開始就是有缺陷的。但假設我們可以獲得真實的市場組合的數(shù)據(jù)從而繞過Roll的問題，我們還得解決估計β系數(shù)時的測度誤差這個統(tǒng)計問題。統(tǒng)計學知識告訴我們，當回歸方程的右邊變量存在測度誤差時，則回歸方程的斜率就會被低估而截距就會被高估。Miller和ScholesMiller, Merton, and Myron Scholes, 1972, “ Rate of Return in Relation to Risk: A Reexamination of Some Recent Findings,” in Michael (ed.), Studies in th Theories of Capital Markets, Praeger, New York. 所做的模擬檢驗也證實了這一點。這是很多實證檢驗（如LintnerLintner, John，1965, “Security Prices, Risk and Maximal Gains from Diversification,” Journal of Finance . 所做的檢驗）發(fā)現(xiàn)估計的證券市場線（SML）太平而截距（超額收益率）不等于0的主要原因。為了解決β系數(shù)的測度誤差問題，Black,Jensen和Scholes(BJS)Black, Fischer, Michael C. Jensen, and Myron Scholes, 1972, “The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests,” in Michael (ed.), Stud