平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理-資料下載頁(yè)
2025-06-23 06:25本頁(yè)面
【正文】 四面體單元，h與單元體棱邊相關(guān)，因此與1相比為小量，趨近于零，因此同理 如果采用張量記號(hào)，則上述公式可以表示為上式給出了物體內(nèi)一點(diǎn)的9個(gè)應(yīng)力分量和通過(guò)同一點(diǎn)的各個(gè)微分面上的應(yīng)力之間的關(guān)系。這一關(guān)系式表明，只要有了應(yīng)力分量，就能夠確定一點(diǎn)任意截面的應(yīng)力矢量，或者正應(yīng)力和切應(yīng)力。因此應(yīng)力分量可以確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。167。 平衡微分方程學(xué)習(xí)思路: 物體在外力作用下產(chǎn)生變形，最后達(dá)到平衡位置。平衡不僅是指整個(gè)物體，而且彈性體的任何部分也是平衡的。 本節(jié)通過(guò)微分平行六面體單元討論彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)的平衡。 應(yīng)該注意：在討論微分單元體平衡時(shí)，考慮到坐標(biāo)的微小變化將導(dǎo)致應(yīng)力分量的相應(yīng)改變。即坐標(biāo)有增量時(shí)，應(yīng)力分量也有對(duì)應(yīng)的增量。這個(gè)增量作為高階小量，如果不涉及微分單元體平衡時(shí)是可以不考慮的。 微分平衡方程描述了彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)的平衡，確定了應(yīng)力分量與體力之間的關(guān)系。又稱(chēng)為納維（Navier）方程。 平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部應(yīng)力分量與體力之間的微分關(guān)系，是彈性力學(xué)的第一個(gè)基本方程。 切應(yīng)力互等定理是彈性體力矩平衡的結(jié)果。學(xué)習(xí)要點(diǎn)： 1. 微分單元體及平衡關(guān)系；2. 平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理。平衡方程物體在外力作用下產(chǎn)生變形，最后達(dá)到平衡位置。不僅整個(gè)物體是平衡的，而且彈性體的任何部分也都是平衡的。為了考察彈性體內(nèi)部的平衡，通過(guò)微分平行六面體單元討論任意一點(diǎn)M 的平衡。在物體內(nèi)，通過(guò)任意點(diǎn)M，用三組與坐標(biāo)軸平行的平面截取一正六面體單元，單元的棱邊分別與x，y，z軸平行，棱邊分別長(zhǎng)dx，dy，dz。討論微分平行六面體單元的平衡。 在x面上有應(yīng)力分量sx ， t xy 和 t xz ；在x+dx面上，應(yīng)力分量相對(duì)x 截面有一個(gè)增量，取一階增量，則。對(duì)y，z方向的應(yīng)力分量作同樣處理。 根據(jù)微分單元體x方向平衡，∑Fx=0，則 簡(jiǎn)化并且略去高階小量，可得同理考慮y，z方向，有 上述公式給出了應(yīng)力和體力之間的平衡關(guān)系，稱(chēng)為平衡微分方程，又叫納維（Navier）方程。用張量形式表示，可以寫(xiě)作 如果考慮微分單元體的力矩平衡， 則可以得到t xy =t yx， t yz=tzy， tzx=txz 由此可見(jiàn)，切應(yīng)力是成對(duì)出現(xiàn)的，9個(gè)應(yīng)力分量中僅有6個(gè)是獨(dú)立的。 上述關(guān)系式又稱(chēng)作切應(yīng)力互等定理。用張量形式表示，則sij = sji
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