平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理(參考版)
2025-06-26 06:25本頁面
【正文】 上述關(guān)系式又稱作切應(yīng)力互等定理。 由此可見，切應(yīng)力是成對出現(xiàn)的，9個應(yīng)力分量中僅有6個是獨立的。 上述公式給出了應(yīng)力和體力之間的平衡關(guān)系，稱為平衡微分方程，又叫納維（Navier）方程。 根據(jù)微分單元體x方向平衡，∑Fx=0，則 對y，z方向的應(yīng)力分量作同樣處理。 在x面上有應(yīng)力分量sx ，討論微分平行六面體單元的平衡。為了考察彈性體內(nèi)部的平衡，通過微分平行六面體單元討論任意一點M 的平衡。平衡方程物體在外力作用下產(chǎn)生變形，最后達到平衡位置。學習要點： 微分平衡方程描述了彈性體內(nèi)部任意一點的平衡，確定了應(yīng)力分量與體力之間的關(guān)系。這個增量作為高階小量，如果不涉及微分單元體平衡時是可以不考慮的。 應(yīng)該注意：在討論微分單元體平衡時，考慮到坐標的微小變化將導致應(yīng)力分量的相應(yīng)改變。 本節(jié)通過微分平行六面體單元討論彈性體內(nèi)部任意一點的平衡。平衡不僅是指整個物體，而且彈性體的任何部分也是平衡的。 平衡微分方程學習思路:因此應(yīng)力分量可以確定一點的應(yīng)力狀態(tài)。 如果采用張量記號，則上述公式可以表示為上式給出了物體內(nèi)一點的9個應(yīng)力分量和通過同一點的各個微分面上的應(yīng)力之間的關(guān)系。 ΔOAB=nSΔABC的法線方向的單位矢量可表示為 n = l i+ l j + m k微分四面體在應(yīng)力矢量和體積力作用下應(yīng)滿足平衡條件，設(shè)h為O點至斜面ABC的高，由x方向的平衡，可得將公式代入上式，則 則應(yīng)力矢量可以表示為 pn = pxi+ py j+ pz k同樣，把單位體積的質(zhì)量所受的體積力Fb沿坐標軸分解，有Fb = Fbxi+ Fby j+ Fbz k設(shè)S為ΔABC的面積，則 ΔOBC=lS,斜截面的法線方向矢量為n，它的三個方向余弦分別為l，m和n。一點的九個應(yīng)力分量如果能夠完全確定一點的應(yīng)力狀態(tài)，則其必須能夠表達通過該點的任意斜截面上的應(yīng)力矢量。 1. 微分四面體單元； 分析表明：一點的應(yīng)力分量確定后，任意斜截面的應(yīng)力矢量是確定的。 根據(jù)平衡關(guān)系，推導任意斜截面的應(yīng)力矢量、法線方向余弦和各個應(yīng)力分量之間的關(guān)系。 利用三個坐標平面和一個任意斜截面構(gòu)造微分四面體單元，通過四面體單元探討坐標平面的應(yīng)力分量和斜截面上的應(yīng)力矢量的關(guān)系。 本節(jié)分析應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，為深入討論應(yīng)力狀態(tài)作準備。如果應(yīng)力分量能夠描述一點的應(yīng)力狀態(tài)，那么應(yīng)力分量與其它應(yīng)力參數(shù)必然有內(nèi)在聯(lián)系。
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