【正文】 程的特征方程是因此，特征根是該差分方程對應(yīng)于的解是對于和，注意到，于是，該差分方程對應(yīng)于和的解是， 這樣，該差分方程的通解是例 求差分方程的通解。解：該差分方程的特征方程是特征根是是三重根。因此，該差分方程的通解是非齊次方程解的結(jié)構(gòu)下列形式的差分方程稱為階常系數(shù)線性非齊次差分方程：其中，是已知的時間序列。稱階常系數(shù)線性齊次差分方程是非齊次差分方程對應(yīng)的齊次差分方程。通常，對應(yīng)齊次差分方程的特征方程和特征根也稱為非齊次差分方程的特征方程和特征根。下面討論非齊次差分方程與對應(yīng)齊次差分方程的解之間的關(guān)系，從中可以得到求非齊次差分方程通解的方法。定理 設(shè)是非齊次差分方程的解，是對應(yīng)齊次差分方程的解。則是非齊次差分方程的解。證明：根據(jù)條件，有將代入非齊次差分方程，有 定理 設(shè)，是非齊次差分方程的解，則是對應(yīng)齊次差分方程的解。證明：根據(jù)條件，有將代入對應(yīng)齊次差分方程，有 根據(jù)上述兩個定理，讀者可以自己證明：定理 設(shè)是非齊次差分方程的一個特解，是對應(yīng)差分齊次方程的解。則是非齊次差分方程的通解。定理常稱為常系數(shù)線性非齊次差分方程解的結(jié)構(gòu)定理。根據(jù)上述定理，常系數(shù)線性非齊次差分方程的通解由它的一個特解加上對應(yīng)齊次方程的通解組成。因此，解常系數(shù)線性非齊次差分方程的通解通常分兩部分。一部分是求對應(yīng)齊次差分方程的通解；另一部分是求它自己的一個特解。上節(jié)已介紹了常系數(shù)線性齊次差分方程通解的解法。非齊次差分方程特解的求法與常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解的求法類似。167。 微分方程的穩(wěn)定性理論簡介微分方程一般都是反映了實際系統(tǒng)的運動規(guī)律，它的每個（特）解都反映了實際系統(tǒng)的一種運動軌跡。然而，沒有求解微分方程的一般方法。因此，我們退而求次，希望直接利用，來研究其解的某些性質(zhì)。我們通常最關(guān)心下列三個問題： 微分方程是否有平衡解，即是否存在常數(shù)向量，使是該微分方程的解； 設(shè)是的一個特解，當初始條件發(fā)生了微小變化時，是否也只發(fā)生微小的變化。此即微分方程穩(wěn)定性問題； 當時，的性狀？是否所有的解是否都趨于平衡解？如果不趨于平衡解，是否能趨于周期解？這三個問題構(gòu)成了所謂的微分方程的定性理論。平衡解問題很容易解決。事實上，若，則。因此，當且僅當時，是該方程的平衡解。 下面介紹微分方程穩(wěn)定性理論初步。主要是介紹穩(wěn)定性定義與判據(jù)。定義：設(shè)微分方程有初始條件為的特解。若對任意的，存在，使得對所有其初始條件滿足不等式的解及對所有的，有，則稱是穩(wěn)定的。若是穩(wěn)定的，且有則稱是漸進穩(wěn)定的。令，并帶入原方程，則新方程顯然有平凡解。因此原方程的特解的穩(wěn)定性等價于新方程在平衡解的穩(wěn)定性。顯然，穩(wěn)定解是平衡解，但是，平衡解不一定是穩(wěn)定解。定義：設(shè)函數(shù)滿足下列條件：i. ，有（）ii.則稱是正定（負定）函數(shù)。對于正（負）定函數(shù)，若，使得，則稱是半正（負）定。上面定義的函數(shù)類也稱為李雅普諾夫函數(shù)。定義：設(shè)有函數(shù)，若存在正定函數(shù)，使得對任意的，有（），則稱是正（負）定的。類似的，可以定義半正（負）定函數(shù)。定義：設(shè)是正定函數(shù)，若存在正定函數(shù)，使得，則稱是無窮小上界正定函數(shù)。微分方程穩(wěn)定性基本判據(jù)（李雅普諾夫第一定理）設(shè)有微分方程，且f連續(xù)，則該方程的平凡解是穩(wěn)定的必要充分條件是存在正（負）定函數(shù)，使得下列表達式是負（正）定的。漸進穩(wěn)定性基本判據(jù)（李雅普諾夫第二定理）若存在無窮小上界函數(shù)，使得是負定的，則微分方程的平凡解是穩(wěn)定的。根據(jù)這兩個定理，判斷微分方程穩(wěn)定性的關(guān)鍵是能否構(gòu)造正（負）定函數(shù)。線性常系數(shù)齊次微分方程組的穩(wěn)定性判別定理設(shè)有微分方程。若A的所有特征值的實部都小于零，則該微分方程是漸進穩(wěn)定的。若A的所有特征值的實部都小于等于零，且實部等于零的特征值僅是A的單特征值，則該微分方程是穩(wěn)定的。對于一般的一階微分方程，可否利用它的一次近似式來研究它的穩(wěn)定性？定理：設(shè)若對任意，存在，使得， （ i =1，2，…，n ）且A的特征值的實部小于零，則是穩(wěn)定的。167。 差分方程的穩(wěn)定性理論簡介在概念上，差分方程的穩(wěn)定性與微分方程的穩(wěn)定性基本相同，僅記號有所不同。引進一些記號。給定差分方程向量， 表示兩個初始條件。它們的差稱為初始條件的擾動。此時，初始條件可以表示為定義向量的模為差分方程對應(yīng)于初始條件的特解記為。定義 差分方程對應(yīng)于初始條件的特解稱為是穩(wěn)定的,如果對于任意給定的，當時，有則稱特解是穩(wěn)定的。為了研究方便，對上述差分方程穩(wěn)定性定義作幾點修改。1) 令，則上式等價于；2) 對于許多差分方程，它的解連續(xù)地依賴于通解中的任意常數(shù)。故初始條件有微小變化與有微小變化等價，反之亦然。因此，通常僅考慮有微小變化。定義 對差分方程（），若當它的通解中的任意常數(shù)在一組特定值處有微小變化時，它的解滿足條件則稱該差分方程是穩(wěn)定的。一般差分方程的穩(wěn)定性的研究相當困難，目前仍然一個活躍的研究領(lǐng)域。下面僅介紹常系數(shù)線性差分方程穩(wěn)定性理論。由于常系數(shù)線性差分方程具有某些特有的性質(zhì)，給穩(wěn)定性研究帶來一定的方便。因此，可以對常系數(shù)線性差分方程給出一個更為方便的穩(wěn)定性定義。對于穩(wěn)定性研究而言，常系數(shù)線性差分方程具有以下三個特性：第一、 由于是線性齊次差分方程的解。因此，在進行穩(wěn)定性研究時，可以僅考慮齊次方程；第二、第二、 ，（）等價于，（）。因此，在進行穩(wěn)定性研究時，可以僅考慮，（）；第三、 第三、另外，設(shè)是常系數(shù)線性齊次差分方程個獨立的特解，則它的通解是因此，對于常系數(shù)線性齊次差分方程來說，初始條件的微小變化與的微小變化是等價的。再注意到穩(wěn)定性定義中的任意性，故在研究此類差分方程穩(wěn)定性時，可以讓取任意值。這樣，常系數(shù)線性齊次差分方程穩(wěn)定性的定義可以進一步簡化為：定義 設(shè)有常系數(shù)線性齊次差分方程設(shè)是它的個獨立的特解。若不論取何值，都有則稱該差分方程是穩(wěn)定的。根據(jù)常系數(shù)線性齊次差分方程獨立特解的構(gòu)造，容易得到判斷常系數(shù)線性齊次差分方程穩(wěn)定性的基本定理：定理 常系數(shù)線性齊次差分方程是穩(wěn)定的必要充分條件是它的個特征根的模小于1，即 證明：當是實數(shù)時，它所對應(yīng)的特解是或。顯然，當且僅當時，有 或 當是復(fù)數(shù)時，該方程對應(yīng)的特解是與，或者是與。其中， ， 同樣，當且僅當時，有根據(jù)穩(wěn)定性定義，只有當這些式子都成立時，該差分方程才是穩(wěn)定的。 例： 判斷下列差分方程的穩(wěn)定性。解：差分方程的特征方程是所以，它的特征根是。由于，所以，該差分方程是穩(wěn)定的。一般來說，特征根的計算非常困難，所以，下面不加證明地介紹一個不需要計算特征根的常系數(shù)線性差分方程穩(wěn)定性判別定理。定理 設(shè)常系數(shù)線性差分方程的特征方程是構(gòu)造系列行列式，則差分方程是穩(wěn)定的必要充分條件是 例： 用上述定理判斷上例中的差分方程的穩(wěn)定性。解：所以，該差分方程是穩(wěn)定的。47