【正文】 程的特征方程是因此，特征根是該差分方程對(duì)應(yīng)于的解是對(duì)于和，注意到，于是，該差分方程對(duì)應(yīng)于和的解是， 這樣，該差分方程的通解是例 求差分方程的通解。解：該差分方程的特征方程是特征根是是三重根。因此，該差分方程的通解是非齊次方程解的結(jié)構(gòu)下列形式的差分方程稱(chēng)為階常系數(shù)線性非齊次差分方程：其中，是已知的時(shí)間序列。稱(chēng)階常系數(shù)線性齊次差分方程是非齊次差分方程對(duì)應(yīng)的齊次差分方程。通常，對(duì)應(yīng)齊次差分方程的特征方程和特征根也稱(chēng)為非齊次差分方程的特征方程和特征根。下面討論非齊次差分方程與對(duì)應(yīng)齊次差分方程的解之間的關(guān)系，從中可以得到求非齊次差分方程通解的方法。定理 設(shè)是非齊次差分方程的解，是對(duì)應(yīng)齊次差分方程的解。則是非齊次差分方程的解。證明：根據(jù)條件，有將代入非齊次差分方程，有 定理 設(shè)，是非齊次差分方程的解，則是對(duì)應(yīng)齊次差分方程的解。證明：根據(jù)條件，有將代入對(duì)應(yīng)齊次差分方程，有 根據(jù)上述兩個(gè)定理，讀者可以自己證明：定理 設(shè)是非齊次差分方程的一個(gè)特解，是對(duì)應(yīng)差分齊次方程的解。則是非齊次差分方程的通解。定理常稱(chēng)為常系數(shù)線性非齊次差分方程解的結(jié)構(gòu)定理。根據(jù)上述定理，常系數(shù)線性非齊次差分方程的通解由它的一個(gè)特解加上對(duì)應(yīng)齊次方程的通解組成。因此，解常系數(shù)線性非齊次差分方程的通解通常分兩部分。一部分是求對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解；另一部分是求它自己的一個(gè)特解。上節(jié)已介紹了常系數(shù)線性齊次差分方程通解的解法。非齊次差分方程特解的求法與常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解的求法類(lèi)似。167。 微分方程的穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介微分方程一般都是反映了實(shí)際系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，它的每個(gè)（特）解都反映了實(shí)際系統(tǒng)的一種運(yùn)動(dòng)軌跡。然而，沒(méi)有求解微分方程的一般方法。因此，我們退而求次，希望直接利用，來(lái)研究其解的某些性質(zhì)。我們通常最關(guān)心下列三個(gè)問(wèn)題： 微分方程是否有平衡解，即是否存在常數(shù)向量，使是該微分方程的解； 設(shè)是的一個(gè)特解，當(dāng)初始條件發(fā)生了微小變化時(shí)，是否也只發(fā)生微小的變化。此即微分方程穩(wěn)定性問(wèn)題； 當(dāng)時(shí)，的性狀？是否所有的解是否都趨于平衡解？如果不趨于平衡解，是否能趨于周期解？這三個(gè)問(wèn)題構(gòu)成了所謂的微分方程的定性理論。平衡解問(wèn)題很容易解決。事實(shí)上，若，則。因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，是該方程的平衡解。 下面介紹微分方程穩(wěn)定性理論初步。主要是介紹穩(wěn)定性定義與判據(jù)。定義：設(shè)微分方程有初始條件為的特解。若對(duì)任意的，存在，使得對(duì)所有其初始條件滿(mǎn)足不等式的解及對(duì)所有的，有，則稱(chēng)是穩(wěn)定的。若是穩(wěn)定的，且有則稱(chēng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。令，并帶入原方程，則新方程顯然有平凡解。因此原方程的特解的穩(wěn)定性等價(jià)于新方程在平衡解的穩(wěn)定性。顯然，穩(wěn)定解是平衡解，但是，平衡解不一定是穩(wěn)定解。定義：設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足下列條件：i. ，有（）ii.則稱(chēng)是正定（負(fù)定）函數(shù)。對(duì)于正（負(fù)）定函數(shù)，若，使得，則稱(chēng)是半正（負(fù)）定。上面定義的函數(shù)類(lèi)也稱(chēng)為李雅普諾夫函數(shù)。定義：設(shè)有函數(shù)，若存在正定函數(shù)，使得對(duì)任意的，有（），則稱(chēng)是正（負(fù)）定的。類(lèi)似的，可以定義半正（負(fù)）定函數(shù)。定義：設(shè)是正定函數(shù)，若存在正定函數(shù)，使得，則稱(chēng)是無(wú)窮小上界正定函數(shù)。微分方程穩(wěn)定性基本判據(jù)（李雅普諾夫第一定理）設(shè)有微分方程，且f連續(xù)，則該方程的平凡解是穩(wěn)定的必要充分條件是存在正（負(fù)）定函數(shù)，使得下列表達(dá)式是負(fù)（正）定的。漸進(jìn)穩(wěn)定性基本判據(jù)（李雅普諾夫第二定理）若存在無(wú)窮小上界函數(shù)，使得是負(fù)定的，則微分方程的平凡解是穩(wěn)定的。根據(jù)這兩個(gè)定理，判斷微分方程穩(wěn)定性的關(guān)鍵是能否構(gòu)造正（負(fù)）定函數(shù)。線性常系數(shù)齊次微分方程組的穩(wěn)定性判別定理設(shè)有微分方程。若A的所有特征值的實(shí)部都小于零，則該微分方程是漸進(jìn)穩(wěn)定的。若A的所有特征值的實(shí)部都小于等于零，且實(shí)部等于零的特征值僅是A的單特征值，則該微分方程是穩(wěn)定的。對(duì)于一般的一階微分方程，可否利用它的一次近似式來(lái)研究它的穩(wěn)定性？定理：設(shè)若對(duì)任意，存在，使得， （ i =1，2，…，n ）且A的特征值的實(shí)部小于零，則是穩(wěn)定的。167。 差分方程的穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介在概念上，差分方程的穩(wěn)定性與微分方程的穩(wěn)定性基本相同，僅記號(hào)有所不同。引進(jìn)一些記號(hào)。給定差分方程向量， 表示兩個(gè)初始條件。它們的差稱(chēng)為初始條件的擾動(dòng)。此時(shí)，初始條件可以表示為定義向量的模為差分方程對(duì)應(yīng)于初始條件的特解記為。定義 差分方程對(duì)應(yīng)于初始條件的特解稱(chēng)為是穩(wěn)定的,如果對(duì)于任意給定的，當(dāng)時(shí)，有則稱(chēng)特解是穩(wěn)定的。為了研究方便，對(duì)上述差分方程穩(wěn)定性定義作幾點(diǎn)修改。1) 令，則上式等價(jià)于；2) 對(duì)于許多差分方程，它的解連續(xù)地依賴(lài)于通解中的任意常數(shù)。故初始條件有微小變化與有微小變化等價(jià)，反之亦然。因此，通常僅考慮有微小變化。定義 對(duì)差分方程（），若當(dāng)它的通解中的任意常數(shù)在一組特定值處有微小變化時(shí)，它的解滿(mǎn)足條件則稱(chēng)該差分方程是穩(wěn)定的。一般差分方程的穩(wěn)定性的研究相當(dāng)困難，目前仍然一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域。下面僅介紹常系數(shù)線性差分方程穩(wěn)定性理論。由于常系數(shù)線性差分方程具有某些特有的性質(zhì)，給穩(wěn)定性研究帶來(lái)一定的方便。因此，可以對(duì)常系數(shù)線性差分方程給出一個(gè)更為方便的穩(wěn)定性定義。對(duì)于穩(wěn)定性研究而言，常系數(shù)線性差分方程具有以下三個(gè)特性：第一、 由于是線性齊次差分方程的解。因此，在進(jìn)行穩(wěn)定性研究時(shí)，可以?xún)H考慮齊次方程；第二、第二、 ，（）等價(jià)于，（）。因此，在進(jìn)行穩(wěn)定性研究時(shí)，可以?xún)H考慮，（）；第三、 第三、另外，設(shè)是常系數(shù)線性齊次差分方程個(gè)獨(dú)立的特解，則它的通解是因此，對(duì)于常系數(shù)線性齊次差分方程來(lái)說(shuō)，初始條件的微小變化與的微小變化是等價(jià)的。再注意到穩(wěn)定性定義中的任意性，故在研究此類(lèi)差分方程穩(wěn)定性時(shí)，可以讓取任意值。這樣，常系數(shù)線性齊次差分方程穩(wěn)定性的定義可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：定義 設(shè)有常系數(shù)線性齊次差分方程設(shè)是它的個(gè)獨(dú)立的特解。若不論取何值，都有則稱(chēng)該差分方程是穩(wěn)定的。根據(jù)常系數(shù)線性齊次差分方程獨(dú)立特解的構(gòu)造，容易得到判斷常系數(shù)線性齊次差分方程穩(wěn)定性的基本定理：定理 常系數(shù)線性齊次差分方程是穩(wěn)定的必要充分條件是它的個(gè)特征根的模小于1，即 證明：當(dāng)是實(shí)數(shù)時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的特解是或。顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有 或 當(dāng)是復(fù)數(shù)時(shí)，該方程對(duì)應(yīng)的特解是與，或者是與。其中， ， 同樣，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有根據(jù)穩(wěn)定性定義，只有當(dāng)這些式子都成立時(shí)，該差分方程才是穩(wěn)定的。 例： 判斷下列差分方程的穩(wěn)定性。解：差分方程的特征方程是所以，它的特征根是。由于，所以，該差分方程是穩(wěn)定的。一般來(lái)說(shuō)，特征根的計(jì)算非常困難，所以，下面不加證明地介紹一個(gè)不需要計(jì)算特征根的常系數(shù)線性差分方程穩(wěn)定性判別定理。定理 設(shè)常系數(shù)線性差分方程的特征方程是構(gòu)造系列行列式，則差分方程是穩(wěn)定的必要充分條件是 例： 用上述定理判斷上例中的差分方程的穩(wěn)定性。解：所以，該差分方程是穩(wěn)定的。47