平面向量練習題集答案-資料下載頁
2025-06-22 14:05本頁面
【正文】 積的定義、性質(zhì)、運算律可以解決向量的模、夾角等問題.【變式訓練1】已知向量a，b，c滿足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則a與b的夾角大小是 . 【解析】由c⊥a?ca＝0?a2＋ab＝0，所以cos θ＝－，所以θ＝120176。.題型二 利用數(shù)量積來解決垂直與平行的問題【例2】 在△ABC中，＝(2，3)， ＝(1，k)，且△ABC的一個內(nèi)角為直角，求k的值.【解析】①當∠A＝90176。時，有＝0，所以21＋3k＝0，所以k＝－； ②當∠B＝90176。時，有＝0，又＝－＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，所以2(－1)＋3(k－3)＝0?k＝；③當∠C＝90176。時，有＝0，所以－1＋k(k－3)＝0，所以k2－3k－1＝0?k＝.所以k的取值為－，或.【點撥】因為哪個角是直角尚未確定，應注意方向及兩向量的夾角.【變式訓練2】△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，求＋＋.【解析】因為2＋2＋2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋＝－42－62－52＝－77.所以＋＋＝－.題型三 平面向量的數(shù)量積的綜合問題【例3】數(shù)軸Ox，Oy交于點O，且∠xOy＝，構(gòu)成一個平面斜坐標系，e1，e2分別是與Ox，Oy同向的單位向量，設P為坐標平面內(nèi)一點，且＝xe1＋ye2，則點P的坐標為(x，y)，已知Q(－1，2).(1)求||的值及與Ox的夾角；(2)過點Q的直線l⊥OQ，求l的直線方程(在斜坐標系中).【解析】(1)依題意知，e1e2＝，且＝－e1＋2e2，所以2＝(－e1＋2e2)2＝1＋4－4e1e2＝3.所以||＝.又e1＝(－e1＋2e2) e1＝－e＋2e1e2＝0.所以⊥e1，即與Ox成90176。角.(2)設l上動點P(x，y)，即＝xe1＋ye2，又⊥l，故⊥，即[(x＋1)e1＋(y－2)e2] (－e1＋2e2)＝0.所以－(x＋1)＋(x＋1)－(y－2) ＋2(y－2)＝0，所以y＝2，即為所求直線l的方程. 【點撥】綜合利用向量線性運算與數(shù)量積的運算，并且與不等式、函數(shù)、方程、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等相交匯，體現(xiàn)以能力立意的命題原則是近年來高考的命題趨勢.【變式訓練3】在平面直角坐標系xOy中，點A(5，0).對于某個正實數(shù)k，存在函數(shù)f(x)＝ax2(a＞0)，使得＝λ (＋)(λ為常數(shù))，其中點P，Q的坐標分別為(1，f(1))，(k，f(k))，則k的取值范圍為( )A.(2，＋∞) B.(3，＋∞)C.(4，＋∞) D.(8，＋∞)【解析】如圖所示，設＝，＝，＋＝，則＝(1，a)，Q(k，ak2)，＝(1，0)，＝(，)，＝(＋1，)，則直線OG的方程為y＝x，又＝λ，所以P(1，a)在直線OG上，所以a＝，所以a2＝1－.因為||＝＞1，所以1－＞0，所以k＞2. 故選A.
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