平面向量練習(xí)題集答案-文庫(kù)吧
2025-06-07 14:05 本頁(yè)面
【正文】 0時(shí),與異向。=0時(shí), =∥向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)或時(shí),=0且時(shí),三．平面向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則=︱︱︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定2向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對(duì)值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義： 等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式成立： ；6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：①交換律成立：②對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：③分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知兩個(gè)向量，則=8向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量與，作=, =,則∠AOB= （）叫做向量與的夾角cos==當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，θ=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)θ=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：⊥＝O典例精析題型一 向量的有關(guān)概念【例1】 下列命題：①向量的長(zhǎng)度與的長(zhǎng)度相等；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)必相同；④向量與向量是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上.其中真命題的序號(hào)是 .【解析】①對(duì)；零向量與任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②錯(cuò)；③顯然錯(cuò)；與是共線向量，則A、B、C、D可在同一直線上，也可共面但不在同一直線上，故④①.【點(diǎn)撥】正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵，注意到特殊情況，否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反例即可.【變式訓(xùn)練1】下列各式：①|(zhì)a|＝；②(ab) c＝a (bc)；③－＝；④在任意四邊形ABCD中，M為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則＋＝2；⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a與b不共線，則(a＋b)⊥(a－b).其中正確的個(gè)數(shù)為( ) 【解析】選D.| a|＝正確；(ab) c≠a (bc)； －＝正確；如下圖所示，=++且=++，兩式相加可得2＝＋，即命題④正確；因?yàn)閍，b不共線，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b為菱形的兩條對(duì)角線，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命題①③④⑤正確.題型二 與向量線性運(yùn)算有關(guān)的問題【例2】如圖，ABCD是平行四邊形，AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段DO上，且=，點(diǎn)N在線段OC上,且=,設(shè)=a, =b,試用a、b表示，.【解析】在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，所以＝＝(－)＝(a－b)，＝＝＝(＋)＝(a＋b).又＝， ＝，所以＝＋＝b＋＝b＋(a－b)＝a＋b，＝＋＝＋＝＝(a＋b)＝(a＋b). 所以＝－＝(a＋b)－(a＋b)＝a－b.【點(diǎn)撥】向量的線性運(yùn)算的一個(gè)重要作用就是可以將平面內(nèi)任一向量由平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量表示，即平面向量基本定理的應(yīng)用，在運(yùn)用向量解決問題時(shí)，經(jīng)常需要進(jìn)行這樣的變形.【變式
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