【正文】 BC, ∵ AD∥ BC,∴ EH⊥ AD. 根據(jù)垂徑定理 ,得 AH=DH. ∵ AB=8,AD=12,∴ AH=6,HE=8. 設(shè)☉ O的半徑為 r,則 AO=r,OH=8r. 在 Rt△ OAH中 ,由勾股定理得 (8r)2+62=r2,解得 r=? . ∴ ☉ O的半徑為 ? . 2542544.(2022廣西南寧 ,18,3分 )如圖 ,△ ABC是等腰直角三角形 ,AC=BC=a,以斜邊 AB上的點 O為圓心 的圓分別與 AC,BC相切于點 E,F,與 AB分別交于點 G,H,且 EH的延長線和 CB的延長線交于點 D, 則 CD的長為 . ? 答案 ? a 212?解析 連接 OE、 OF,設(shè)☉ O的半徑為 r, ? 由題意易知 OE⊥ AC,OF⊥ BC,OE=OF=AE=BF=CE=CF=OH=r=? a. 在 Rt△ AOE和 Rt△ BOF中 , 由勾股定理得 OA=OB=? r=? a. ∴ BH=OBOH=? ar=? a? a=? a. 又 ∠ C=90176。,∴ BC⊥ AC. 又 OE⊥ AC,∴ OE∥ BC. ∴ △ BDH∽ △ OEH. ∴ ? =? ,即 ? =? . 122 2222 22 12212?BDOEBHOH BDr BHr∴ BD=BH=? a. ∴ CD=BC+BD=a+? a=? a. (也可利用平行線性質(zhì)、對頂角相等和等腰三角形的性質(zhì)與判定證明 BD=BH) 212?212? 212?評析 本題是一道綜合性較強(qiáng)的幾何計算題 ,主要考查了圓的切線的性質(zhì)、切線長定理、等 腰三角形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識的綜 合應(yīng)用 ,其解題關(guān)鍵是通過三角形相似 ,得到 BD=BH,從而求出線段 CD的長 ,屬較難題 . 5.(2022山東青島 ,12,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,BD,CD分別是過☉ O上點 B,C的切線 ,且 ∠ BDC =110176。.連接 AC,則 ∠ A的度數(shù)是 176。. ? 答案 35 解析 連接 BC,易知 DB=DC,所以 ∠ DBC=? (180176?！?BDC)=35176。,所以 ∠ A=∠ DBC=35176。. 126.(2022四川成都 ,14,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,點 C在 AB的延長線上 ,CD切☉ O于點 D,連接 AD. 若 ∠ A=25176。,則 ∠ C= 度 . ? 答案 40 解析 如圖 ,連接 OD.∵∠ A=25176。, ∴∠ DOC=50176。.∵ CD切☉ O于 D,∴∠ ODC=90176。. ∴∠ C=90176?！?DOC=90176。50176。=40176。.故填 40. ? 7.(2022浙江溫州 ,16,5分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AD=8,E是邊 AB上一點 ,且 AE=? AB.☉ O經(jīng)過 點 E,與邊 CD所在直線相切于點 G(∠ GEB為銳角 ),與邊 AB所在直線相交于另一點 F,且 EG∶ EF =? ∶ AD或 BC所在的直線與☉ O相切時 ,AB的長是 . ? 145答案 4或 12 解析 如圖 ,連接 EO,連接 GO并延長 ,交 EF于 N點 ,則 GN⊥ AB.∴ EN=NF. 又 ∵ EG∶ EF=? ∶ 2,∴ EG∶ EN=? ∶ 1. 又 ∵ GN=AD=8, ∴ 設(shè) EN=x,則 GE=? x,根據(jù)勾股定理得 (? x)2x2=64,解得 x=4, ∴ GE=4? . 設(shè)☉ O的半徑為 r,由 OE2=EN2+ON2得 r2=16+(8r)2, ∴ r=5. 設(shè) BC所在的直線與☉ O相切于 K點 ,連接 OK. ∴ OK=NB=5,∴ EB=9. 又 AE=? AB,∴ AB=12. 當(dāng) AD與☉ O相切時 ,同理可求出 AB=4. 5 555514評析 本題考查了切線的性質(zhì)以及勾股定理和垂徑定理的綜合應(yīng)用 ,解答本題的關(guān)鍵在于正 確添加輔助線 ,并進(jìn)行分類討論 ,利用勾股定理求出對應(yīng)圓的半徑 . 8.(2022北京 ,25,5分 )如圖 ,AB為☉ O的直徑 ,F為弦 AC的中點 ,連接 OF并延長交 ? 于點 D,過點 D 作☉ O的切線 ,交 BA的延長線于點 E. (1)求證 :AC∥ DE。 (2)連接 CD,若 OA=AE=a,寫出求四邊形 ACDE面積的思路 . ? AC︵解析 (1)證明 :連接 OC,如圖 . ? ∵ OA=OC,F為 AC的中點 , ∴ OD⊥ AC. ∵ DE是☉ O的切線 , ∴ OD⊥ DE. ∴ AC∥ DE. (2)求解思路如下 : ① 在 Rt△ ODE中 ,由 OA=AE=OD=a,可得△ ODE,△ OFA為含 30176。角的直角三角形 。 ② 由 ∠ ACD=? ∠ AOD=30176。,可知 CD∥ OE。 ③ 由 AC∥ DE,可知四邊形 ACDE是平行四邊形 。 ④ 由△ ODE,△ OFA為含有 30176。角的直角三角形 ,可求 DE,DF的長 ,進(jìn)而可求四邊形 ACDE的面 積 . ? 129.(2022廣西南寧 ,23,8分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,BD是角平分線 ,點 O在 AB上 ,以點 O為圓 心 ,OB為半徑的圓經(jīng)過點 D,交 BC于點 E. (1)求證 :AC是☉ O的切線 。 (2)若 OB=10,CD=8,求 BE的長 . ? 解析 (1)證明 :連接 OD,? (1分 ) ∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ OBD=∠ CBD. ∵ 點 B,D在☉ O上 ,∴ OB=OD, ∴∠ ODB=∠ OBD, ∴∠ ODB=∠ CBD, ∴ OD∥ BC.? (3分 ) ∴∠ ODA=∠ C=90176。, ∴ OD⊥ AC.? (4分 ) 又 ∵ 點 D在☉ O上 , ∴ AC是☉ O的切線 .? (5分 ) ? (2)過點 O作 OF⊥ BC于點 F, ∴ BF=EF,∠ OFC=90176。.? (6分 ) 又 ∵∠ C=∠ ODC=90176。, ∴ 四邊形 CDOF是矩形 . ∴ OF=CD=8,? (7分 ) 在 Rt△ BOF中 ,BF=? =? =6, ∴ BE=2BF=12.? (8分 ) 22OB OF? 2210 8?10.(2022陜西 ,23,8分 )如圖 ,已知 :AB是☉ O的弦 ,過點 B作 BC⊥ AB交☉ O于點 C,過點 C作☉ O的切 線交 AB的延長線于點 D,取 AD的中點 E,過點 E作 EF∥ BC交 DC的延長線于點 F,連接 AF并延長 交 BC的延長線于點 G. 求證 :(1)FC=FG。 (2)AB2=BCBG. ? 證明 (1)如圖 ,∵ EF∥ BC,AB⊥ BG, ? ∴ EF⊥ ∵ E是 AD的中點 , ∴ FA =FD.∴∠ FAD=∠ D.? (2分 ) 又知 GB⊥ AB, ∴∠ GAB+∠ G=∠ D+∠ 1=90176。.∴∠ 1=∠ G. 而 ∠ 1=∠ 2, ∴∠ 2=∠ G.∴ FC=FG.? (4分 ) (2)連接 AC. ∵ AB⊥ BG, ∴ AC是☉ O的直徑 .? (5分 ) 又 ∵ FD是☉ O的切線 ,切點為 C, ∴ AC⊥ DF. ∴∠ 1+∠ 4=90176。.? (6分 ) 又知 ∠ 3+∠ 4=90176。, ∴∠ 1=∠ 3. 而由 (1)知 ∠ 1=∠ G, ∴∠ 3=∠ G. ∴ △ ABC∽ △ GBA.? (7分 ) ∴ ? =? . 故 AB2=BCBG.? (8分 ) ABGBCBAB11.(2022江蘇南京 ,26,8分 )如圖 ,O是△ ABC內(nèi)一點 ,☉ O與 BC相交于 F、 G兩點 ,且與 AB、 AC分 別相切于點 D、 E,DE∥ DF、 EG. (1)求證 :AB=AC。 (2)已知 AB=10,BC= DFGE是矩形時☉ O的半徑 . ? 解析 (1)證明 :∵ ☉ O與 AB、 AC分別相切于點 D、 E, ∴ AD=AE,∴∠ ADE=∠ AED. ∵ DE∥ BC, ∴∠ B=∠ ADE,∠ C=∠ AED. ∴∠ B=∠ C,∴ AB=AC.? (4分 ) (2)如圖 ,連接 AO,交 DE于點 M,延長 AO交 BC于點 N,連接 OE、 ☉ O的半徑為 r. ? ∵ 四邊形 DFGE是矩形 ,∴∠ DFG=90176。.∴ DG是☉ O的直徑 . ∵ ☉ O與 AB、 AC分別相切于點 D、 E, ∴ OD⊥ AB,OE⊥ AC. 又 ∵ OD=OE, ∴ AN平分 ∠ BAC. 由 (1)知 AB=AC,∴ AN⊥ BC,BN=? BC=6. 在 Rt△ ABN中 ,AN=? =? =8. ∵ OD⊥ AB,AN⊥ BC,∴∠ ADO=∠ ANB=90176。, 又 ∠ OAD=∠ BAN, ∴ △ AOD∽ △ ABN.∴ ? =? ,即 ? =? . ∴ AD=? r.∴ BD=ABAD=10? r. ∵ OD⊥ AB,∴∠ GDB=∠ ANB=90176。. 又 ∠ B=∠ B,∴ △ GBD∽ △ ABN. ∴ ? =? ,即 ? =? . 1222AB BN? 2210 6?ODBN ADAN6r 8AD43 43BDBN GDAN41036 r?28r∴ r=? .∴ 四邊形 DFGE是矩形時☉ O的半徑為 ? .? (8分 ) 6017 6017評析 解決含有切線的解答題時 ,首先要想到的是作輔助線 ,由此獲得更多的條件 ,一般作輔助 線的方法為“見切點 ,連圓心” ,從而構(gòu)造直角三角形 ,然后利用勾股定理、相似三角形的性質(zhì) 等進(jìn)行證明或計算 . 12.(2022新疆烏魯木齊 ,23,10分 )如圖 ,已知 AB為☉ O的直徑 ,點 E在☉ O上 ,∠ EAB的平分線交☉ O于點 C,過點 C作 AE的垂線 ,垂足為 D,直線 DC與 AB的延長線交于點 P. (1)判斷直線 PC與☉ O的位置關(guān)系 ,并說明理由 。 (2)若 tan∠ P=? ,AD=6,求線段 AE的長 . ? 34解析 (1)PC與☉ O相切 ,理由如下 : 連接 OC,∵ AC平分 ∠ EAB,∴∠ EAC=∠ CAB,又 OA=OC, ∴∠ CAB=∠ ACO,∴∠ EAC=∠ ACO, ∴ OC∥ AD,而 AD⊥ PD,∴∠ OCP=∠ D=90176。, 又點 C在☉ O上 ,∴ PC與☉ O相切 . (2)在 Rt△ ADP中 ,∠ ADP=90176。,AD=6,tan∠ P=? , ∴ PD=8,則 AP=10. 設(shè)☉ O的半徑為 r,由 (1)知 OC∥ AD, ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 r=? , 連接 BE,∵ AB是直徑 ,E在☉ O上 ,∴∠ AEB=90176。, ∴ BE∥ PD,∴∠ ABE=∠ P. ∴ AE=ABsin∠ ABE=ABsin∠ P=2? ? =? . 34OCAD OPAP6r1010r? 154154 35 9213.(2022四川南充 ,22,8分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,∠ BAC的平分線交 BC于點 O,OC=1, 以點 O為圓心 ,OC為半徑作半圓 . (1)求證 :AB為☉ O的切線 。 (2)如果 tan∠ CAO=? ,求 cos B的值 . ? 13解析 (1)證明 :作 OD⊥ AB于點 D.? (1分 ) ∵ AO平分 ∠ CAB,OC⊥ AC,∴ OD=OC.? (2分 ) ∵ OD是☉ O的半徑 ,即點 D在☉ O上 ,∴ AB是☉ O的切線 .? (3分 ) ? (2)∵∠ ACB=90176。, ∴ AC是☉ O的切線 ,∴ AC=AD.? (4分 ) 在 Rt△ ACB和 Rt△ ODB中 , ∵∠ ABC=∠ OBD, ∴ △ ACB∽ △ ODB,∴ ? =? =? =tan∠ CAO=? .? (6分 ) 又 ∵ OC=OD=1,∴ AC=AD=3,設(shè) OB為 x,則 AB=3x, ∴ BD=ABAD=3x3. OBAB ODAC OCAC 13在 Rt△ ODB中 ,OB2=OD2+DB2,即 x2=12+(3x3)2,解得 x1=? ,x2=1(不合題意 ,舍去 ).? (7分 ) ∴ DB=? ,∴ cos B=? =? .? (8分 ) 5434 DBOB35評析 本題考查切線的判定、勾股定理、三角函數(shù)等知識 . 14.(2022廣東 ,24,9分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的外接圓 ,BC是☉ O的直徑 ,∠ ABC=30176。.過點 B作☉ O的 切線 BD,與 CA的延長線交于點 D,與半徑 AO的延長線交于點 A作☉ O的切線 AF,與直徑 BC的延長線交于點 F. (1)求證 :△ ACF∽ △ DAE。 (2)若 S△ AOC=? ,求 DE的長 。 (3)連接 EF,求證 :EF是☉ O的切線 . ? 34解析 (1)證明 :∵ BC是☉ O的直徑 , ∴∠ BAC=∠ BAD=90176。. ∵∠ ABC=30176。,OA=OB=OC, ∴∠ OAB=∠ OBA=30176。, ∴∠ OAC=∠ OCA=∠ AOC=60176。, ∴∠ ACF=∠ DAE=120176。.? (1分 )