【正文】 過點 C作☉ O 的切線交 DO于點 E,連接 BC交 DO于點 F. (1)求證 :CE=EF。. ∵∠ CFE=∠ BFO,∴∠ B+∠ CFE=90176。,AD平分 ∠ BAC交 BC于點 D,O為 AB上一 點 ,經(jīng)過點 A,D的☉ O分別交 AB,AC于點 E,F,連接 OF交 AD于點 G. (1)求證 :BC是☉ O的切線 。,∴ OD⊥ BC,∴ BC是☉ O的切線 . (2)連接 DF. 由 (1)可知 ,BC為☉ O的切線 . ∴∠ FDC=∠ DAF,∴∠ CDA=∠ CFD,∴∠ AFD=∠ ADB, 又 ∵∠ BAD=∠ DAF,∴ △ ABD∽ △ ADF,∴ ? =? ,∴ AD2=ABsin∠ AEF=10? =? , ∵ AF∥ OD,∴ ? =? =? =? ,∴ DG=? AD, ∵ AD=? =? =? , ∴ DG=? ? =? . ODOB 5138rr ? 513AFAE 5135135013AGDG AFOD 50135 1013 1323AB AF? 501813? 3 0 1 31313233 0 1 313 3 0 1 323(3)連接 EF. 思路分析 (1)連接 OD,由 OD=OA,AD平分 ∠ BAC,易得 OD∥ AC,所以 OD⊥ BC,證得 BC為圓 O 的切線 。 (2)若 AB=12,BD=5,求☉ O的半徑 . ? 解析 (1)證明 :∵ BD是☉ O的切線 ,∴∠ OBD=90176。. (1)若 AB=4,求 ? 的長 。, ∴∠ AOD=? =45176。,∴∠ ADP=? ∠ CAD=176。得 ∠ BOC=∠ AOD=45176。,即證得 PD是☉ O的切線 . BC︵ AD︵10.(2022湖南長沙 ,24,9分 )如圖 ,四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,對角線 AC為☉ O的直徑 ,過點 C作 AC 的垂線交 AD的延長線于點 E,點 F為 CE的中點 ,連接 DB、 DC、 DF. (1)求 ∠ CDE的度數(shù) 。. (2)證明 :連接 OD,∵∠ CDE=90176。,∠ EAC=∠ CAD, ∴ △ ACD∽ △ AEC, 12∴ ? =? ,∴ AC2=AD (2)如圖② ,D為 ? 上一點 ,且 OD經(jīng)過 AC的中點 E,連接 DC并延長 ,與 AB的延長線相交于點 P,若 ∠ CAB=10176。. 在 Rt△ OPC中 ,∠ P+∠ COP=90176。. 在 Rt△ AOE中 ,由 ∠ EAO=10176。. ∵∠ ACD是△ ACP的一個外角 , ∴∠ P=∠ ACD∠ CAP=30176。. 則易知四邊形 DCGE為矩形 ,G為 BE的中點 , ∴ AE=2OG=2x,DE=CG=? x. 由 2x+? =4t,得 x=? .? (6分 ) 由 AD∥ OC可得△ AEF∽ △ CGF, ∴ ? =? =? =? .? (8分 ) 4545ACAB 45254 t258 t258 t x???????78 tAFFC AECG2258xtx?79評析 對于含有切線的證明題 ,通常需要作輔助線構(gòu)造直角三角形 ,一般的方法為“見切點 ,連 圓心” . 13.(2022陜西 ,23,8分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,AC是☉ O的弦 ,過點 B作☉ O的切線 DE,與 AC的延 長線交于點 D,作 AE⊥ AC交 DE于點 E. (1)求證 :∠ BAD=∠ E。, ∴∠ BAD+∠ BAE=90176。,則 ∠ BCD的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。 答案 D 因為 ∠ BOD=88176。.故選 D. 2.(2022廣西南寧 ,11,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,AB=8,點 M在☉ O上 ,∠ MAB=20176。.∵ 直徑 AB⊥ CN,∴∠ COB=20176。,但不能得出 OE= C. AD︵ BD︵評析 本題考查了垂徑定理 ,屬容易題 . 5.(2022山東濟(jì)南 ,13,3分 )如圖 ,☉ O的半徑為 1,△ ABC是☉ O的內(nèi)接等邊三角形 ,點 D,E在圓上 , 四邊形 BCDE為矩形 ,這個矩形的面積是 ? ( ) ? B.? C.? D.? 332 32答案 B 連接 OB,OC,作 OM⊥ BC于 △ ABC為等邊三角形 ,所以 ∠ A=60176。CD=? . 12 323 36.(2022江蘇南京 ,13,2分 )如圖 ,扇形 AOB的圓心角為 122176。,∵ ∠ ACB+∠ D=180176?；?130176。. ? 圖 1 圖 2 12 128.(2022廣東 ,16,4分 )如圖 ,點 P是四邊形 ABCD外接圓☉ O上任意一點 ,且不與四邊形頂點重合 . 若 AD是☉ O的直徑 ,AB=BC=CD,連接 PA ,PB, PA =a,則點 A到 PB和 PC的距離之和 AE+AF= . ? 答案 ? a 132?解析 如圖 ,連接 OB、 OC, ∵ AB=BC=CD, ∴ ? =?=?. 又 ∵ AD是☉ O的直徑 , ∴∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=60176。=? a, ∴ AE+AF=? a. ? AB︵ BC︵ CD︵12 1232132?評析 本題主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)與銳角三角函數(shù) . 9.(2022山東青島 ,11,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,C,D是☉ O上的兩點 ,若 ∠ BCD=28176。,∴∠ ACD=90176。. 10.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,18,3分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的外接圓 ,AD是☉ O的直徑 ,若☉ O的半徑是 4, sin B=? ,則線段 AC的長為 . ? 14答案 2 解析 連接 CD,在☉ O中 ,因為 AD為直徑 ,所以 ∠ ACD=90176。,則 ∠ ADC的度數(shù)為 . ? 答案 110176?！?BOC=180176。+80176。. ? 答案 215 解析 連接 AO,CO,DO,則 ∠ COD=2∠ CAD=70176。. 12 1212 12評析 本題考查同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系 . 13.(2022江蘇揚州 ,15,3分 )如圖 ,以△ ABC的邊 BC為直徑的☉ O分別交 AB、 AC于點 D、 E,連接 OD、 OE,若 ∠ A=65176。,因為 BO=OD,CO=EO,所以 ∠ BDO=∠ B,∠ OEC=∠ C, 所以 ∠ BDO+∠ OEC=∠ B+∠ C=115176。 (∠ BDO+∠ OEC)=245176。 (2)已知 FA FD=12,∴ BF=2? .? (6分 ) 而 FA =2, ∴ FD=6,AD=4, ∵ AB為圓的直徑 , ∴∠ BFA=∠ BCA=90176。 (2)若 AB=4,BC=2? ,求 CD的長 . ? 3解析 (1)證明 :∵ ED=EC, ∴∠ CDE=∠ C, 又 ∵ 四邊形 ABED是☉ O的內(nèi)接四邊形 , ∴∠ CDE=∠ B, ∴∠ B=∠ C, ∴ AB=AC.? (4分 ) (2)連接 AE,則 AE⊥ BC, ? ∴ BE=EC=? BC, 在△ ABC與△ EDC中 ,∵∠ C=∠ C,∠ CDE=∠ B, 12∴ △ ABC∽ △ EDC,? (6分 ) ∴ ? =? ,得 DC=? =? , 由 AB=4,BC=2? ,得 DC=? =? .? (8分 ) ABDEBCDC BC DEAB? 22BCAB3 2( 2 3 )24? 32評析 本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) ,三角形相似的判定與性質(zhì) .屬中檔題 . 16.(2022黑龍江哈爾濱 ,26,10分 )已知 :△ ABC內(nèi)接于☉ O,D是 ? 上一點 ,OD⊥ BC,垂足為 H. (1)如圖 1,當(dāng)圓心 O在 AB邊上時 ,求證 :AC=2OH。∠ 8,∠ 6=90176。, ∴ △ AFL≌ △ ACT, ∴ AF=AC,? (8分 ) ∵ tan∠ 6=tan∠ 7=? =? ,∴ 設(shè) AL=x, 則 BL=2x,AB=?= ? x, ∵ AM=AC=5? ,BN=MN=3? , ∴ AB=11? ,? (9分 ) ∴ x=11,BL=2x=22,∵ AF=AC=5? , ∴ FL=? =? =2,∴ BF=24.? (10分 ) ALBL1222(2 )xx? 55 55522AF AL? 22(5 5) 11?評析 本題屬于圓的綜合問題 ,主要考查了垂徑定理、圓周角定理、三角形全等的判定、三 角函數(shù)、勾股定理等知識 ,本題難度較大、綜合性強(qiáng) ,解答本題的關(guān)鍵是注意問題中轉(zhuǎn)化思想 和方程思想的運用 . 17.(2022遼寧沈陽 ,22,10分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的外接圓 ,AB為直徑 ,OD∥ BC交☉ O于點 D,交 AC 于點 E,連接 AD,BD,CD. (1)求證 :AD=CD。,AE=EF,過點 F作射線 BC的垂線 ,垂足為 H,連接 AC. (1)試判斷 BE與 FH的數(shù)量關(guān)系 ,并說明理由 。, ∴∠ BAE+∠ AEB=90176。, 又 AE=EF,∴ △ ABE≌ △ EHF,? (3分 ) ∴ BE=FH.? (4分 ) (2)證明 :∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,∴∠ ACB=45176?！?ACB∠ FCH=180176。.? (7分 ) (3)解法一 :∵∠ AEF=90176。+15176。,∴ AF是☉ O的直徑 , ∴ AF的中點即為圓心 O. 連接 OE,OC,∴∠ AOE=∠ FOE=90176。, ∴∠ EOC=180176。=60176。. 在 Rt△ CAB中 ,BC=10,AB=6, ∴ AC=? =? =8. ∵ AD平分 ∠ CAB, ∴ ?= ? .∴ CD=BD. 在 Rt△ BDC中 ,BC=10,CD2+BD2=BC2, ∴ BD2=CD2=50.∴ BD=CD=5? . (2)如圖 ,連接 OB,OD. ? ∵ AD平分 ∠ CAB,且 ∠ CAB=60176。. ? 2答案 解析 連接 OC,因為 DC是☉ O的切線 ,所以 OC⊥ OC=OB=OA=1,OD=OB+BD=? ,所 以 DC=? =1,所以 OC=CD,所以 ∠ COD=45176。=176。. ? 答案 35 解析 連接 BC,易知 DB=DC,所以 ∠ DBC=? (180176。,則 ∠ C= 度 . ? 答案 40 解析 如圖 ,連接 OD.∵∠ A=25176?！?DOC=90176。 (2)連接 CD,若 OA=AE=a,寫出求四邊形 ACDE面積的思路 . ? AC︵解析 (1)證明 :連接 OC,如圖 . ? ∵ OA=OC,F為 AC的中點 , ∴ OD⊥ AC. ∵ DE是☉ O的切線 , ∴ OD⊥ DE. ∴ AC∥ DE. (2)求解思路如下 : ① 在 Rt△ ODE中 ,由 OA=AE=OD=a,可得△ ODE,△ OFA為含 30176。 ③ 由 AC∥ DE,可知四邊形 ACDE是平行四邊形 。 (2)若 OB=10,CD=8,求 BE的長 . ? 解析 (1)證明 :連接 OD,? (1分 ) ∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ OBD=∠ CBD. ∵ 點 B,D在☉ O上 ,∴ OB=OD, ∴∠ ODB=∠ OBD, ∴∠ ODB=∠ CBD, ∴ OD∥ BC.? (3分 ) ∴∠ ODA=∠ C=90176。 (2)AB2=BC, ∴∠ 1=∠ 3. 而由 (1)知 ∠ 1=∠ G, ∴∠ 3=∠ G. ∴ △ ABC∽ △ GBA.? (7分 ) ∴ ? =? . 故 AB2=BC, 又 ∠ OAD=∠ BAN, ∴ △ AOD∽ △ ABN.∴ ? =? ,即 ? =? . ∴ AD=? r.∴ BD=ABAD=10? r. ∵ OD⊥ AB,∴∠ GDB=∠ ANB=90176。,AD=6,tan∠ P=? , ∴ PD=8,則 AP=10. 設(shè)☉ O的半徑為 r,由 (1)知 OC∥ AD, ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 r=? , 連接 BE,∵ AB是直徑 ,E在☉ O上 ,∴∠ AEB=90176。, ∴ AC是☉ O的切線 ,∴ AC=AD.? (4分 ) 在 Rt△ ACB和 Rt△ ODB中 , ∵∠ ABC=∠ OBD, ∴ △ ACB∽ △ ODB,∴ ? =? =? =tan∠ CAO=? .? (6分 ) 又 ∵ OC=OD=1,∴ AC=AD=3,設(shè) OB為 x,則 AB=3x, ∴ BD=ABAD=3x3. OBAB ODAC OCAC 13在 Rt△ ODB中 ,OB2=OD2+DB2,即 x2=12+(3x3)2,解得 x1=? ,x2=1(不合題意 ,舍去 ).? (7分 ) ∴ DB=? ,∴ cos B=? =? .? (8分 ) 5434 DBOB35評析 本題考查切線的判定、勾股定理、三角函數(shù)等知識 . 14.(2022廣東 ,24,9分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的外接圓 ,BC是☉ O的直徑 ,∠ ABC=30176。. ∵∠ ABC=30176。.? (1分 )