【文章內(nèi)容簡介】 5解析 (1)∵ AC為☉ O的直徑 , ∴∠ ADC=90176。, ∴∠ CDE=90176。. (2)證明 :連接 OD,∵∠ CDE=90176。,F為 CE的中點 , ∴ DF=? CE=CF, ∴∠ FDC=∠ FCD,又 ∵ OD=OC, ∴∠ ODC=∠ OCD, ∴∠ ODC+∠ FDC=∠ OCD+∠ FCD, 即 ∠ ODF=∠ OCF, ∵ EC⊥ AC, ∴∠ OCF=90176。, ∴∠ ODF=90176。,即 DF為☉ O的切線 . (3)在△ ACD與△ ACE中 ,∠ ADC=∠ ACE=90176。,∠ EAC=∠ CAD, ∴ △ ACD∽ △ AEC, 12∴ ? =? ,∴ AC2=ADAE, 又 ∵ AC=2? DE, ∴ 20DE2=(AEDE)AE, ∴ (AE5DE)(AE+4DE)=0, ∴ AE=5DE,∴ AD=4DE. 在 Rt△ ACD中 ,AC2=AD2+CD2, ∴ CD=2DE. 又 ∵∠ ABD=∠ ACD, ∴ tan∠ ABD=tan∠ ACD=? =2. ACAE ADAC5ADCD11.(2022天津 ,21,10分 )在☉ O中 ,AB為直徑 ,C為☉ O上一點 . (1)如圖① ,過點 C作☉ O的切線 ,與 AB的延長線相交于點 P,若 ∠ CAB=27176。,求 ∠ P的大小 。 (2)如圖② ,D為 ? 上一點 ,且 OD經(jīng)過 AC的中點 E,連接 DC并延長 ,與 AB的延長線相交于點 P,若 ∠ CAB=10176。,求 ∠ P的大小 . ? AC︵解析 (1)如圖 ,連接 OC. ? ∵ ☉ O與 PC相切于點 C, ∴ OC⊥ PC,即 ∠ OCP=90176。. ∵∠ CAB=27176。, ∴∠ COB=2∠ CAB=54176。. 在 Rt△ OPC中 ,∠ P+∠ COP=90176。, ∴∠ P=90176?！?COP=36176。. (2)∵ E為 AC的中點 , ∴ OD⊥ AC,即 ∠ AEO=90176。. 在 Rt△ AOE中 ,由 ∠ EAO=10176。,得 ∠ AOE=90176。∠ EAO=80176。. ∴∠ ACD=? ∠ AOD=40176。. ∵∠ ACD是△ ACP的一個外角 , ∴∠ P=∠ ACD∠ CAP=30176。. 1212.(2022湖北武漢 ,21,8分 )如圖 ,點 C在以 AB為直徑的☉ O上 ,AD與過點 C的切線垂直 ,垂足為點 D,AD交☉ O于點 E. (1)求證 :AC平分 ∠ DAB。 (2)連接 BE交 AC于點 F,若 cos∠ CAD=? ,求 ? 的值 . ? 45 AFFC解析 (1)證明 :連接 OC. ∵ CD為☉ O的切線 ,且 AD⊥ CD, ∴ AD∥ OC,? (1分 ) ∴∠ CAD=∠ ACO. ∵ OA=OC, ∴∠ OAC=∠ ACO, ∴∠ CAD=∠ CAO,即 AC平分 ∠ DAB.? (3分 ) ? (2)連接 BC,記 OC交 BE于點 G. 設 AD=4t,OG=x. ∵∠ D=90176。,cos∠ CAD=? ,∴ AC=5t. ∵ cos∠ BAC=cos∠ CAD=? , ∴ ? =? ,AB=? .? (5分 ) ∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ AEB=90176。. 則易知四邊形 DCGE為矩形 ,G為 BE的中點 , ∴ AE=2OG=2x,DE=CG=? x. 由 2x+? =4t,得 x=? .? (6分 ) 由 AD∥ OC可得△ AEF∽ △ CGF, ∴ ? =? =? =? .? (8分 ) 4545ACAB 45254 t258 t258 t x???????78 tAFFC AECG2258xtx?79評析 對于含有切線的證明題 ,通常需要作輔助線構造直角三角形 ,一般的方法為“見切點 ,連 圓心” . 13.(2022陜西 ,23,8分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,AC是☉ O的弦 ,過點 B作☉ O的切線 DE,與 AC的延 長線交于點 D,作 AE⊥ AC交 DE于點 E. (1)求證 :∠ BAD=∠ E。 (2)若☉ O的半徑為 5,AC=8,求 BE的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ ☉ O與 DE相切于點 B,AB為☉ O的直徑 , ∴∠ ABE=90176。.? (1分 ) ∴∠ BAE+∠ E=90176。. 又 ∵∠ DAE=90176。, ∴∠ BAD+∠ BAE=90176。. ∴∠ BAD=∠ E.? (3分 ) (2)連接 BC. ∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。. ∵ AC=8,AB=25=10,∴ BC=? =6.? (5分 ) 又 ∵∠ BCA=∠ ABE=90176。,∠ BAD=∠ E, ∴ △ ABC∽ △ EAB. ∴ ? =? .∴ ? =? .∴ BE=? .? (8分 ) 22AB AC?ACEB BCAB 8EB 610 403考點一 圓的有關概念及性質(zhì) C組 教師專用題組 1.(2022寧夏 ,6,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,若 ∠ BOD=88176。,則 ∠ BCD的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 D 因為 ∠ BOD=88176。,所以 ∠ A=44176。,因為 ∠ A+∠ BCD=180176。,所以 ∠ BCD=136176。.故選 D. 2.(2022廣西南寧 ,11,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,AB=8,點 M在☉ O上 ,∠ MAB=20176。,N是 ? 的中 點 ,P是直徑 AB上一動點 .若 MN=1,則△ PMN周長的最小值為 ? ( ) ? MB︵答案 B △ PMN的周長為 PM、 PN、 MN的和 ,其中 MN=1,所以只要 PM、 PN的和最小即可 .如 圖 ,取 N關于 AB的對稱點 C,連接 MC交 AB于 P,此時 PM、 PN的和最小 ,PM、 PN的和就是 MC的長 度 .連接 OM、 ON、 OC.∵∠ MAB=20176。,∴∠ MOB=40176。.∵ N為 ? 的中點 ,∴∠ NOB=20176。.∵ 直徑 AB⊥ CN,∴∠ COB=20176。.∴∠ MOC=60176。.∵ OM=OC,∴ △ MOC為等邊三角形 .∵ AB=8,∴ MC=OM =4.∴ △ PMN的周長的最小值為 1+4= B. ? BM︵3.(2022江蘇鎮(zhèn)江 ,16,3分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于半徑為 5的☉ O,圓心 O到弦 BC的距離等于 3,則 ∠ A 的正切值等于 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 35 45 34 43答案 D 連接 CO并延長交☉ O于點 D,則 CD為☉ O的直徑 ,連接 BD,作 OE⊥ BC交 BC于點 E, 依題意可得 BD=2OE=6,又 CD=25=10, 所以 BC=? =8,所以 tan D=? =? =? . ? 又因為 ∠ A=∠ D,所以 tan A=? ,故選 D. 22CD BD?BCBD 86 4343評析 本題綜合考查圓周角定理 ,垂徑定理 ,解直角三角形等有關知識 ,屬中等難度題 . 4.(2022甘肅蘭州 ,13,4分 )如圖 ,CD是☉ O的直徑 ,弦 AB⊥ CD于 E,連接 BC, 正確的是 ? ( ) ? =BE B.?=? =DE D.∠ DBC=90176。 AD︵ BD︵答案 C ∵ CD是☉ O的直徑 ,且 CD⊥ AB,∴ AE=BE,?=?, ∵ CD是☉ O的直徑 ,∴∠ DBC=90 176。,但不能得出 OE= C. AD︵ BD︵評析 本題考查了垂徑定理 ,屬容易題 . 5.(2022山東濟南 ,13,3分 )如圖 ,☉ O的半徑為 1,△ ABC是☉ O的內(nèi)接等邊三角形 ,點 D,E在圓上 , 四邊形 BCDE為矩形 ,這個矩形的面積是 ? ( ) ? B.? C.? D.? 332 32答案 B 連接 OB,OC,作 OM⊥ BC于 △ ABC為等邊三角形 ,所以 ∠ A=60176。,所以 ∠ BOC=1 20176。.因為 OB=OC=1,所以 ∠ OCB=30176。,所以 OM=? ,CM=? .在矩形 BCDE中 ,易得 CD=2OM=1,BC =2CM=? ,所以 S矩形 BCDE=BCCD=? . 12 323 36.(2022江蘇南京 ,13,2分 )如圖 ,扇形 AOB的圓心角為 122176。,C是 ? 上一點 ,則 ∠ ACB= 176。. ? AB︵答案 119 解析 如圖 ,在扇形 AOB所在圓優(yōu)弧 AB上取一點 D,連接 DA,DB.∵∠ AOB=122176。,∴∠ D=61176。,∵ ∠ ACB+∠ D=180176。, ∴∠ ACB=119176。. ? 7.(2022新疆烏魯木齊 ,13,4分 )設 I為△ ABC的外心 ,若 ∠ BIC=100176。,則 ∠ A的度數(shù)為 . 答案 50176。或 130176。 解析 當 I在△ ABC的內(nèi)部時 ,如圖 1,∠ A=? ∠ BIC=50176。當 I在△ ABC的外部時 ,如圖 2,∠ A+? ∠ BIC=180176。, ∴∠ A=130176。. ? 圖 1 圖 2 12 128.(2022廣東 ,16,4分 )如圖 ,點 P是四邊形 ABCD外接圓☉ O上任意一點 ,且不與四邊形頂點重合 . 若 AD是☉ O的直徑 ,AB=BC=CD,連接 PA ,PB, PA =a,則點 A到 PB和 PC的距離之和 AE+AF= . ? 答案 ? a 132?解析 如圖 ,連接 OB、 OC, ∵ AB=BC=CD, ∴ ? =?=?. 又 ∵ AD是☉ O的直徑 , ∴∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=60176。, ∴∠ CPB=∠ APB=30176。, ∴ AE=? PA =? a,∠ APC=60176。, Rt△ APF中 ,AF=APsin 60176。=? a, ∴ AE+AF=? a. ? AB︵ BC︵ CD︵12 1232132?評析 本題主要考查圓的有關性質(zhì)與銳角三角函數(shù) . 9.(2022山東青島 ,11,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,C,D是☉ O上的兩點 ,若 ∠ BCD=28176。,則 ∠ ABD= 176。. ? 答案 62 解析 ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。. ∵∠ BCD=28176。,∴∠ ACD=90176。28176。=62176。, ∴∠ ABD=∠ ACD=62176。. 10.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,18,3分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的外接圓 ,AD是☉ O的直徑 ,若☉ O的半徑是 4, sin B=? ,則線段 AC的長為 . ? 14答案 2 解析 連接 CD,在☉ O中 ,因為 AD為直徑 ,所以 ∠ ACD=90176。,因為 ∠ B=∠ D,所以 AC=ADsin D=8 ? =2. 1411.(2022江西南昌 ,10,3分 )如圖 ,點 A,B,C在☉ O上 ,CO的延長線交 AB于點 D,∠ A=50176。,∠ B=30176。,則 ∠ ADC的度數(shù)為 . ? 答案 110176。 解析 在☉ O中 ,∠ BOC=2∠ A=250176。=100176。,所以 ∠ DOB=180176?！?BOC=180176。100176。=80176。, 所以 ∠ ADC=∠ B+∠ DOB=30176。+80176。=110176。. 評析 本題考查同弧所對的圓周角與圓心角的關系、三角形內(nèi)角和定理的推論 ,屬容易題 . 12.(2022江蘇南京 ,15,2分 )如圖 ,在☉ O的內(nèi)接五邊形 ABCDE中 ,∠ CAD=35176。,則 ∠ B+∠ E= 176。. ? 答案 215 解析 連接 AO,CO,DO,則 ∠ COD=2∠ CAD=70176。,又因為 ∠ B=? (∠ AOD+∠ COD),∠ E=? (∠ AOC+∠ COD),所以 ∠ B+∠ E=? (∠ AOD+∠ COD+∠ AOC+∠ COD)=? (360176。+70176。)=215176。. 12 1212 12評析 本題考查同弧所對的圓周角與圓心角的關系 . 13.(2022江蘇揚州 ,15,3分 )如圖 ,以△ ABC的邊 BC為直徑的☉ O分別交 AB、 AC于點 D、 E,連接 OD、 OE,若 ∠ A=65176。,則 ∠ DOE= 176。. ? 答案 50 解析 因為 ∠ A=65176。,所以 ∠ B+∠ C=115176。,因為 BO=OD,CO=EO,所以 ∠ BDO=∠ B,∠ OEC=∠ C, 所以 ∠ BDO+∠ OEC=∠ B+∠ C=115176。,所以 ∠ ADO+∠ AEO=(180176?！?BDO)+(180176。