【導(dǎo)讀】交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.⑴三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和為180°性質(zhì)1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.個三角形.②n邊形共有2nn?A．90°B．100°C．130°D．180°A．315°B．270°C．180°D．135°6．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A′。A．40°B．30°C．20°D．10°A．150°B．130°C．120°D．100°C．對角線增加一條D．內(nèi)角和增加180°米，又向左轉(zhuǎn)30°，…23．如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；24．如圖，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥。27．如圖，直線DE交△ABC的邊AB、AC于D、E，交BC延長線于F，若∠B=67°，28．如圖，已知D為△ABC邊BC延長線上一點(diǎn)，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，29．已知△ABC中，∠ACB=90°，

　　

【正文】 （ 2）如圖 2，若 AB⊥ OM，則是否存在這樣的 x 的值，使得 △ ADB 中有兩個相等的角？若存在，求出 x 的值；若不存在，說明理由． 【分析】 利用角平分線的性質(zhì)求出 ∠ ABO 的度數(shù)是關(guān)鍵，分類討論的思想． 【解答】 解：（ 1） ①∵∠ MON=40176。， OE 平分 ∠ MON∴∠ AOB=∠ BON=20176。 ∵ AB∥ ON∴∠ ABO=20176。 ②∵∠ BAD=∠ ABD∴∠ BAD=20176?！摺?AOB+∠ ABO+∠ OAB=180176。∴∠ OAC=120176。 ∵∠ BAD=∠ BDA， ∠ ABO=20176?！唷?BAD=80176?！摺?AOB+∠ ABO+∠ OAB=180176?！唷螼AC=60176。 故答案為： ① 20 ② 120， 60 （ 2） ① 當(dāng)點(diǎn) D 在線段 OB 上時， ∵ OE 是 ∠ MON 的角平分線， ∴∠ AOB= ∠ MON=20176。， ∵ AB⊥ OM， ∴∠ AOB+∠ ABO=90176。， ∴∠ ABO=70176。， 若 ∠ BAD=∠ ABD=70176。，則 x=20 若 ∠ BAD=∠ BDA= （ 180176。﹣ 70176。） =55176。，則 x=35 若 ∠ ADB=∠ ABD=70176。，則 ∠ BAD=180176。﹣ 2 70176。=40176。， ∴ x=50 ② 當(dāng)點(diǎn) D 在射線 BE 上時，因?yàn)?∠ ABE=110176。，且三角形的內(nèi)角和為 180176。， 所以只有 ∠ BAD=∠ BDA，此時 x=125． 綜上可知，存在這樣的 x 的值，使得 △ ADB 中有兩個相等的角， 且 x= 3 50、 125． 【點(diǎn)評】 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)角和等于 180176。，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和． 36．（ 2020?玉溪）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系 第 28 頁（共 33 頁） （ 1）如圖 a，若 AB∥ CD，點(diǎn) P 在 AB、 CD 外部，則有 ∠ B=∠ BOD，又因 ∠ BOD是 △ POD 的外角，故 ∠ BOD=∠ BPD+∠ D，得 ∠ BPD=∠ B﹣ ∠ D．將點(diǎn) P 移到 AB、CD 內(nèi)部，如圖 b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則 ∠ BPD、∠ B、 ∠ D 之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論； （ 2）在圖 b 中，將直線 AB 繞點(diǎn) B 逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線 CD 于點(diǎn) Q，如圖 c，則 ∠ BPD﹑ ∠ B﹑ ∠ D﹑ ∠ BQD 之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明） （ 3）根據(jù)（ 2）的結(jié)論求圖 d 中 ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F 的度數(shù)． 【分析】 （ 1）延長 BP 交 CD 于 E，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，求出 ∠ PED=∠ B，再利用 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和即可說明不成立，應(yīng)為 ∠ BPD=∠ B+∠ D； （ 2）作射線 QP，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得； （ 3）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，把角轉(zhuǎn)化到四邊形中再求解． 【解答】 解：（ 1）不成立．結(jié)論是 ∠ BPD=∠ B+∠ D 延長 BP 交 CD 于點(diǎn) E， ∵ AB∥ CD ∴∠ B=∠ BED 又 ∵∠ BPD=∠ BED+∠ D， ∴∠ BPD=∠ B+∠ D． （ 2）結(jié)論： ∠ BPD=∠ BQD+∠ B+∠ D． （ 3）連接 EG 并延長， 根據(jù)三角形的外角性質(zhì)， ∠ AGB=∠ A+∠ B+∠ E， 又 ∵∠ AGB=∠ CGF， 在四邊形 CDFG 中， ∠ CGF+∠ C+∠ D+∠ F=360176。， ∴∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=360176。． 第 29 頁（共 33 頁） 【點(diǎn)評】 本題是信息給予題，利用平行線的性質(zhì)和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和解答． 37．（ 2020 春 ?江都市校級期末）如下幾個圖形是五角星和它的變形． （ 1）圖（ 1）中是一個五角星，求 ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E． （ 2）圖（ 2）中的點(diǎn) A 向下移到 BE 上時，五個角的和（即 ∠ CAD+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E）有無變化 說明你的結(jié)論的正確性． （ 3）把圖（ 2）中的點(diǎn) C 向上移到 BD 上時（ 1）如圖（ 3）所示，五個角的和（即∠ CAD+∠ B+∠ ACE+∠ D+∠ E）有無變化說明你的結(jié)論的正確性． 【分析】 （ 1）如圖，連接 CD，把五個角和轉(zhuǎn)化為同一個三角形內(nèi)角和．根據(jù)三角形中一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得． （ 2）、（ 3）五個角轉(zhuǎn)化為一個平角． 【解答】 解：（ 1）如圖，連接 CD． 在 △ ACD 中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得出 ∠ A+∠ 2+∠ 3+∠ ACE+∠ ADB=180176。． ∵∠ 1=∠ B+∠ E=∠ 2+∠ 3， ∴∠ A+∠ B+∠ ACE+∠ ADB+∠ E=∠ A+∠ B+∠ E+∠ ACE+∠ ADB=∠ A+∠ 2+∠ 3+∠ACE+∠ ADB=180176。； （ 2）無變化． 根據(jù)平角的定義，得出 ∠ BAC+∠ CAD+∠ DAE=180176。． ∵∠ BAC=∠ C+∠ E， ∠ EAD=∠ B+∠ D， ∴∠ CAD+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=∠ BAC+∠ CAD+∠ DAE=180176。； （ 3）無變化． ∵∠ ACB=∠ CAD+∠ D， ∠ ECD=∠ B+∠ E， ∴∠ CAD+∠ B+∠ ACE+∠ D+∠ E=∠ ACB+∠ ACE+∠ ECD=180176。． 第 30 頁（共 33 頁） 【點(diǎn)評】 本題利用了轉(zhuǎn)化思想求解，（ 1）是把五個角轉(zhuǎn)化在一個三角形中求解，（ 2）（ 3）是把五個角轉(zhuǎn)化為一個平角求解． 38．（ 2020 春 ?蘇州期末） Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。，點(diǎn) D、 E 分別是 △ ABC 邊 AC、BC 上的點(diǎn)，點(diǎn) P 是一動點(diǎn)．令 ∠ PDA=∠ 1， ∠ PEB=∠ 2， ∠ DPE=∠ α． （ 1）若點(diǎn) P 在線段 AB 上，如圖（ 1）所示，且 ∠ α=50176。，則 ∠ 1+∠ 2= 140 176。； （ 2）若點(diǎn) P 在邊 AB 上運(yùn)動，如圖（ 2）所示，則 ∠ α、 ∠ ∠ 2 之間的關(guān)系為： ∠ 1+∠ 2=90176。+α ； （ 3）若點(diǎn) P 運(yùn)動到邊 AB 的延長線上 ，如圖（ 3）所示，則 ∠ α、 ∠ ∠ 2 之間有何關(guān)系？猜想并說明理由． （ 4）若點(diǎn) P 運(yùn)動到 △ ABC 形外，如圖（ 4）所示，則 ∠ α、 ∠ ∠ 2 之間的關(guān)系為： ∠ 2=90176。+∠ 1﹣ α ． 【分析】 （ 1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的定義得出 ∠ 1+∠ 2=∠ C+∠ α，進(jìn)而得出即可； （ 2）利用（ 1）中所求得出答案即可； （ 3）利用三角外角的性質(zhì)得出 ∠ 1=∠ C+∠ 2+α=90176。+∠ 2+α； （ 4）利用三角形內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得出． 【解答】 解：（ 1） ∵∠ 1+∠ 2+∠ CDP+∠ CEP=360176。， ∠ C+∠ α+∠ CDP+∠ CEP=360176。， ∴∠ 1+∠ 2=∠ C+∠ α， ∵∠ C=90176。， ∠ α=50176。， ∴∠ 1+∠ 2=140176。； 故答案為： 140176。； （ 2）由（ 1）得出： 第 31 頁（共 33 頁） ∠ α+∠ C=∠ 1+∠ 2， ∴∠ 1+∠ 2=90176。+α 故答案為： ∠ 1+∠ 2=90176。+α； （ 3） ∠ 1=90176。+∠ 2+α， 理由： ∵∠ 2+∠ α=∠ DME， ∠ DME+∠ C=∠ 1， ∴∠ 1=∠ C+∠ 2+α=90176。+∠ 2+α． （ 4） ∵∠ PFD=∠ EFC， ∴ 180176。﹣ ∠ PFD=180176。﹣ ∠ EFC， ∴∠ α+180176。﹣ ∠ 1=∠ C+180176。﹣ ∠ 2， ∴∠ 2=90176。+∠ 1﹣ α． 故答案為： ∠ 2=90176。+∠ 1﹣ α． 【點(diǎn)評】 本題考查了三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)、對頂角相等的性質(zhì)，熟練利用三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 39．（ 2020 秋 ?南沙區(qū)校級期中）如圖所示，求 ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F 的度數(shù)． 【分析】 連接 BE，由三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系可知 ∠ C+∠ D=∠ CBE+∠ DEB，由四邊形內(nèi)角和是 360176。，即可求 ∠ A+∠ ABC+∠ C+∠ D+∠ DEF+∠ F=360176。． 【解答】 解：如圖連接 BE． ∵∠ 1=∠ C+∠ D， ∠ 1=∠ CBE+∠ DEB， ∴∠ C+∠ D=∠ CBE+∠ DEB， ∴∠ A+∠ ABC+∠ C+∠ D+∠ DEF+∠ F =∠ A+∠ ABC+∠ CBE+∠ DEB+∠ DEF+∠ F =∠ A+∠ ABE+∠ BEF+∠ F． 又 ∵∠ A+∠ ABE+∠ BEF+∠ F=360176。， ∴∠ A+∠ ABC+∠ C+∠ D+∠ DEF+∠ F=360176。． 第 32 頁（共 33 頁） 【點(diǎn)評】 本題考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，涉及到四邊形及三角形內(nèi)角和定理，比較簡單． 40．（ 2020 秋 ?鄱陽縣校級月考）將紙片 △ ABC 沿 DE 折疊使點(diǎn) A 落在 A′處的位置． （ 1）如果 A′落在四邊形 BCDE 的內(nèi)部（如圖 1）， ∠ A′與 ∠ 1+∠ 2 之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由． （ 2）如果 A′落在四邊形 BCDE 的 BE 邊上，這時圖 1 中的 ∠ 1 變?yōu)?0176。角，則 ∠ A′與 ∠ 2 之間的關(guān)系是 2∠ A=∠ 2 ． （ 3）如果 A′落在四邊形 BCDE 的外部（如圖 2），這時 ∠ A′與 ∠ ∠ 2 之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由． 【分析】 （ 1）根據(jù)折疊性質(zhì)得出 ∠ AED=∠ A′ED， ∠ ADE=∠ A′DE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出 ∠ AED+∠ ADE=180176。﹣ ∠ A，代入 ∠ 1+∠ 2=180176。+180176。﹣ 2（ ∠ AED+∠ADE）求出即可； （ 2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出 ∠ DME=∠ A′+∠ 1， ∠ 2=∠ A+∠ DME，代入即可求出答案； （ 3）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出 ∠ DME=∠ A′+∠ 1， ∠ 2=∠ A+∠ DME，推出 ∠ 2=∠A+∠ A′+∠ 1，即可得出答案． 【解答】 解：（ 1）圖 1 中， 2∠ A=∠ 1+∠ 2， 理由是： ∵ 延 DE 折疊 A 和 A′重合， ∴∠ AED=∠ A′ED， ∠ ADE=∠ A′DE， ∵∠ AED+∠ ADE=180176。﹣ ∠ A， ∠ 1+∠ 2=180176。+180176。﹣ 2（ ∠ AED+∠ ADE）， ∴∠ 1+∠ 2=360176。﹣ 2（ 180176。﹣ ∠ A） =2∠ A； （ 2） 2∠ A=∠ 2，如圖 第 33 頁（共 33 頁） ∠ 2=∠ A+∠ EA′D=2∠ A， 故答案為： 2∠ A=∠ 2； （ 3）如圖 2， 2∠ A=∠ 2﹣ ∠ 1， 理由是： ∵ 延 DE 折疊 A 和 A′重合， ∴∠ A=∠ A′， ∵∠ DME=∠ A′+∠ 1， ∠ 2=∠ A+∠ DME， ∴∠ 2=∠ A+∠ A′+∠ 1， 即 2∠ A=∠ 2﹣ ∠ 1． 【點(diǎn)評】 本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計算的能力．