【正文】 一個動點， PE⊥ AD 交直線 BC 于點 E． （ 1）若 ∠ B=35176。 ∴∠ BAC=60176。； （ 2） ． 設(shè) ∠ B=n176。 ∠ ACB=m176。+ （ 180﹣ n﹣ m） 176。 ∵ PE⊥ AD， ∴∠ DPE=90176。﹣ m176。；而 ∠ BDE 在 Rt△ BDE 中，故只需求出 ∠ B 的度數(shù)．因 ∠ B=∠ C，只需求出 ∠ C 的度數(shù)即可．因 ∠ AFD 是 △ CDF 的外角， ∠ AFD=158176。． 【解答】 解： ∵ FD⊥ BC，所以 ∠ FDC=90176。 ∴∠ B=∠ C=68176。． 又 ∵∠ BDE+∠ EDF+∠ FDC=180176。﹣ 90176。則 ∠ E=3x176。 ∴∠ EAD=∠ EDA=（ x+50） 176。則 ∠ ABC+∠ ACB= 150176。所以易求 ∠ XBC+∠ XCB． 【解答】 解：（ 1） ∵∠ A=30176。 ∴∠ ABC+∠ ACB=150176。 ∵∠ X=90176。=60176。 ； ② 當(dāng) ∠ BAD=∠ ABD 時， x= 120176。 ∵ AB∥ ON∴∠ ABO=20176。 ∵∠ BAD=∠ BDA， ∠ ABO=20176。 故答案為： ① 20 ② 120， 60 （ 2） ① 當(dāng)點 D 在線段 OB 上時， ∵ OE 是 ∠ MON 的角平分線， ∴∠ AOB= ∠ MON=20176。則 x=20 若 ∠ BAD=∠ BDA= （ 180176。則 ∠ BAD=180176。且三角形的內(nèi)角和為 180176。． 第 29 頁（共 33 頁） 【點評】 本題是信息給予題，利用平行線的性質(zhì)和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和解答． 37．（ 2020 春 ?江都市校級期末）如下幾個圖形是五角星和它的變形． （ 1）圖（ 1）中是一個五角星，求 ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E． （ 2）圖（ 2）中的點 A 向下移到 BE 上時，五個角的和（即 ∠ CAD+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E）有無變化 說明你的結(jié)論的正確性． （ 3）把圖（ 2）中的點 C 向上移到 BD 上時（ 1）如圖（ 3）所示，五個角的和（即∠ CAD+∠ B+∠ ACE+∠ D+∠ E）有無變化說明你的結(jié)論的正確性． 【分析】 （ 1）如圖，連接 CD，把五個角和轉(zhuǎn)化為同一個三角形內(nèi)角和．根據(jù)三角形中一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得． （ 2）、（ 3）五個角轉(zhuǎn)化為一個平角． 【解答】 解：（ 1）如圖，連接 CD． 在 △ ACD 中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得出 ∠ A+∠ 2+∠ 3+∠ ACE+∠ ADB=180176。； （ 3）無變化． ∵∠ ACB=∠ CAD+∠ D， ∠ ECD=∠ B+∠ E， ∴∠ CAD+∠ B+∠ ACE+∠ D+∠ E=∠ ACB+∠ ACE+∠ ECD=180176。； （ 2）若點 P 在邊 AB 上運動，如圖（ 2）所示，則 ∠ α、 ∠ ∠ 2 之間的關(guān)系為： ∠ 1+∠ 2=90176。 ∠ C+∠ α+∠ CDP+∠ CEP=360176。； 故答案為： 140176。+∠ 2+α， 理由： ∵∠ 2+∠ α=∠ DME， ∠ DME+∠ C=∠ 1， ∴∠ 1=∠ C+∠ 2+α=90176。﹣ ∠ 1=∠ C+180176。即可求 ∠ A+∠ ABC+∠ C+∠ D+∠ DEF+∠ F=360176。角，則 ∠ A′與 ∠ 2 之間的關(guān)系是 2∠ A=∠ 2 ． （ 3）如果 A′落在四邊形 BCDE 的外部（如圖 2），這時 ∠ A′與 ∠ ∠ 2 之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由． 【分析】 （ 1）根據(jù)折疊性質(zhì)得出 ∠ AED=∠ A′ED， ∠ ADE=∠ A′DE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出 ∠ AED+∠ ADE=180176。﹣ ∠ A， ∠ 1+∠ 2=180176。﹣ ∠ A） =2∠ A； （ 2） 2∠ A=∠ 2，如圖 第 33 頁（共 33 頁） ∠ 2=∠ A+∠ EA′D=2∠ A， 故答案為： 2∠ A=∠ 2； （ 3）如圖 2， 2∠ A=∠ 2﹣ ∠ 1， 理由是： ∵ 延 DE 折疊 A 和 A′重合， ∴∠ A=∠ A′， ∵∠ DME=∠ A′+∠ 1， ∠ 2=∠ A+∠ DME， ∴∠ 2=∠ A+∠ A′+∠ 1， 即 2∠ A=∠ 2﹣ ∠ 1． 【點評】 本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進(jìn)行推理和計算的能力． 。﹣ 2（ ∠ AED+∠ ADE）， ∴∠ 1+∠ 2=360176。+180176。 ∴∠ A+∠ ABC+∠ C+∠ D+∠ DEF+∠ F=360176。+∠ 1﹣ α． 故答案為： ∠ 2=90176。﹣ ∠ PFD=180176。+α 故答案為： ∠ 1+∠ 2=90176。 ∠ α=50176。+∠ 1﹣ α ． 【分析】 （ 1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的定義得出 ∠ 1+∠ 2=∠ C+∠ α，進(jìn)而得出即可； （ 2）利用（ 1）中所求得出答案即可； （ 3）利用三角外角的性質(zhì)得出 ∠ 1=∠ C+∠ 2+α=90176。點 D、 E 分別是 △ ABC 邊 AC、BC 上的點，點 P 是一動點．令 ∠ PDA=∠ 1， ∠ PEB=∠ 2， ∠ DPE=∠ α． （ 1）若點 P 在線段 AB 上，如圖（ 1）所示，且 ∠ α=50176。； （ 2）無變化． 根據(jù)平角的定義，得出 ∠ BAC+∠ CAD+∠ DAE=180176。三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和． 36．（ 2020?玉溪）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系 第 28 頁（共 33 頁） （ 1）如圖 a，若 AB∥ CD，點 P 在 AB、 CD 外部，則有 ∠ B=∠ BOD，又因 ∠ BOD是 △ POD 的外角，故 ∠ BOD=∠ BPD+∠ D，得 ∠ BPD=∠ B﹣ ∠ D．將點 P 移到 AB、CD 內(nèi)部，如圖 b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則 ∠ BPD、∠ B、 ∠ D 之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論； （ 2）在圖 b 中，將直線 AB 繞點 B 逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線 CD 于點 Q，如圖 c，則 ∠ BPD﹑ ∠ B﹑ ∠ D﹑ ∠ BQD 之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明） （ 3）根據(jù)（ 2）的結(jié)論求圖 d 中 ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F 的度數(shù)． 【分析】 （ 1）延長 BP 交 CD 于 E，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，求出 ∠ PED=∠ B，再利用 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和即可說明不成立，應(yīng)為 ∠ BPD=∠ B+∠ D； （ 2）作射線 QP，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得； （ 3）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，把角轉(zhuǎn)化到四邊形中再求解． 【解答】 解：（ 1）不成立．結(jié)論是 ∠ BPD=∠ B+∠ D 延長 BP 交 CD 于點 E， ∵ AB∥ CD ∴∠ B=∠ BED 又 ∵∠ BPD=∠ BED+∠ D， ∴∠ BPD=∠ B+∠ D． （ 2）結(jié)論： ∠ BPD=∠ BQD+∠ B+∠ D． （ 3）連接 EG 并延長， 根據(jù)三角形的外角性質(zhì)， ∠ AGB=∠ A+∠ B+∠ E， 又 ∵∠ AGB=∠ CGF， 在四邊形 CDFG 中， ∠ CGF+∠ C+∠ D+∠ F=360176。=40176。） =55176。 ∴∠ ABO=70176?！摺?AOB+∠ ABO+∠ OAB=180176。∵∠ AOB+∠ ABO+∠ OAB=180176。 ． （ 2）如圖 2，若 AB⊥ OM，則是否存在這樣的 x 的值，使得 △ ADB 中有兩個相等的角？若存在，求出 x 的值；若不存在，說明理由． 【分析】 利用角平分線的性質(zhì)求出 ∠ ABO 的度數(shù)是關(guān)鍵，分類討論的思想． 【解答】 解：（ 1） ①∵∠ MON=40176。 OE 平分 ∠ MON，點 A、 B、 C分別是射線 OM、 OE、 ON 上的動點（ A、 B、 C 不與點 O 重合），連接 AC 交射線OE 于點 D．設(shè) ∠ OAC=x176。 ∴∠ ABX+∠ ACX=（ ∠ ABC﹣ ∠ XBC） +（ ∠ ACB﹣ ∠ XCB） =（ ∠ ABC+∠ ACB）﹣（ ∠ XBC+∠ XCB） =150176。． （ 2）不變化． ∵∠ A=30176。 ∵∠ X=90176。 ． （ 2）如圖 2，改變直角三角板 XYZ 的位置，使三角板 XYZ 的兩條直角邊 XY、 XZ仍然分別經(jīng)過 B、 C，那么 ∠ ABX+∠ ACX 的大小是否變化？若變化，請舉例說明；若 不變化，請求出 ∠ ABX+∠ ACX 的大小． 【分析】 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理．已知 ∠ A=30176。 ∴ 3x+2（ x+50） =180， 解得： x=16． ∴∠ E=48176。則 ∠ E=3x176。． 【點評】 考查三角形內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)，垂直定義等知識． 33．（ 2020 春 ?岱岳區(qū)期末）如圖， AD 平分 ∠ BAC， ∠ EAD=∠ EDA． （ 1） ∠ EAC 與 ∠ B 相等嗎？為什么？ （ 2）若 ∠ B=50176。﹣ ∠ BDE﹣ ∠ FDC=180176。 ∴∠ BDE=90176。﹣ 90176。﹣ 90176。= （ ∠ ACB﹣ ∠ B）． 【點評】 運用了三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義．特別注意第（ 2）小題，由于 ∠ B 和 ∠ ACB 的大小不確定，故表達(dá)式應(yīng)寫為兩種情況． 第 25 頁（共 33 頁） 32．（ 2020 春 ?朝陽區(qū)期末）如圖所示，在 △ ABC 中， ∠ B=∠ C， FD⊥ BC， DE⊥ AB，垂足分別為 D， E， ∠ AFD=158176。﹣（ 90176。+ n176。 ∴∠ BAD= （ 180﹣ n﹣ m） 176。 ∵ AD 平分 ∠ BAC， ∴∠ 1=∠ 2= ∠ BAC， ∵∠ B+∠ ACB+∠ BAC=180176。 ∴∠ ADC=65176。求 ∠ E 的度數(shù)； （ 2）當(dāng) P 點在線段 AD 上運動時，猜想 ∠ E 與 ∠ B、 ∠ ACB 的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論無需證明． 第 24 頁（共 33 頁） 【分析】 （ 1）中，首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得 ∠ BAC 的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得 ∠ DAC 的度數(shù)，從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出 ∠ ADC 的度數(shù)，進(jìn)一步求得 ∠ E 的度數(shù)； （ 2）中，根據(jù)第（ 1）小題的思路即可推導(dǎo)這些角之間的關(guān)系． 【解答】 解：（ 1） ∵∠ B=35176。則 ∠ BED 的度數(shù)是 度． （ 2）在 △ ADC 中過點 C 作 AD 邊上的高 CH． （ 3）若 △ ABC 的面積為 60， BD=5，求點 E 到 BC 邊的距離． 【分析】 （ 1）根據(jù)三角形的一個外角等于 與它不相鄰的兩個內(nèi)角和， ∠ BED=∠ABE+∠ BAE=75176。 ∴∠ 1+∠ 3=90176。． 答： ∠ ACD 的度數(shù)為 83176。﹣ ∠ CED﹣ ∠ D=180176。﹣ 35176。 ∠ D=42176。 所以 ∠ BDF=∠ A+∠ AED=39176。 所以 ∠ A=180176。． 三．解答題（共 14 小題） 27．（ 2020 春 ?臨清市期末）如圖，直線 DE 交 △ ABC 的邊 AB、 AC 于 D、 E，交BC 延長線于 F，若 ∠ B=67176。﹣ 18176。）﹣（ 108176。 則 ∠ 3+∠ 1﹣ ∠ 2 第 21 頁（共 33 頁） =（ 90176。247。 5 =108176。 5 =3 1