【正文】 B)]＝－cos(A＋B)＝－，∴C＝120176。.(2)由題設(shè)： ，∴AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcosC＝b2＋a2－2abcos120176。＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－2＝10，∴AB＝.，已知BC＝a，DC＝2a，四個(gè)內(nèi)角A、B、C、D的度數(shù)之比為3∶7∶4∶10，求AB的長(zhǎng)．[解析]　設(shè)四個(gè)角A、B、C、D的度數(shù)依次為3x,7x,4x,10x則3x＋7x＋4x＋10x＝360176。，∴x＝15176。，∴A＝45176。，B＝105176。，C＝60176。，D＝150176。.在△BCD中，由余弦定理：BD2＝a2＋(2a)2－2a2acos60176。＝3a2，∴BD＝a.此時(shí)有DC2＝BD2＋BC2，∴△BCD為直角三角形，∠CDB＝30176。，∴∠ADB＝120176。.在△ABD中，由正弦定理：AB＝＝＝.4．已知在△ABC中，AB＝AC，一個(gè)腰上的高為，這條高線與底邊的夾角為60176。，求此三角形的面積．[解析]　由已知AB＝AC，∴∠ABC＝∠，∠DBC＝60176。，∴∠C＝30176。，∴∠BAC＝120176。，∵BD＝，∴ABsin∠BAD＝ABsin60176。＝.∴AB＝2，∴S△ABC＝ABACsin∠BAC＝.5．(2009北京)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，B＝，cosA＝，b＝.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面積．[解析]　(1)∵角A、B、C為△ABC的內(nèi)角，且B＝，cosA＝，∴C＝－A，sinA＝.∴sinC＝sin＝cosA＋sinA＝.(2)由(1)知sinA＝，sinC＝.又∵B＝，b＝，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝＝.∴△ABC的面積S＝absinC＝＝.6．△ABC中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，tanC＝，sin(B－A)＝cosC.(1)求A，B；(2)若S△ABC＝3＋，求a，c.[解析]　(1)∵tanC＝，∴＝，∴sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，∴sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，∴sin(C－A)＝sin(B－C)．∴C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)．∴2C＝A＋B，∴C＝，∴B＋A＝又∵sin(B－A)＝cosC＝，∴B－A＝，或B－A＝(舍去)∴A＝，B＝(2)S△ABC＝acsinB＝ac＝3＋，∴ac＝4①又＝，即＝，∴a＝c②由①②得a＝2，c＝2.△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝.(1)求sinA的值；(2)設(shè)AC＝，求△ABC的面積．[解析]　(1)由sin(C－A)＝1，－πC－Aπ，知C＝A＋.又∵A＋B＋C＝π，∴2A＋B＝，即2A＝－B,0A.故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝，sinA＝.(2)由(1)得cosA＝.又由正弦定理得，BC＝＝3.∴S△ABC＝ACBCsinC＝ACBCcosA＝3.8．在△ABC中，S△ABC＝15，a＋b＋c＝30，A＋C＝，求三角形各邊邊長(zhǎng)．[解析]　∵A＋C＝，∴＝180176。，∴B＝120176。.由S△ABC＝acsinB＝ac＝15得：ac＝60，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cos120176。)＝(30－b)2－60得b＝14，∴a＋c＝16∴a，c是方程x2－16x＋60＝0的兩根．所以或 ，∴該三角形各邊長(zhǎng)為14,10和6.9．已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足B＝，三邊a、b、c滿足b2＝：a＝c.[證明]　∵2B＝A＋C，∴B＝60176。設(shè)A＝60176。＋x，C＝60176。－x，(0176?！躼60176。)∵b2＝ac，∴sin2B＝sinAsinC＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)＝cos2x－sin2x＝－sin2x，又sin2B＝∴sin2x＝0，∴x＝0176。即A＝C，∴a＝c.10．(2009全國(guó)Ⅰ)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinB＝4cosAsinC，求b.[解析]　由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2①由正弦定理得＝，又由已知得＝4cosA，所以b＝4ccosA.②故由①，②解得b＝4.△ABC中，a、b、c分別表示三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判斷三角形的形狀．[解析]　已知等式可化為a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]＝b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA※由正弦定理得，sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0∴sin2A＝sin2B，由02A2π，02B2π得，2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝，即△ABC為等腰或直角三角形．[點(diǎn)評(píng)]　得到※式后也可用正、余弦定理化角為邊推證a＝b或a2＋b2＝c2.，我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點(diǎn)C和D處，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45176。，∠ADC＝75176。，目標(biāo)出現(xiàn)于地面B處時(shí)測(cè)得∠BCD＝30176。，∠BDC＝15176。.求炮兵陣地到目標(biāo)的距離．(結(jié)果保留根號(hào))[分析]　由于∠ADC＝75176。，∠BDC＝15176。，∴∠ADB為直角．題中有多個(gè)三角形而抓住△ABD為Rt△作為突破口可簡(jiǎn)化計(jì)算．[解析]　在△ACD中，∠CAD＝60176。，AD＝＝CD.在△BCD中，∠CBD＝135176。，BD＝＝CD，∠ADB＝90176。.在Rt△ABD中，AB＝＝CD＝1 000(m)．13．如圖，已知∠MON＝60176。，Q是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，它到兩邊的距離分別是2和11，求點(diǎn)O到Q的距離．[解析]　設(shè)QA，QB分別是Q點(diǎn)到兩邊OM、ON的距離．則QA＝2，QB＝11，并且A和B都在以O(shè)Q為直徑的圓上．∵∠AOB＝60176。，∴∠AQB＝120176。.連結(jié)AB，在△AQB中，由余弦定理得，AB2＝AQ2＋BQ2－2AQBQcos∠AQB＝22＋112－2211(－)＝147，∴AB＝7.在Rt△OBQ中，OQ＝＝.在△AOB中，＝，∴OQ＝＝14.14．如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，在河的這邊測(cè)得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30176。，∠ACD＝60176。，∠ACB＝45176。，求A、B兩點(diǎn)間的距離．[解析]　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60176。，又∵∠ACD＝60176。，∴∠DAC＝60176。，AC＝DC＝.在△BCD中，∠DBC＝45176。，∴＝，∴BC＝.在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos45176。＝＋－2＝，∴AB＝.∴A、B兩點(diǎn)間距離為 km.， n mile內(nèi)有暗礁，一船從A由西向東航行望見(jiàn)此島在北75176。東．船行8 n mile后，望見(jiàn)這島在北60176。東，如果該船不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)．[解析]　在△ABC中，AC＝8，∠ACB＝90176。＋60176。＝150176。，∠CAB＝90176。－75176。＝15176。，∴∠ABC＝15176。.∴△ABC為等腰三角形，BC＝AC＝8，在△BCD中，∠BCD＝30176。，BC＝8，∴BD＝BCsin30176。＝4．16．如圖所示，兩點(diǎn)C，D與煙囪底部在同一水平直線上，在點(diǎn)C1，D1， m的測(cè)角儀器，測(cè)得煙囪的仰角分別是α＝45176。和β＝60176。，C，D間的距離是12 m，計(jì)算煙囪的高AB.( m)[解析]　在△BC1D1中，∠BD1C1＝120176。，∠C1BD1＝15176。.由正弦定理＝∴BC1＝＝18＋6，∴A1B＝BC1＝18＋6，則AB＝A1B＋AA1≈(m)．17．地平面上一旗桿OP，為測(cè)得它的高度h，在地平面上取一基線AB，AB＝200 m，在A處測(cè)得旗桿頂P點(diǎn)的仰角為∠OAP＝30176。，在B處測(cè)得P點(diǎn)的仰角∠OBP＝45176。，又測(cè)得∠AOB＝60176。，求旗桿的高h(yuǎn).[解析]　如圖OP＝h，∠OAP＝30176。，∠OBP＝45176。∠AOB＝60176。，AB＝200∴AO＝OPcot30176。＝h，OB＝OP＝h，在△OAB中，由余弦定理得：40 000＝3h2＋h2－2h2cos60176?！鄅＝(m)．18．某人在塔的正東沿著南60176。西的方向前進(jìn)40 m以后望見(jiàn)塔在東北，若沿途測(cè)得塔的最大仰角為30176。，求塔高．()[解析]　如圖，CD＝40，∠BCD＝30176。，∠DBC＝135176。，∴∠BDC＝15176。在△DBC中，由正弦定理得DB＝20，在CD上任一點(diǎn)E處望塔頂?shù)难鼋菫椤螦EB.∵AB一定∴欲使∠AEB最大，則BE最小，∴BE為點(diǎn)B到直線CD的距離，即BE⊥∠AEB＝30176。，在Rt△DBE中，BE＝DBsin15176。＝10－10，在Rt△AEB中，AB＝BEtan30176。＝10－≈(m)．19.(2009遼寧)如圖，A、B、C、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75176。，30176。，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60176。，AC＝、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離(，≈，≈)．[解析]　在△ADC中，∠DAC＝30176。，∠ADC＝60176。－∠DAC＝30176。，所以CD＝AC＝，又∠BCD＝180176。－60176。－60176。＝60176。，故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD＝BA，在△ABC中，＝，即AB＝＝，因此，BD＝≈.故B，.20．在△ABC中，C＝60176。，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16.(1)試寫(xiě)出△ABC的面積S與邊長(zhǎng)a的函數(shù)關(guān)系式．(2)當(dāng)a等于多少時(shí)，S有最大值？并求出最大值．(3)當(dāng)a等于多少時(shí)，周長(zhǎng)l有最小值？并求出最小值．[解析]　(1)a＋b＝16，∴b＝16－a.∴S△ABC＝absinC＝a(16－a)sin60176。 ＝(16a－a2) ＝－(a－8)2＋16(0a16)．(2)當(dāng)a＝8時(shí)S有最大值16.(3)l＝a＋b＋ ＝16＋ ＝16＋.∴當(dāng)a＝8時(shí)，周長(zhǎng)l有最小值24.21．在△ABC中，c＝2，ab，C＝，且有tanAtanB＝6，求a、b及三角形的面積．[分析]　已知C，可得A＋B，進(jìn)而可由tan(A＋B)和tanAtanB求得tanA＋，只要求出sinA，sinB，則a，b可求．[解析]　∵tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＝－tanC(1－tanAtanB)＝5，∵ab，∴AB，又tanAtanB＝60.∴tanAtanB，由可得：tanA＝3，tanB＝2，∴sinA＝，sinB＝.由正弦定理，得a＝＝＝，b＝＝＝.∴S△ABC＝absinC ＝sin＝.22．在△ABC中，∠A＝60176。，b＝1，S△ABC＝.求(1)的值．(2)△ABC的內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)．[解析]　(1)∵S△ABC＝bcsinA＝c＝，∴c＝4.由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋16－8＝13，∴a＝.由正弦定理得＝＝，故有＝＝＝.(2)設(shè)△ABC的內(nèi)切圓圓心為M，連結(jié)MA、MB、MC，那么S△ABC＝S△MAB＋S△MAC＋S△MBC.又點(diǎn)M到三邊的距離均等于內(nèi)切圓半徑r.∴S△ABC＝(a＋b＋c)r＝(5＋)r＝.∴r＝－.23．甲船在A點(diǎn)發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60176。的B處，乙船正以每小時(shí)a海里的速度向北航行，已知甲船速度是每小時(shí)a海里，問(wèn)甲船沿什么方向前進(jìn)，才能與乙船相遇？[解析]　設(shè)x小時(shí)后，兩船在C處相遇，此時(shí)甲船行駛了ax海里，乙船行駛了ax海里，即：AC＝ax，BC＝ax，又∠ABC＝180176。－60176。＝120176。.由正弦定理＝即：＝，∴sin∠BAC＝.∵∠BAC60176。，∴∠BAC＝30176。.故甲船應(yīng)沿北偏東30176。方向行駛，才能與乙船相遇．[點(diǎn)評(píng)]　請(qǐng)思考：①若甲船速度是乙船速度的倍呢？②若乙船在甲船的北偏東45176。的B處呢？，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O的東偏南θ(cosθ＝)方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西北方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問(wèn)幾小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？受到臺(tái)風(fēng)侵襲的時(shí)間有多少小時(shí)？[解析]　設(shè)經(jīng)過(guò)th臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)，臺(tái)風(fēng)邊沿恰經(jīng)過(guò)O城．∴OQ＝60＋10t.由題意可得OP＝300，PQ＝20t，因?yàn)閏osθ＝，α＝θ－45176。，所以sinθ＝，cosα＝cosθcos45176。＋sinθsin45176。＝＋＝.由余弦定理可得OQ2＝OP2＋PQ2－2OPPQcosα，即(60＋10t)2＝3002＋(20t)2－230020t，即t2－36t＋288＝0.解得t1＝12，t2＝－t1＝12.答：12h后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，受到臺(tái)風(fēng)侵襲的時(shí)間有12h.章節(jié)測(cè)試一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)△ABC中，a=80，b=100，A=45176。，則此三角形解的情況是( )(A)一解 (B)兩解(C)一解或兩解 (D)無(wú)解△ABC中，若b=2asinB，則A=( )(A)30176?；?0176。 (B)45176?；?0176。(C)12017