【導(dǎo)讀】⑵對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。（連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。⑵菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，則。7．如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點(diǎn)B恰好落在AD邊的B′處，若AE=2，DE=6，A．50°B．60°C．70°D．80°ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E．若BF=6，A．45°B．55°C．60°D．75°22．如圖所示，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，25．如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A，B，C（2，出發(fā)，分別沿AB、CB方向向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，點(diǎn)E的速度為1cm/s，27．如圖，四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，

　　

【正文】 4， ∠ BCF=120176。，求菱形 BCFE 的面積． 【分析】 從所給的條件可知， DE 是 △ ABC 中位線，所以 DE∥ BC 且 2DE=BC，所以 BC 和 EF 平行且相等，所以四邊形 BCFE 是平行四邊形，又因?yàn)?BE=FE，所以是菱形； ∠ BCF 是 120176。，所以 ∠ EBC 為 60176。，所以菱形的邊長(zhǎng)也為 4，求出菱形的高面積就可求． 【解答】 （ 1）證明： ∵ D、 E 分別是 AB、 AC 的中點(diǎn)， ∴ DE∥ BC 且 2DE=BC， 又 ∵ BE=2DE， EF=BE， ∴ EF=BC， EF∥ BC， ∴ 四邊形 BCFE 是平行四邊形， 又 ∵ BE=FE， ∴ 四邊形 BCFE 是菱形； 第 33 頁(yè)（共 41 頁(yè)） （ 2）解： ∵∠ BCF=120176。， ∴∠ EBC=60176。， ∴△ EBC 是等邊三角形， ∴ 菱形的邊長(zhǎng)為 4，高為 2 ， ∴ 菱形的面積為 4 2 =8 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查菱形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理，以及菱形的面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)． 34．（ 2020?梅州）如圖，在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一點(diǎn)， F 是 AD 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 DF=BE． （ 1）求證： CE=CF； （ 2）若點(diǎn) G 在 AD 上，且 ∠ GCE=45176。，則 GE=BE+GD 成立嗎？為什么？ 【分析】 （ 1）由 DF=BE，四邊形 ABCD為正方形可證 △ CEB≌△ CFD，從而證出 CE=CF． （ 2）由（ 1）得， CE=CF， ∠ BCE+∠ ECD=∠ DCF+∠ ECD 即 ∠ ECF=∠ BCD=90176。又 ∠GCE=45176。所以可得 ∠ GCE=∠ GCF，故可證得 △ ECG≌△ FCG，即 EG=FG=GD+DF．又因?yàn)?DF=BE，所以可證出 GE=BE+GD 成立． 【解答】 （ 1）證明：在正方形 ABCD 中， ∵ ， ∴△ CBE≌△ CDF（ SAS）． ∴ CE=CF． （ 2）解： GE=BE+GD 成立． 理由是： ∵ 由（ 1）得： △ CBE≌△ CDF， ∴∠ BCE=∠ DCF， ∴∠ BCE+∠ ECD=∠ DCF+∠ ECD，即 ∠ ECF=∠ BCD=90176。， 又 ∵∠ GCE=45176。， ∴∠ GCF=∠ GCE=45176。． ∵ ， ∴△ ECG≌△ FCG（ SAS）． ∴ GE=GF． ∴ GE=DF+GD=BE+GD． 第 34 頁(yè)（共 41 頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查證兩條線段相等往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想，在第二問(wèn)中也是考查了通過(guò)全等找出和 GE 相等的線段，從而證出關(guān)系是不是成立． 35．（ 2020?咸寧）如圖，在 △ ABC 中，點(diǎn) O 是 AC 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O 作直線 MN∥ BC，設(shè) MN 交 ∠ BCA 的角平分線于點(diǎn) E，交 ∠ BCA 的外角平分線于點(diǎn) F． （ 1）求證： EO=FO； （ 2）當(dāng)點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形 AECF 是矩形？并證明你的結(jié)論． 【分析】 （ 1）根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)，以及由平行線所夾的內(nèi)錯(cuò)角相等易證． （ 2）根據(jù)矩形的判定方法，即一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可證． 【解答】 （ 1）證明： ∵ CE 平分 ∠ ACB， ∴∠ 1=∠ 2， 又 ∵ MN∥ BC， ∴∠ 1=∠ 3， ∴∠ 3=∠ 2， ∴ EO=CO， 同理， FO=CO， ∴ EO=FO． （ 2）解：當(dāng)點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)到 AC 的中點(diǎn)時(shí)，四邊形 AECF 是矩形． 理由： ∵ EO=FO，點(diǎn) O 是 AC 的中點(diǎn)． ∴ 四邊形 AECF 是平行四邊形， ∵ CF 平分 ∠ BCA 的外角， ∴∠ 4=∠ 5， 又 ∵∠ 1=∠ 2， ∴∠ 2+∠ 4= 180176。=90176。． 即 ∠ ECF=90176。， 第 35 頁(yè)（共 41 頁(yè)） ∴ 四邊形 AECF 是矩形． 【點(diǎn)評(píng)】 本題涉及矩形的判定定理，解答此類(lèi)題的關(guān)鍵是要突破思維定勢(shì)的障礙，運(yùn)用發(fā)散思維，多方思考，探究問(wèn)題在不同條件下的不同結(jié)論，挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系，向 “縱、橫、深、廣 ”拓展，從而尋找出添加的條件和所得的結(jié)論． 36．（ 2020?張家界）如圖，已知：在平行四邊形 ABCD 中，點(diǎn) E、 F、 G、 H 分別在邊 AB、 BC、 CD、 DA 上， AE=CG， AH=CF，且 EG 平分 ∠ HEF．求證： （ 1） △ AEH≌△ CGF； （ 2）四邊形 EFGH 是菱形． 【分析】 （ 1）由全等三角形的判定定理 SAS 證得結(jié)論； （ 2）易證四邊形 EFGH 是平行四邊形，那么 EF∥ GH，那么 ∠ HGE=∠ FEG，而 EG是角平分線，易得 ∠ HEG=∠ FEG，根據(jù)等量代換可得 ∠ HEG=∠ HGE，從而有HE=HG，易證四邊形 EFGH 是菱形． 【解答】 （ 1）證明：如圖， ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴∠ A=∠ C， 在 △ AEH 與 △ CGF 中， ， ∴△ AEH≌△ CGF（ SAS）； （ 2） ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴ AB=CD， AD=BC， ∠ B=∠ D． 又 ∵ AE=CG， AH=CF， ∴ BE=DG， BF=DH， 在 △ BEF 與 △ DGH 中， ∴△ BEF≌△ DGH（ SAS）， ∴ EF=GH． 第 36 頁(yè)（共 41 頁(yè)） 又由（ 1）知， △ AEH≌△ CGF， ∴ EH=GF， ∴ 四邊形 EFGH 是平行四邊形， ∴ HG∥ EF， ∴∠ HGE=∠ FEG， ∵ EG 平分 ∠ HEF， ∴∠ HEG=∠ FEG， ∴∠ HEG=∠ HGE， ∴ HE=HG， ∴ 四邊形 EFGH 是菱形． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定．解題的關(guān)鍵是掌握兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形． 37．（ 2020?葫蘆島）如圖，四邊形 ABCD 中， AD∥ BC， BA⊥ AD， BC=DC， BE⊥CD 于點(diǎn) E． （ 1）求證： △ ABD≌△ EBD； （ 2）過(guò)點(diǎn) E 作 EF∥ DA，交 BD 于點(diǎn) F，連接 AF．求證：四邊形 AFED 是菱形． 【分析】 （ 1）首先證明 ∠ 1=∠ 2．再由 BA⊥ AD， BE⊥ CD 可得 ∠ BAD=∠ BED=90176。，然后再加上公共邊 BD=BD 可得 △ ABD≌△ EBD； （ 2）首先證明四邊形 AFED 是平行四邊形，再有 AD=ED，可得四邊形 AFED 是菱形． 【解答】 證明：（ 1）如圖， ∵ AD∥ BC， ∴∠ 1=∠ DBC． ∵ BC=DC， ∴∠ 2=∠ DBC． ∴∠ 1=∠ 2． ∵ BA⊥ AD， BE⊥ CD ∴∠ BAD=∠ BED=90176。， 第 37 頁(yè)（共 41 頁(yè)） 在 △ ABD 和 △ EBD 中 ， ∴△ ABD≌△ EBD（ AAS）； （ 2）由（ 1）得， AD=ED， ∠ 1=∠ 2． ∵ EF∥ DA， ∴∠ 1=∠ 3． ∴∠ 2=∠ 3． ∴ EF=ED． ∴ EF=AD． ∴ 四邊形 AFED 是平行四邊形． 又 ∵ AD=ED， ∴ 四邊形 AFED 是菱形． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定，關(guān)鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形． 38．（ 2020?三明）如圖 ① ，在正方形 ABCD 中， P 是對(duì)角線 AC 上的一點(diǎn)，點(diǎn) E在 BC 的延長(zhǎng)線上，且 PE=PB． （ 1）求證： △ BCP≌△ DCP； （ 2）求證： ∠ DPE=∠ ABC； （ 3）把正方形 ABCD 改為菱形，其它條件不變（如圖 ② ），若 ∠ ABC=58176。，則 ∠DPE= 58 度． 【分析】 （ 1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得 BC=DC，對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠ BCP=∠ DCP，然后利用 “邊角邊 ”證明即可； （ 2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得 ∠ CBP=∠ CDP，根據(jù)等邊對(duì)等角可得 ∠ CBP=∠ E，然后求出 ∠ DPE=∠ DCE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得 ∠ DCE=∠ ABC，從而得證； 第 38 頁(yè)（共 41 頁(yè)） （ 3）根據(jù)（ 2）的結(jié)論解答． 【解答】 （ 1）證明：在正方形 ABCD 中， BC=DC， ∠ BCP=∠ DCP=45176。， ∵ 在 △ BCP 和 △ DCP 中， ， ∴△ BCP≌△ DCP（ SAS）； （ 2）證明：由（ 1）知， △ BCP≌△ DCP， ∴∠ CBP=∠ CDP， ∵ PE=PB， ∴∠ CBP=∠ E， ∵∠ 1=∠ 2（對(duì)頂角相等）， ∴ 180176。﹣ ∠ 1﹣ ∠ CDP=180176。﹣ ∠ 2﹣ ∠ E， 即 ∠ DPE=∠ DCE， ∵ AB∥ CD， ∴∠ DCE=∠ ABC， ∴∠ DPE=∠ ABC； （ 3）解：與（ 2）同理可得： ∠ DPE=∠ ABC， ∵∠ ABC=58176。， ∴∠ DPE=58176。． 故答案為： 58． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)確定出 ∠ BCP=∠ DCP 是解題的關(guān)鍵． 39．（ 2020?湘潭）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，小輝將邊長(zhǎng)為 和 3 的兩個(gè)正方形放置在直線 l 上，如圖 1，他連結(jié) AD、 CF，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn) AD=CF． （ 1）他將正方形 ODEF 繞 O 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖 2，試判斷 AD 與CF 還相等嗎？說(shuō)明你的理由； （ 2）他將正方形 ODEF 繞 O 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn)至直線 l 上，如圖 3，請(qǐng)你求出 CF 的長(zhǎng)． 第 39 頁(yè)（共 41 頁(yè)） 【分析】 （ 1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得 AO=CO， OD=OF， ∠ AOC=∠ DOF=90176。，然后求出 ∠ AOD=∠ COF，再利用 “邊角邊 ”證明 △ AOD 和 △ COF 全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證； （ 2）與（ 1）同理求出 CF=AD，連接 DF 交 OE 于 G，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分可得 DF⊥ OE， DG=OG= OE，再求出 AG，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可求出 AD． 【解答】 解：（ 1） AD=CF． 理由如下：在正方形 ABCO 和正方形 ODEF 中， AO=CO， OD=OF， ∠ AOC=∠ DOF=90176。， ∴∠ AOC+∠ COD=∠ DOF+∠ COD， 即 ∠ AOD=∠ COF， 在 △ AOD 和 △ COF 中， ， ∴△ AOD≌△ COF（ SAS）， ∴ AD=CF； （ 2）與（ 1）同理求出 CF=AD， 如圖，連接 DF 交 OE 于 G，則 DF⊥ OE， DG=OG= OE， ∵ 正方形 ODEF 的邊長(zhǎng)為 ， ∴ OE= OD= =2， ∴ DG=OG= OE= 2=1， ∴ AG=AO+OG=3+1=4， 在 Rt△ ADG 中， AD= = = ， ∴ CF=AD= ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等且互相垂直平分 第 40 頁(yè)（共 41 頁(yè)） 是解題的關(guān)鍵，（ 2）作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵． 40．（ 2020?臨沂）數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題：如圖 1，四邊形 ABCD 是正方形，點(diǎn) E 是邊 BC 的中點(diǎn)． ∠ AEF=90176。，且 EF交正方形外角 ∠ DCG 的平分線 CF 于點(diǎn) F，求證： AE=EF． 經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取 AB 的中點(diǎn) M，連接 ME，則 AM=EC，易證 △ AME≌△ ECF，所以 AE=EF． 在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究： （ 1）小穎提出：如圖 2，如果把 “點(diǎn) E 是邊 BC 的中點(diǎn) ”改為 “點(diǎn) E 是邊 BC 上（除B， C 外）的任意一點(diǎn) ”，其它條件不變，那么結(jié)論 “AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由； （ 2）小華提出：如圖 3，點(diǎn) E 是 BC 的延長(zhǎng)線上（除 C 點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論 “AE=EF”仍然成立．你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【分析】 （ 1）在 AB 上取一點(diǎn) M，使 AM=EC，連接 ME，根據(jù)已知條件利用 ASA判定 △ AME≌△ ECF，因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)邊相等，所以