【正文】 在上學(xué)期已知：討論一元函數(shù)極值時(shí)：極值點(diǎn)駐點(diǎn) 極值點(diǎn)可能是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，∴極值點(diǎn)駐點(diǎn)，駐點(diǎn)極值點(diǎn)，y=x3在x=0點(diǎn)為駐點(diǎn)但非極值點(diǎn)。二元函數(shù)極值（推廣）：若對(duì)PU（Po）。都有f（P）f（Po）則稱(chēng)f（Po）為f的一個(gè)極小值。Po為極小值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)。 定理1：（必要條件）設(shè)z=f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)存在，（x0，y0）為f（x，y）的極值點(diǎn)，則（x0，y0）=（x0，y0）=的點(diǎn)為f（x0，y0）的駐點(diǎn)。 證明：不妨設(shè)（x0，y0）為極大值，即（x，y）U（Po）都有f（x，y）f（x0，y0），對(duì)于y=y0，xx0，則f（x，y0）f（x0，y0），即f（x0，y0）是一元可導(dǎo)函數(shù)f（x，y0）的極大值點(diǎn)，從而（x0，y0）=0。同理：f（x0，y0）=0?！咀ⅰ浚簶O值點(diǎn)駐點(diǎn)〖反例〗：（1）f（x，y）=xy，（0，0）是其駐點(diǎn)，但非其極值點(diǎn)。（2）極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)，也可能是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。 定理2：（充分條件）設(shè)z=f（x，y）在（x0，y0）有連續(xù)的二價(jià)偏導(dǎo)數(shù)。（x0，y0）為f（x，y）的駐點(diǎn)，令A(yù)==（x0，y0）B=（x0，y0）C=（x0，y0）則：（1） 當(dāng)ACB20時(shí)（x0，y0）為極值點(diǎn)，且A0時(shí)為極小值點(diǎn)，A0時(shí)為極大值點(diǎn)。（2） ACB2=0 方程失效（3） ACB20時(shí) （x0，y0）不是極值點(diǎn)【例】：，0x，y/2，求z的極值。解：求駐點(diǎn)：解得：駐點(diǎn)（/3，/6）A=（/3，/6）=，B=/2，C=，由于AC—B2=3—3/40，從而（/3，/6）為其極值點(diǎn)，又A0故為極大值點(diǎn)且極大值：z（/3，/6）=3/2二、最大值與最小值（最值）我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)上冊(cè)知道：在一元函數(shù)中最大值極大值[（1）當(dāng)最值在區(qū)間內(nèi)部取得時(shí)，一定為極大值，而在端點(diǎn)取得最值一定不是極值]二元函數(shù)：M，m的求法：先求出區(qū)域的內(nèi)部的所有可能極值(駐點(diǎn)及所有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn))并計(jì)算函數(shù)值，最后比較這些函數(shù)值的大小，最大的為M，最小的為m?！纠浚海?5—IV）時(shí)z=x2y（4xy）D由x軸，y軸，x+y=6所圍成，求z在D上的最大值和最小值（M，m）。解：（1）在D的內(nèi)部：且z（2，1）=4（不該計(jì)算A，B，C）（2）在OA，OB上，有y=0或x=0，∴z=0（3）在線段AB上，y=6x，且，代入z，則z=2x312x2，∴=6x2—24x=0x=0（舍）或x=4，∴ y=2，∴z（4，2）=64綜上：M=4，m=64。三、條件極值——拉格朗日數(shù)乘法問(wèn)：設(shè)，有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。x，y不同時(shí)為0，求z=在=0條件下的極值？解：設(shè)（x0，y0）上z=在=0條件下的極值。則=0，由于，不同時(shí)為0，∴不妨設(shè)0則由=0可唯一確定，則z=在點(diǎn)x取得極值，從而又(x)= ，令=則：即：（x,y）必滿足： 〖注意〗：方程組中含有三個(gè)未知元x,y,若令F(x，y，z)=f(x，y)+,則 【注】：求z=f(x，y)在條件(x，y)=0下的極值方法，令F(x，y，z)=f(x，y)+(x，y) 由 解得所有可能的極值點(diǎn)。絕對(duì)不能用條件極值的判別法判別這些可能的極值點(diǎn)是否是極大（?。┲迭c(diǎn)，只能用實(shí)際問(wèn)題的性質(zhì)去判斷（最大，最小值一定存在）【例】：求表面積為2a，體積最大的長(zhǎng)方體的體積。解：令長(zhǎng)，寬，高分別為x，y，z，V=xyz 則s=2a=2(xy+yz+xz)令F(x，y，)=xyz+(xy+yz+xza) x=y=z 3x178。=a x=y=z=.由于最大值一定存在，從而（x0,y0,z0）為最大值點(diǎn)，且最大值為：V=()3ex(94Ⅱ)在橢圓 x178。+4y178。=4上求一點(diǎn)，使其到直線2x+3y6=0的距離最短。 解：設(shè)p(x，y)為橢圓上一點(diǎn)，則：d(x，y)=求d在條件x178。+4y178。=4的最小值。問(wèn)題等價(jià)與求d=(2x+3y6)178。在x178。+4y178。4=0下的最小值點(diǎn)。取F(x，y)= (2x+3y6)178。+(x178。+4y178。4)=0解得（xy）=,(x,y)=.第八節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度一、內(nèi)容要點(diǎn)1． 方向?qū)?shù)2． 梯度 二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求： 1．會(huì)求二元和三元函數(shù)沿任意方向的方向?qū)?shù) 2．理解梯度的定義。教學(xué)注意點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)只研究了函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率，而實(shí)際問(wèn)題中往往要求知道函數(shù)沿任何方向的變化率；另外要強(qiáng)調(diào)梯度的模就是方向?qū)?shù)的最大值，梯度的方向就是函數(shù)值增加得最快的方向。三、教學(xué)設(shè)計(jì)安排時(shí)間分配：（1） 數(shù)量場(chǎng)的概念和實(shí)例（10分鐘）；（2） 方向?qū)?shù)的定義和計(jì)算方法（30分鐘）；（3） 例題（10分鐘）；（4） 梯度概念（30分鐘）；（5） 例題（20分鐘）。說(shuō)明1：數(shù)量場(chǎng)是一種發(fā)生在一定空間中的自然現(xiàn)象，這種自然現(xiàn)象是客觀存在的，并具有數(shù)量特征。數(shù)量場(chǎng)本身并不依賴(lài)于任何坐標(biāo)系，但是為了描述、研究這種存在于空間中的自然現(xiàn)象，必須建立合適的坐標(biāo)系，用一個(gè)定義在該空間中的數(shù)量函數(shù)來(lái)標(biāo)征這個(gè)數(shù)量場(chǎng)。說(shuō)明2：方向?qū)?shù)是導(dǎo)數(shù)真正意義上的推廣。說(shuō)明3：梯度是一個(gè)非常重要的物理概念，對(duì)于自然科學(xué)工作者來(lái)說(shuō)是常識(shí)性的知識(shí)，必須牢固掌握四、作業(yè) 同步訓(xùn)練習(xí)題一、方向?qū)?shù)是函數(shù)關(guān)于x的變化率,即關(guān)于x軸的方向?qū)?shù)。是函數(shù)關(guān)于y的變化率，即關(guān)于y軸的方向?qū)?shù)。 定義1: 設(shè)z=在P(x,y)某領(lǐng)域u(P)內(nèi)有定義，以P點(diǎn)為起點(diǎn)引方向射線，任取P(x0+x,y0+y)。如果存在，(其中=)。則稱(chēng)此極限為z=在P點(diǎn)沿的方向?qū)?shù)，記為。即=【注】:若P(0,0),方向?yàn)閤軸的正向。取定：y=0 == 若P(0，0)，方向?yàn)閤軸的負(fù)向。取定y=0 == 定理1: 設(shè)z=在P(x，y)處可微分,則在P點(diǎn)沿任意方向的方西拿過(guò)導(dǎo)數(shù)均存在、且=+其中：=={,}，其中：為x軸到的轉(zhuǎn)角。證:由于z=f(x，y)在點(diǎn)P處可微。 ∴ z=f(x+x，y+y)f(x，y)= 則：=【注】:u=f(x，y，z)在P點(diǎn)可微。 【例】:求u=ln(x+)在點(diǎn)A(1,0,1)沿A指向B(3,2,2)的方向?qū)?shù)、解: =={2,2,1}、則 ∴ ?！纠浚呵髍=沿=的方向?qū)?shù)，解：因?yàn)椋簉為向徑的模。即向徑沿本方向時(shí)方向?qū)?shù)最大?！纠浚孩僭O(shè)是曲面2在點(diǎn)A(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量，求u=在A點(diǎn)沿的方向?qū)?shù)；②求z=在點(diǎn)A(2,3)處沿曲線的切線且朝x值增大以方向?qū)?shù)。解:①={}={4}={4,6,2}、 由于， 則【補(bǔ)充】 ② 取B=(3,7)、則、單位化={}、 ∴ =二、梯度 定義：（數(shù)量場(chǎng)）函數(shù)z=f(x，y)在處的梯度定義為：=。類(lèi)似的,?！咀ⅰ? 當(dāng)u=f(x，y，z)可微時(shí)： 其中是。則u在P0點(diǎn)沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大值。