【正文】 2022濟(jì)寧魚臺模擬 ,7)關(guān)于 x的一元二次方程 kx2+2x1=0有兩個不相等的實數(shù)根 ,則 k 的取值 范圍是 ? ( ) 1 ≥ 1 ≠ 0 1且 k≠ 0 答案 D 根據(jù)題意 ,得 k≠ 0且 Δ=224k(1)0, 解得 k1且 k≠ 0. 2.(2022濟(jì)南歷下一模 ,9)若 x=? 是關(guān)于 x的方程 x24? x+m=0的一個根 ,則方程的另一個根是 ? ( ) ? ? 3 333答案 D 由根與系數(shù)的關(guān)系 ,得 x1+x2=4? ,∵ x=? 是方程 x24? x+m=0的一個根 ,不妨設(shè) x1= ? ,則 ? +x2=4? ,解得 x2=3? . 33 33333一題多解 將 x=? 代入方程 x24? x+m=0,得 (? )24? ? +m=0,解得 m=9,∴ 該方程為 x24 ? x+9=0,解方程 ,得 x1=? ,x2=3? ,∴ 方程的另一個根為 3? . 3 3 3333 3 33.(2022濱州陽信模擬 ,8)已知 a、 b、 c為常數(shù) ,點 P(a,c)在第二象限 ,則關(guān)于 x的方程 ax2+bx+c=0的 根的情況是 ? ( ) 答案 B ∵ 點 P(a,c)在第二象限 ,∴ a0,c0,∴ ac0, ∴ Δ=b24ac0,∴ 方程有兩個不相等的實數(shù)根 . 4.(2022德州禹城等五縣一模 ,3)已知 x1,x2是一元二次方程 x2+2xk1=0的兩根 ,且 x1x2=3,則 k的值 為 ? ( ) 答案 B ∵ x1,x2是一元二次方程 x2+2xk1=0的兩根 ,∴ x1x2=k1. ∵ x1x2=3,∴ k1=3,解得 k=2. 思路分析 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出 x1x2=k1,結(jié)合 x1x2=3可得出關(guān)于 k的一元一次方程 ,解 之即可得出結(jié)論 . 5.(2022聊城陽谷一模 ,6)關(guān)于 x的一元二次方程 (m2)x2+2x+1=0有實數(shù)根 ,則 m的取值范圍是 ? ( ) ≤ 3 3 3且 m≠ 2 ≤ 3且 m≠ 2 答案 D ∵ 關(guān)于 x的一元二次方程 (m2)x2+2x+1=0有實數(shù)根 ,∴ m2≠ 0且 Δ=224(m2)1≥ 0, 解得 m≤ 3且 m≠ 2,∴ m的取值范圍是 m≤ 3且 m≠ 2. 6.(2022菏澤東明期末 ,16)由多項式乘法 :(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,將該式從右到左使用 ,即可 得到由“十字相乘法”進(jìn)行因式分解的公式 :x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 示例 分解因式 :x2+5x+6=x2+(2+3)x+23=(x+2)(x+3). (1)嘗試分解因式 :x2+6x+8=(x+ )(x+ )。 (2)請用上述方法解方程 :x23x4=0. 解析 (1)x2+6x+8=x2+(2+4)x+24=(x+2)(x+4), 故答案為 2。4. (2)x23x4=0,即 x2+(4+1)x+(4)1=0, ∴ (x4)(x+1)=0, 則 x+1=0或 x4=0, 解得 x=1或 x=4. 7.(2022濰坊壽光一模 ,19)已知關(guān)于 x的方程 x22(k1)x+k2=0有兩個實數(shù)根 x x2. (1)求 k的取值范圍 。 (2)若 |x1+x2|=x1x21,求 k的值 . 解析 (1)∵ 方程 x22(k1)x+k2=0有兩個實數(shù)根 x1,x2, ∴ Δ≥ 0,即 [2(k1)]241k2≥ 0,解得 k≤ ? , ∴ k的取值范圍為 k≤ ? . (2)根據(jù)題意得 x1+x2=2(k1),x1x2=k2,∵ k≤ ? , ∴ x1+x2=2(k1)0,∴ (x1+x2)=x1x21, ∴ 2(k1)=k21,整理得 k2+2k3=0, 解得 k1=3,k2=1.∵ k≤ ? ,∴ k=3. 1212 122考點三 一元二次方程的應(yīng)用 1.(2022濟(jì)南歷下一模 ,10)我省 2022年的快遞業(yè)務(wù)量為 ,受益于電子商務(wù)發(fā)展和法治環(huán) 境改善等多重因素 ,快遞業(yè)務(wù)迅猛發(fā)展 ,2022年的快遞業(yè)務(wù)量達(dá)到 .設(shè) 2022年與 2022年 這兩年的平均增長率為 x,則下列方程正確的是 ? ( ) (1+x)= (1+2x)= (1+x)2= (1+x)+(1+x)2= 答案 C 由題意得 (1+x)2=. 2.(2022濱州一模 ,14)某藥品原價每盒 25元 ,為了響應(yīng)國家解決老百姓看病貴的號召 ,經(jīng)過連續(xù) 兩次降價 ,現(xiàn)在售價每盒 16元 ,則該藥品平均每次降價的百分率是 . 答案 20% 解析 設(shè)該藥品平均每次降價的百分率是 x, 根據(jù)題意 ,得 25(1x)2=16, 解得 x==20%或 x=(不合題意 ,舍去 ). 則該藥品平均每次降價的百分率是 20%. 3.(2022濟(jì)南市中區(qū)二模 ,21)工人師傅用一塊長為 10 dm,寬為 6 dm的矩形鐵皮制作一個無蓋的 長方體容器 ,需要將四個角各裁掉一個正方形 (厚度不計 ),求長方體底面面積為 12 dm2時 ,裁掉 的正方形邊長有多大 ? ? 解析 設(shè)裁掉的正方形的邊長為 x dm, 由題意 ,得 (102x)(62x)=12, 整理 ,得 x28x+12=0, 解得 x1=2,x2=6(不符合題意 ,舍去 ). 答 :裁掉的正方形的邊長為 2 dm. 思路分析 四個角各裁掉一個正方形后 ,長方體的底面長與底面寬分別為 (102x)dm,(62x)dm, 根據(jù)長方體底面面積公式列方程即可求出答案 . 4.(2022濟(jì)南市中區(qū)一模 ,25)如圖 ,要利用一面墻 (墻長為 25米 )建羊圈 ,用 100米的圍欄圍成總面 積為 400平方米的三個大小相同的矩形羊圈 ,求羊圈的邊長 AB,BC各為多少米 . ? 解析 設(shè) AB的長度為 x米 ,則 BC的長度為 (1004x)米 . 根據(jù)題意得 x(1004x)=400,解得 x1=20,x2=5, 則 1004x=20或 1004x=80. ∵ 8025,∴ x=20. 即 AB=20米 ,BC=20米 . 答 :羊圈的邊長 AB,BC分別是 20米 ,20米 . B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時間 :10分鐘 分值 :20分 ) 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 9分 ) 1.(2022濟(jì)南市中區(qū)二模 ,10)如果關(guān)于 x的方程 (m1)x2+x+1=0有實數(shù)根 ,那么 m的取值范圍是 ? ( ) ? ? 且 m≠ 1 ≤ ? ≤ ? 且 m≠ 1 54 5454 54答案 C 當(dāng) m1=0,即 m=1時 ,x+1=0,解得 x=1。當(dāng) m1≠ 0,即 m≠ 1時 ,Δ=124(m1)1≥ 0,解得 m ≤ ? , 綜上 ,m的取值范圍為 m≤ ? . 54 54思路分析 由于本題沒有說明是什么方程 ,所以分一次方程和二次方程進(jìn)行討論 ,當(dāng)二次項系 數(shù)為 0時 ,是一元一次方程 ,一定有實數(shù)解 ,當(dāng)二次項系數(shù)不為 0時 ,滿足 Δ≥ 0即可 . 易錯警示 本題易錯的地方是把方程理所當(dāng)然地認(rèn)為是一元二次方程 . 2.(2022泰安東平一模 ,13)甲計劃用若干個工作日完成某項工作 ,從第二個工作日起 ,乙加入此 項工作 ,且甲、乙兩人工效相同 ,結(jié)果提前 3天完成任務(wù) ,則甲計劃完成此項工作的天數(shù)是 ( ) 答案 B 設(shè)甲計劃完成此項工作的天數(shù)為 x, 根據(jù)題意得 x? =3,解得 x=7. 故選 B. 11 2x ????????3.(2022濟(jì)寧汶上二中模擬 ,4)已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0),若 4a2b+c=0,則它的一個根 是 ? ( ) ? 12答案 A ∵ 4a2b+c=a(2)2+b(2)+c=0, ∴ x=2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0)的一個根 . 思路分析 觀察 ax2+bx+c=0和 4a2b+c=0發(fā)現(xiàn) a的系數(shù)由 x2到 4,b的系數(shù)由 x到 2可得 x的值 ,即可 解決問題 . 解題關(guān)鍵 從第一個方程到第二個方程的變化 ,找出 a和 b系數(shù)的變化規(guī)律 . 二、解答題 (共 11分 ) 4.(2022濰坊青州三模 ,23)某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品 ,已知這種產(chǎn)品的成本價為每千克 20元 , 經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn) ,該產(chǎn)品每天的銷售量 y(千克 )與銷售價 x(元 /千克 )有如下關(guān)系 :y=2x+ 種產(chǎn)品每天的銷售利潤為 W元 . (1)該農(nóng)戶想要每天獲得 150元的銷售利潤 ,銷售價應(yīng)定為每千克多少元 ? (2)如果物價部門規(guī)定這種農(nóng)產(chǎn)品的銷售價不高于每千克 28元 ,銷售價定為每千克多少元時 ,每 天的銷售利潤最大 ?最大利潤是多少元 ? 解析 (1)根據(jù)題意 ,得 (x20)(2x+80)=150, 解得 x1=25,x2=35. ∴ 該農(nóng)戶想要每天獲得 150元的銷售利潤 ,銷售價應(yīng)定為每千克 25元或 35元 . (2)由題意 ,得 W=(x20)(2x+80)=2(x30)2+200. ∵ a=2,∴ 拋物線開口向下 ,當(dāng) x30時 ,y隨 x的增大而增大 , 又由于這種農(nóng)產(chǎn)品的銷售價不高于每千克 28元 , ∴ 當(dāng) x=28時 ,W最大 =2(2830)2+200=192. 答 :銷售價定為每千克 28元時 ,每天的銷售利潤最大 ,最大利潤是 192元 . 5.(2022濰坊諸城一模 ,19)已知關(guān)于 x的一元二次方程 (2m1)x22? x+1=0有兩個不相等的實數(shù) 根 . (1)求 m的取值范圍 。 (2)當(dāng) m+? =11時 ,求 ? ? 的值 . m1m m1m解析 (1)根據(jù)題意可知 ? 解得 0≤ m1且 m≠ ? . (2)∵ m+? =11,∴ ? =m+? 2=112=9, ∴ ? ? =177。3. 又由 (1)知 0≤ m1且 m≠ ? , ∴ ? ? 0,∴ ? ? =3. 2( 2 ) 4 ( 2 1 ) 0 ,2 1 0 ,0,mmm? ? ? ? ?? ???? ??121m21mm???????1m112m1m思路分析 (1)根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根 ,列出關(guān)于 m的一個不等式 ,還需要考 慮二次項的系數(shù)不為零 ,再得到一個關(guān)于 m的不等式 ,再根據(jù)二次根式有意義的條件得 m≥ 0,把 這三個不等式組成不等式組 ,解不等式組即可得到 m的取值范圍 。 (2)觀察要求的代數(shù)式發(fā)現(xiàn)減數(shù)和被減數(shù)互為倒數(shù) ,所以把要求的式子平方 ,根據(jù)第一問求得的 m的取值范圍 ,即可得到要求的代數(shù)式的值 . 解題關(guān)鍵 熟練掌握一元二次方程的概念與根的判別式 ,二次根式有意義的條件 . 方法點撥 當(dāng)要求的式子的兩項互為倒數(shù)時 ,可以考慮把要求的式子平方 ,求得值后再開方 ,但 要注意 ,最后求得的值是一個還是兩個 . C組 2022— 2022年模擬 探究題組 (2022泰安岱岳一模 ,20)我們知道 ,一元二次方程 x2=1沒有實數(shù)根 ,即不存在一個實數(shù)的平方等 于 “ i” ,使其滿足 i2=1(即方程 x2=1有一個根為 i),并且進(jìn)一步規(guī)定 :一 切實數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算 ,且原有的運(yùn)算律和運(yùn)算法則仍然成立 ,于是有 i1=i,i2=1,i3=i2i =(1)i=i,i4=(i2)2=(1)2= n,我們可得到 i4n+1=i4ni=(i4)ni=i,同理可得 i4n+2=1,i4n+3= i,i4n=1,那么 ,i+i2+i3+i4+… +i2 012+i2 013的值為 ? ( ) 答案 D 由 i1=i,i2=1,i3=i2i=(1)i=i, i4=(i2)2=(1)2=1,i5=i4i=i,i6=i5i=1, 可發(fā)現(xiàn) 4個為一個循環(huán) ,一個循環(huán)內(nèi)的和為 0, ∵ 2 013247。4=503…… 1, ∴ i+i2+i3+i4+… +i2 012+i2 013=5030+i4503+1=i.