【正文】 抵地 ,抵地處離竹子底部 3尺遠(yuǎn) ,問(wèn)折斷處離地面的高度是多少 ? 設(shè)折斷后離地面的高度為 x尺 ,則可列方程為 ? ( ) =(10x)2 =(10x)2 +3=(10x)2 +32=(10x)2 答案 D 由題意可知 ,折斷的部分為直角三角形的斜邊 ,所以可列方程為 x2+32=(10x) D. 二、填空題 (每小題 3分 ,共 18分 ) 3.(2022北京順義一模 ,11)把方程 x23=2x用配方法化為 (x+m)2=n的形式 ,則 m= ,n= . 答案 1。4 解析 x23=2x,整理得 x22x3=0,即 x22x+113=0,配方得 (x1)2=4.∵ (x+m)2=n,∴ m=1,n=4. 4.(2022北京西城一模 ,12)從杭州東站到北京南站 ,原來(lái)最快的一趟高鐵 G20次約用 5 h到達(dá) .從 2 018年 4月 10日起 ,全國(guó)鐵路開(kāi)始實(shí)施新的列車運(yùn)行圖 ,并啟用了“京杭高鐵復(fù)興號(hào)” ,它的運(yùn)行 速度比原來(lái)的 G20次的運(yùn)行速度快 35 km/h,約用 h到達(dá) .如果在相同的路線上 ,杭州東站到北 京南站的距離不變 ,求“京杭高鐵復(fù)興號(hào)”的運(yùn)行速度 .設(shè)“京杭高鐵復(fù)興號(hào)”的運(yùn)行速度為 x km/h,依題意 ,可列方程為 . 答案 5(x35)= 解析 復(fù)興號(hào)的速度為 x km/h,時(shí)間為 h,則路程為 km。G20次的速度為 (x35)km/h,時(shí)間 為 5 h,則路程為 5(x35) ,所以可列方程為 5(x35)=. 思路分析 需要借助路程相等來(lái)表示等量關(guān)系 . 5.(2022北京豐臺(tái)一模 ,14)營(yíng)養(yǎng)學(xué)家對(duì)初中學(xué)生進(jìn)行了一項(xiàng)調(diào)查 :甲組學(xué)生每天正常進(jìn)餐 ,乙組 學(xué)生每天除正常進(jìn)餐外 ,每人還增加 600 mL牛奶 .一年后營(yíng)養(yǎng)學(xué)家統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn) :乙組學(xué)生平均身 高的增長(zhǎng)值比甲組學(xué)生平均身高的增長(zhǎng)值多 cm,甲組學(xué)生平均身高的增長(zhǎng)值比乙組學(xué)生 平均身高的增長(zhǎng)值的 75%少 、乙兩組學(xué)生平均身高的增長(zhǎng)值分別為 x cm、 y cm, 依題意 ,可列方程組為 . 答案 ? % ???? ???解析 由乙組學(xué)生平均身高的增長(zhǎng)值比甲組學(xué)生平均身高的增長(zhǎng)值多 cm,可列方程 y=x+ ,由甲組學(xué)生平均身高的增長(zhǎng)值比乙組學(xué)生平均身高的增長(zhǎng)值的 75%少 cm,可列方程 x =75%,則可列方程組為 ? ,75% ???? ???6.(2022北京豐臺(tái)一模 ,15)眾所周知 ,中華詩(shī)詞博大精深 ,集大量的情景情感于短短數(shù)十字之間 , 或豪放 ,或婉約 ,或思民生疾苦 ,或抒發(fā)己身豪情逸致 ,文化價(jià)值極高 .而數(shù)學(xué)與古詩(shī)詞更是有著 密切的聯(lián)系 .古詩(shī)中 ,五言絕句是四句詩(shī) ,每句都是五個(gè)字 。七言絕句是四句詩(shī) ,每句都是七個(gè)字 . 有一本詩(shī)集 ,其中五言絕句比七言絕句多 13首 ,總字?jǐn)?shù)卻反而少了 20個(gè)字 .問(wèn)兩種詩(shī)各多少首 ? 設(shè)七言絕句有 x首 ,根據(jù)題意 ,可列方程為 . 答案 28x20(x+13)=20 解析 七言絕句有 x首 ,則五言絕句有 (x+13)首 .五言絕句每首有 45個(gè)字 ,七言絕句每首有 47 個(gè)字 ,根據(jù)五言絕句比七言絕句字?jǐn)?shù)少了 20個(gè)字 ,可列方程為 28x20(x+13)=20. 7.(2022北京朝陽(yáng)一模 ,14)《孫子算經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一 ,其中記載的“蕩杯 問(wèn)題”很有趣 . 《孫子算經(jīng)》記載“今有婦人河上蕩杯 .津吏問(wèn)曰 :‘杯何以多 ?’婦人曰 :‘家有客 .’津吏曰 : ‘客幾何 ?’婦人曰 :‘二人共飯 ,三人共羹 ,四人共肉 ,凡用杯六十五 .’不知客幾何 ?” 譯文 :“ 2人同吃一碗飯 ,3人同吃一碗羹 ,4人同吃一碗肉 ,共用 65個(gè)碗 ,問(wèn)有多少客人 ?”設(shè)共有 客人 x人 ,可列方程為 . 答案 ? x+? x+? x=65 12 13 14解析 由兩人同吃一碗飯知共有 ? x個(gè)碗盛飯 ,同理有 ? x,? x,由共 65個(gè)碗可知和為 65,則可列方 程為 ? x+? x+? x=65. 12 13 1412 13 148.(2022北京順義二模 ,13)小林、小芳和小亮三人玩飛鏢游戲 ,各投 5支飛鏢 ,規(guī)定在同一圓環(huán)內(nèi) 得分相同 ,中靶和得分情況如圖 ,則小亮的得分是 . ? 答案 21分 解析 由題意可設(shè) ,投中內(nèi)環(huán)得 x分 ,投中外環(huán)得 y分 ,所以可列方程組為 ? 解得 ? 所以小亮的得分是 53+32=21分 . 2 3 19,4 23,xyxy???? ??? 5, ??? ??思路分析 先列方程組求出投中內(nèi)環(huán)和外環(huán)的得分情況 ,再計(jì)算小亮的得分 . 三、解答題 (共 56分 ) 9.(2022北京東城一模 ,20)已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2(m+3)x+m+2=0. (1)求證 :無(wú)論實(shí)數(shù) m取何值 ,方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 。 (2)若方程有一個(gè)根的平方等于 4,求 m的值 . 解析 (1)證明 :Δ=[(m+3)]24(m+2)=(m+1)2, ∵ (m+1)2≥ 0, ∴ 無(wú)論實(shí)數(shù) m取何值 ,方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . (2)由求根公式得 x1=1,x2=m+2, ∵ 方程有一個(gè)根的平方等于 4, ∴ (m+2)2=4. 解得 m=4或 m=0. 10.(2022北京西城一模 ,20)已知關(guān)于 x的方程 mx2+(3m)x3=0(m為實(shí)數(shù) ,m≠ 0). (1)求證 :此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 。 (2)如果此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都為正整數(shù) ,求整數(shù) m的值 . 解析 (1)證明 :∵ m≠ 0, ∴ 方程 mx2+(3m)x3=0為一元二次方程 . 依題意 ,得 Δ=(3m)2+12m=(m+3)2. ∵ 無(wú)論 m取何實(shí)數(shù) ,總有 (m+3)2≥ 0, ∴ 此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . (2)由求根公式 ,得 x1=1,x2=? (m≠ 0). ∵ 方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都為正整數(shù) , ∴ 整數(shù) m的值為 1或 3. 3m11.(2022北京石景山一模 ,20)關(guān)于 x的一元二次方程 mx2+(3m2)x6=0. (1)當(dāng) m為何值時(shí) ,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ? (2)當(dāng) m為何整數(shù)時(shí) ,此方程的兩個(gè)根都為負(fù)整數(shù) ? 解析 (1)∵ 方程為一元二次方程 ,∴ m≠ 0. ∵ Δ=(3m2)2+24m=(3m+2)2≥ 0, ∴ 當(dāng) m≠ 0且 m≠ ? 時(shí) ,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 . (2)解方程 mx2+(3m2)x6=0,得 x1=? ,x2=3. ∵ m為整數(shù) ,且方程的兩個(gè)根均為負(fù)整數(shù) , ∴ m=1或 m=2. 即 m=1或 m=2時(shí) ,此方程的兩個(gè)根都為負(fù)整數(shù) . 232m12.(2022北京順義一模 ,20)已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2(m1)x+2m6=0. (1)求證 :方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 。 (2)若方程有一個(gè)根是負(fù)數(shù) ,求 m的取值范圍 . 解析 (1)證明 :∵ Δ=[(m1)]24(2m6) =m22m+18m+24 =m210m+25 =(m5)2≥ 0, ∴ 方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . (2)由求根公式得 x1=m3,x2=2. ∵ 有一個(gè)根是負(fù)數(shù) ,∴ m30,∴ m3. 13.(2022北京懷柔一模 ,20)已知關(guān)于 x的方程 x26mx+9m29=0. (1)求證 :此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 。 (2)若此方程的兩個(gè)根分別為 x1,x2,其中 x1x2,若 x1=2x2,求 m的值 . 解析 (1)∵ Δ=(6m)24(9m29) =36m236m2+36=360, ∴ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 . (2)由求根公式得 x1,2=? =? =3m177。3, ∵ 3m+33m3, ∴ x1=3m+3,x2=3m3, ∴ 3m+3=2(3m3), ∴ m=3. 6 3 62m ? 662m ?14.(2022北京門頭溝一模 ,22)學(xué)完二元一次方程組的應(yīng)用之后 ,老師寫出了一個(gè)方程組如下 : ? 要求把這個(gè)方程組賦予實(shí)際情境 . 小軍說(shuō)出了一個(gè)情境 :學(xué)校有兩個(gè)課外小組 ,書(shū)法組和美術(shù)組 ,其中書(shū)法組的人數(shù)的二倍比美術(shù) 組多 5人 ,書(shū)法組平均每人完成了 4幅書(shū)法作品 ,美術(shù)組平均每人完成了 3幅美術(shù)作品 ,兩個(gè)小組 共完成了 40幅作品 ,問(wèn)書(shū)法組和美術(shù)組各有多少人 ? 小明通過(guò)驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)小軍賦予的情境有問(wèn)題 ,請(qǐng)找出問(wèn)題在哪 . 2 5,4 3 4 0 .xyxy???? ???解析 通過(guò)解方程組得 ? 由于人數(shù)只能是非負(fù)整數(shù) ,所以小軍不能以人數(shù)為未知數(shù)進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè) . 5 .5 , ??? ??15.(2022北京東城一模 ,22)在某場(chǎng) CBA比賽中 ,某位運(yùn)動(dòng)員的技術(shù)統(tǒng)計(jì)如下表所示 : 注 :(1)表中出手投籃次數(shù)和投中次數(shù)均不包括罰球 。 (2)總得分 =兩分球得分 +三分球得分 +罰球得分 . 根據(jù)以上信息 ,求本場(chǎng)比賽中該運(yùn)動(dòng)員投中兩分球和三分球各幾個(gè) . 技術(shù) 上場(chǎng)時(shí)間 (分鐘 ) 出手投 籃 (次 ) 投中 (次 ) 罰球得 分 (分 ) 籃板 (個(gè) ) 助攻 (次 ) 個(gè)人總 得分 (分 ) 數(shù)據(jù) 38 27 11 6 3 4 33 解析 設(shè)本場(chǎng)比賽中該運(yùn)動(dòng)員投中兩分球 x個(gè) ,三分球 y個(gè) . 依題意有 ? 解得 ? 答 :本場(chǎng)比賽中該運(yùn)動(dòng)員投中兩分球 6個(gè) ,三分球 5個(gè) . 2 3 6 33,? ? ??? ??? 6, ??? ??16.(2022北京東城二模 ,20)為迎接“五一勞動(dòng)節(jié)” ,某超市開(kāi)展促銷活動(dòng) ,決定對(duì) A,B兩種商品 進(jìn)行打折出售 .打折前 ,買 6件 A商品和 3件 B商品需要 108元 ,買 3件 A商品和 4件 B商品需要 94元 . 問(wèn) :打折后 ,若買 5件 A商品和 4件 B商品僅需 86元 ,比打折前節(jié)省了多少元錢 ? 解析 設(shè)打折前一件 A商品的價(jià)格為 x元 ,一件 B商品的價(jià)格為 y元 .? 依據(jù)題意 ,得 ? 解得 ? 所以 510+41686=28(元 ). 答 :比打折前節(jié)省了 28元 . 6 3 108,3 4 ???? ??? 1 0 , ??? ??17.(2022北京豐臺(tái)一模 ,20)已知關(guān)于 x的一元二次方程 3x2kx+k4=0. (1)判斷方程根的情況 。 (2)若此方程有一個(gè)整數(shù)根 ,請(qǐng)選擇一個(gè)合適的 k值 ,并求出此時(shí)方程的根 . 解析 (1)∵ Δ=(k)212(k4)=k212k+48=(k6)2+120,∴ 方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 . (2)當(dāng) k=4時(shí) ,Δ=16, 方程為 3x24x=0,∴ x1=0,x2=? 。 或當(dāng) k=8時(shí) ,Δ=16, 方程為 3x28x+4=0,∴ x1=2,x2=? . 432318.(2022北京懷柔二模 ,23)小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題 :已知 :? = :b24ac≥ 0. 經(jīng)過(guò)思考 ,小明的證明過(guò)程如下 : ∵ ? =1,∴ bc=a.∴ ab+c= ,小明想 :若把 x=1代入一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0),恰 好得到 ab+c= ax2+bx+c=0有根 ,且一個(gè)根是 x= ,根據(jù)一元二次方 程根的判別式的知識(shí)易證 b24ac≥ 0. 根據(jù)上面的解題經(jīng)驗(yàn) ,小明模仿上面的題目自己編了一道類似的題目 : 已知 :? = :b2≥ ,寫出小明所編題目的證明過(guò)程 . bca?bca?4 acb?證明 ∵ ? =2,∴ 4a+c=2b.∴ 4a+2b+c=0. ∴ x=2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0)的一個(gè)根 . ∴ b24ac≥ 0,∴ b2≥ 4ac. 4 acb?