【正文】 第二章 方程 （ 組）與不等式（組） 167。 整式方程（組） 中考數(shù)學(xué) (北京專用 ) 20222022年 北京 中考題組 五年中考 1.(2022北京 ,3,2分 )方程組 ? 的解為 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 3,3 8 14xyxy???? ???12xy ???? ??1 2xy ??? ???21xy ???? ??2 1xy ??? ???答案 D ? ① 3②得 5y=5,解得 y=1,把 y=1代入①得 x=2,所以方程組的解為 ? 故選 D. 3,3 8 14,xyxy???? ???① ②2, ??? ???2.(2022北京 ,12,3分 )某活動小組購買了 4個籃球和 5個足球 ,一共花費(fèi)了 435元 ,其中籃球的單價 比足球的單價多 3元 ,求籃球的單價和足球的單價 .設(shè)籃球的單價為 x元 ,足球的單價為 y元 ,依題 意 ,可列方程組為 . 答案 ? 34 5 435xyxy???? ???解析 由 4個籃球和 5個足球共花費(fèi) 435元 ,可得 4x+5y= 3元 , 可得 x=y+ ? 3,4 5 ???? ???3.(2022北京 ,14,3分 )關(guān)于 x的一元二次方程 ax2+bx+? =0有兩個相等的實數(shù)根 ,寫出一組滿足條 件的實數(shù) a,b的值 :a= ,b= . 14答案 1。1(滿足 a=b2(a≠ 0)即可 ) 解析 ∵ 方程為一元二次方程 ,且有兩個相等的實數(shù)根 , ∴ a≠ 0,Δ=b2a=0.∴ a=b2(a≠ 0).例如 a=1,b= . 4.(2022北京 ,20,5分 )關(guān)于 x的一元二次方程 ax2+bx+1=0. (1)當(dāng) b=a+2時 ,利用根的判別式判斷方程根的情況 。 (2)若方程有兩個相等的實數(shù)根 ,寫出一組滿足條件的 a,b的值 ,并求此時方程的根 . 解析 (1)依題意 ,得 Δ=(a+2)24a=a2+40. 故方程有兩個不相等的實數(shù)根 . (2)由題意可知 ,a≠ 0,Δ=b24a=0. 答案不唯一 ,如 :當(dāng) b=2,a=1時 ,方程為 x2+2x+1=0, ∴ (x+1)2=0, ∴ x1=x2=1. 5.(2022北京 ,21,5分 )關(guān)于 x的一元二次方程 x2(k+3)x+2k+2=0. (1)求證 :方程總有兩個實數(shù)根 。 (2)若方程有一個根小于 1,求 k的取值范圍 . 解析 (1)證明 :依題意 ,得 Δ=[(k+3)]24(2k+2)=(k1)2. ∵ (k1)2≥ 0, ∴ 方程總有兩個實數(shù)根 . (2)由求根公式 ,得 x=? , ∴ x1=2,x2=k+1. ∵ 方程有一個根小于 1,∴ k+11,∴ k0, 即 k的取值范圍是 k0. [ ( 3)] ( 1)2kk?? ? ? ?6.(2022北京 ,20,5分 )關(guān)于 x的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m21=0有兩個不相等的實數(shù)根 . (1)求 m的取值范圍 。 (2)寫出一個滿足條件的 m的值 ,并求此時方程的根 . 解析 (1)依題意 ,得 Δ=(2m+1)24(m21)=4m+50, 解得 m? . (2)答案不唯一 .如 :m=1. 此時方程為 x2+3x=0. 解得 x1=3,x2=0. 54思路分析 (1)利用一元二次方程的根的判別式列不等式 ,求 m的取值范圍 .(2)結(jié)合 (1)確定 m的 值 ,解方程 . 方法技巧 依據(jù)所求出的 m的取值范圍確定 m的值時 ,盡量取較特殊的值 ,例如 :可以使一次項 系數(shù)為 0的 ? 或使常數(shù)項為 0的 1或 1. 127.(2022北京 ,17,5分 )已知關(guān)于 x的方程 mx2(m+2)x+2=0(m≠ 0). (1)求證 :方程總有兩個實數(shù)根 。 (2)若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù) ,求正整數(shù) m的值 . 解析 (1)證明 :∵ m≠ 0, ∴ mx2(m+2)x+2=0是關(guān)于 x的一元二次方程 . ∴ Δ=[(m+2)]242m=(m2)2. ∵ (m2)2≥ 0, ∴ 方程總有兩個實數(shù)根 . (2)由求根公式 ,得 x=? . ∴ x1=1,x2=? . ∵ 方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù) ,且 m為正整數(shù) , ∴ m=1或 2. ( 2) ( 2)2mmm? ? ?2m8.(2022北京 ,17,5分 )列方程或方程組解應(yīng)用題 : 2022年北京市生產(chǎn)運(yùn)營用水和居民家庭用水的總和為 ,其中居民家庭用水比生產(chǎn) 運(yùn)營用水的 3倍還多 ,問生產(chǎn)運(yùn)營用水和居民家庭用水各多少億立方米 ? 解析 設(shè)生產(chǎn)運(yùn)營用水 x億立方米 ,居民家庭用水 y億立方米 ,依題意 ,得 ? 解這個方程組 ,得 x=,y=. 答 :生產(chǎn)運(yùn)營用水 ,居民家庭用水 . ,3 ,xyyx???? ???教師專用題組 考點一 一元一次方程、二元一次方程 (組 ) 1.(2022河南 ,6,3分 )《九章算術(shù)》中記載 :“今有共買羊 ,人出五 ,不足四十五 。人出七 ,不足三 .問 人數(shù)、羊價各幾何 ?”其大意是 :今有人合伙買羊 ,若每人出 5錢 ,還差 45錢 。若每人出 7錢 ,還差 3 錢 .問合伙人數(shù)、羊價各是多少 ?設(shè)合伙人數(shù)為 x人 ,羊價為 y錢 ,根據(jù)題意 ,可列方程組為 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 5 4573yx???? ???5 4573yx???? ???5 4573yx???? ???5 4573yx???? ???答案 A 根據(jù)等量關(guān)系“每人出 5錢 ,還差 45錢”得 ,y=5x+45。根據(jù)等量關(guān)系“每人出 7錢 ,還 差 3錢”得 ,y=7x+3,聯(lián)立得方程組 .故選 A. 2.(2022河北 ,7,3分 )有三種不同質(zhì)量的物體“ ? ”“ ? ”“ ? ” ,其中 ,同一種物體的質(zhì)量都相 等 .現(xiàn)左右手中同樣的盤子上都放著不同個數(shù)的物體 ,只有一組左右質(zhì)量 不 相等 ,則該組是 ? ( ) ? 答案 A 設(shè) ? 的質(zhì)量為 x,? 的質(zhì)量為 y,? 的質(zhì)量為 z, 觀察題圖可知選項 A中 2x=3y,而選項 D中 2x=4y,顯然其中一個選項是符合題意的 ,而選項 B,C都 是不符合題意的 ,選項 B中 2z+x=2z+2y,可得 x=2y,選項 C中 z+x=z+2y,可得 x=2y,故 A選項符合題 意 . 3.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,9,3分 )已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2+2x+m2=0有兩個實數(shù)根 ,m為正整數(shù) , 且該方程的根都是整數(shù) ,則符合條件的所有正整數(shù) m的和為 ? ( ) 答案 B ∵ 關(guān)于 x的方程 x2+2x+m2=0有兩個實數(shù)根 ,∴ Δ=b24ac=44(m2)≥ 0,∴ m≤ 3. ∵ m為正整數(shù) ,∴ m=1或 2或 3. 當(dāng) m=1時 ,方程 x2+2x1=0的兩根不是整數(shù) ,不滿足題意 . 當(dāng) m=2或 3時 ,滿足題意 ,2+3= B. 4.(2022黑龍江齊齊哈爾 ,8,3分 )某抗戰(zhàn)紀(jì)念館館長找到大學(xué)生團(tuán)干部小張 ,聯(lián)系青年志愿者在 周日參與活動 ,活動累計 56個小時的工作時間 ,需要每名男生工作 5個小時 ,每名女生工作 4個小 時 ,小張可以安排學(xué)生參加活動的方案共有 ? ( ) 答案 C 設(shè)安排 x名男生 ,y名女生 ,則 5x+4y=56,∵ x,y為非負(fù)整數(shù) ,可得 y≤ 14,舉例驗證可得當(dāng) y =14時 ,x=0,當(dāng) y=9時 ,x=4,當(dāng) y=4時 ,x=8,所以可以安排 4名女生 ,8名男生 。9名女生 ,4名男生 。14名女 生參加活動 ,所以方案共有 3種 ,故選 C. 5.(2022廣西南寧 ,10,3分 )超市店慶促銷 ,某種書包原價每個 x元 ,第一次降價打“八折” ,第二次 降價每個又減 10元 ,經(jīng)兩次降價后售價為 90元 ,則得到方程 ? ( ) =90 =90 =10 =90 答案 A 每個書包原價是 x元 ,則第一次打八折后的價格是 ,第二次降價 10元后的價格 是 ()元 ,則可得方程 = A. 6.(2022黑龍江哈爾濱 ,7,3分 )某車間有 26名工人 ,每人每天可以生產(chǎn) 800個螺釘或 1 000個螺母 .1 個螺釘需要配 2個螺母 ,為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套 ,設(shè)安排 x名工人生產(chǎn)螺釘 ,則下面 所列方程正確的是 ? ( ) 1 000(26x)=800x 000(13x)=800x 000(26x)=2800x 000(26x)=800x 答案 C 若安排 x名工人生產(chǎn)螺釘 ,則生產(chǎn)螺母的工人為 (26x)名 .根據(jù)題意 ,可列方程為 1 000 (26x)=2800x,故選 C. 7.(2022浙江杭州 ,7,3分 )某村原有林地 108公頃 ,旱地 54公頃 ,為保護(hù)環(huán)境 ,需把一部分旱地改造 為林地 ,使旱地面積占林地面積的 20%,設(shè)把 x公頃旱地改為林地 ,則可列方程為 ? ( ) =20%108 =20%(108+x) +x=20%162 =20%(54+x) 答案 B 根據(jù)題意知 ,把 x公頃旱地改為林地后 ,旱地面積變?yōu)?(54x)公頃 ,林地面積變?yōu)?(108+ x)公頃 ,且旱地面積占林地面積的 20%,則可列方程為 54x=20%(108+x).故選 B. 8.(2022河北 ,11,2分 )利用加減消元法解方程組 ? 下列做法正確的是 ? ( ) y,可以將① 5+② 2 x,可以將① 3+② (5) y,可以將① 5+② 3 x,可以將① (5)+② 2 2 5 10,5 3 6,xyxy? ???? ???①②答案 D 解二元一次方程組時 ,在消去一個未知數(shù)之前應(yīng)先計算方程組的各個方程中這個 未知數(shù)的系數(shù)的最小公倍數(shù) ,然后進(jìn)行消元 ,選項 D正確 . 9.(2022寧夏 ,3,3分 )已知 x,y滿足方程組 ? 則 x+y的值為 ? ( ) 6 1 2 ,3 2 8,xyxy???? ???答案 C ? ① +②得 4x+4y=20,即 x+y= C. 6 12,3 2 8,xyxy???? ???①②10.(2022四川成都 ,13,4分 )已知 ? =? =? ,且 a+b2c=6,則 a的值為 . 6a 5b 4c答案 12 解析 設(shè) ? =? =? =k(k≠ 0), 則 a=6k,b=5k,c=4k, ∵ a+b2c=6,∴ 6k+5k8k=6. 解得 k=2.∴ a=6k=12. 6a 5b 4c11.(2022江西 ,9,3分 )中國的《九章算術(shù)》是世界現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉之一 ,其中有一問題 : “今有牛五、羊二 ,直金十兩 .牛二、羊五 ,直金八兩 .問牛羊各直金幾何 ?”譯文 :今有牛 5頭 ,羊 2頭 ,共值金 10兩 。牛 2頭 ,羊 5頭 ,共值金 8兩 .問牛、羊每頭各值金多少 ?設(shè)牛、羊每頭各值金 x 兩、 y兩 ,依題意 ,可列出方程組為 . 答案 ? 5 2 102 5 8xyxy???? ???解析 每頭牛值金 x兩 ,每頭羊值金 y兩 ,根據(jù)“牛 5頭 ,羊 2頭 ,共值金 10兩 。牛 2頭 ,羊 5頭 ,共值金 8 兩” ,可得 ? 5 2 10,2 5 ???? ???解題關(guān)鍵 找準(zhǔn)等量關(guān)系 ,正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵 . 12.(2022黑龍江齊齊哈爾 ,1