55二次曲線系的合成與分解-資料下載頁
2024-11-03 05:33本頁面
【導(dǎo)讀】我們把由圓錐曲線上的四點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)的連線共六條直線及它們的七個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形,叫做圓錐曲線上的完全。四邊形;圓錐曲線上的完全四邊形問題是高考的熱點(diǎn)問題,且是高考?jí)狠S題的發(fā)源地,解決該類試題的絕妙方法是曲線系。法,它將涉及到由直線方程合成二次曲線系方程以及由二次曲線系方程分解為直線方程兩個(gè)方面.A、B、C、D的二次曲線系G:+λ=0;(Ⅱ)關(guān)于x,y的二次式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f可分解為?[母題解析]:(Ⅰ)設(shè)A,則:m1x0+n1y0+p1=0,ax02+cy02+dx0+ey0+f=0?ey+f)=y2+2y+為y的完全平方式?交AB于P,Q,則M為PQ的中點(diǎn).由圓和直線CD、EF合成的二次曲線系G:x2+(y-a)2-r2+λ=0,當(dāng)二。次曲線系G分解為直線CF與DE的方程之積時(shí),令y=0得:x2+a2-r2=0,即點(diǎn)P和點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)滿足二次方程x2+. 子題類型Ⅱ:橢圓有兩頂點(diǎn)A、B(1,0),過其焦點(diǎn)F(0,1). 的直線l與橢圓交與C、D兩點(diǎn),并與x軸交于點(diǎn)AC與直線BD交于點(diǎn)Q.(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí),求證:OQOP?式的綜合除法,并根據(jù)余式為0,得到相關(guān)條件,并求出另一條直線方程.錐曲線在點(diǎn)A處的切線與直線BC構(gòu)成一對(duì)“直線對(duì)”.
【正文】 . 5 解 :(Ⅰ )b=1,由221 ab?=23 ?a=2? 橢圓42x+y2=1? 右焦點(diǎn) F(3 ,0)? 直線 CF:y=33x+1,與 橢圓 的 方程聯(lián)立 ,并消去 y 得 :7x28 3 x=0? xD=738 ?|CD|=716。 (Ⅱ )設(shè) Q(m,n),則直線 QA:nx(m2)y2n=0,由直線 QA過點(diǎn) C(0,1)? m=2(1n)? 直線 QA:x+2y2=0,Q(2(1n),n)? 直線QB:nx2(2n)y+2n=0。因過直線 QA、 QB 與 橢 圓的交點(diǎn)的曲線系為 :x2+4y24+λ (x+2y2)[nx2(2n)y+2n]=0? (1+λ n)x2+ 4λ (n1)xy+4[1λ (2n)]y2+8λ y4(1+λ n)=0,該曲線系退化為直線 AB:y=0與直線 CD的方程 ? 1+λ n=0? λ =n1 ?曲線系 :y[4nn1?x+n8yn8]=0? 直線 CD:4nn1?x+n8yn8=0,令 y=0? x=12?n ?P(12?n,0)? OQOP? =12?nm=4. :設(shè) P(x0,y0),直線 AD:yk1xk1=0,直線 BE:yk2x+k2=0,過 A,B,E,D四點(diǎn)的曲線系 :x2y21+λ(yk1xk1)(yk2x+k2)=0? (1+λ k1k2)x2+(λ 1)y2λ (k1+k2)xyλ (k1k2)yλ k1k21=0,該曲線變?yōu)橹本€ AB與 CD? 1+λk1k2=0? 直線 CD:(λ 1)yλ (k1+ k2)xλ (k1k2)=0,由直線 CD過點(diǎn) C(2,0)? 3k1+k2=0,??? ?? ?? )1( )1(21 xky xky? x=21 . :(Ⅰ )設(shè)動(dòng)圓圓心 O1(x,y),則 |O1A|=|O1M|? |O1A|2=|O1M|2? (x4)2+y2=x2+16? y2=8x? 軌跡 C:y2=8x。 (Ⅱ )設(shè)直線 BP:kxy+k=0與拋物線交于另一點(diǎn) A,則直線 BQ:kx+y+k=0 與拋物線 交于另一點(diǎn) C,過 A,C,P,Q 四點(diǎn)的曲線系 :y28x+λ (kxy+k)(kx+y+k)=0? λ k2x2+ (2λ k28)x+(1λ )y2+λ k2=0,該曲線變?yōu)橹本€ AC與 PQ 時(shí) ,由 (λ 1)y2=λ k2x2+(2λ k2 8)x+λ k2? λ k2x2+(2λ k28)x+λ k2必是完全平方式 ? (2λ k28)24λ 2k4=0? λ k2=2? (λ 1)y2=2(x1)2? 直線 AC與 PQ 都過定點(diǎn) (1,0). :(Ⅰ )設(shè) 橢圓 C:22ax+22by=1(ab0),由題知 c=1,ab2=23 ?a=4,b2=3? 橢圓 C:42x+32y=1。 (Ⅱ )由 橢圓 C在點(diǎn) A處的切線 :x+2y4=0,設(shè)直線 EF:x+ty+m=0,則 過 A、 E、 F三點(diǎn)的曲線系 :3x2+4y212+λ (x+2y4)(x+ty+m) =0? (3+λ )x2+λ (2+t)xy+(4+2tλ )y2+λ (m4)x+λ (2m4t)y124λ m=0,該 曲線系為 Δ AEF 的外接 圓 ? λ (2+t)=0,且 3 +λ =4+2tλ ? t=2,λ =51 ?直線 EF:x2y+m=0? 直線 EF 的斜率 k=21為定值 .
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