55二次曲線系的合成與分解(更新版)
【正文】 λ (tx6y+2t)(tx2y2t)=0? (1+λ t2)x28λ txy+(1+12λ )y2+8λ ty4λ t24=0,該曲線系退化為直線AD:y=0與直線 MN的方程 ? 4λ t24=0? λ =21t? 曲線系 :y[t8 x+(1212t)yt8]=0? 直線 MN:t8x+(1212t)yt8=0過定點 (1,0). :(Ⅰ )x=29。 (Ⅱ )設(shè) x1=2,x2=31,求點 T的坐標 。當 b≠ 0 時 ,同理可得 :b24ac0,且 (bd2ae)2(b24ac)(d24af)=0. 子題類型Ⅰ :(蝴蝶定理 )圓 O中的弦 AB 的中點 M,過點 M任作兩弦 CD,EF,弦 CF 與 DE分別 交 AB 于 P,Q,則 M為 PQ 的 中點 . [解析 ]:如圖 ,以 點 M為坐標原點 ,直線 AB為 x軸 ,建立直角坐標系 ,設(shè) 圓 :x2+(ya)2=r2,直線 CD: y=bx,EG:y=cx? 由 圓和直線 CD、 EF 合 成 的 二次曲線系 G:x2+(ya)2r2+λ (bxy)(cxy)=0,當 二 次曲線系 G分解為直線 CF與 DE的方程之積 時 ,令 y=0得 :(1+λ bc)x2+a2r2=0,即 點 P和點 Q的橫坐標滿足二次方程 (1+λ bc)x2+ a2r2=0? xP+xQ=0? xP=xQ? M為 PQ的中點 . [點評 ]:證明 蝴蝶定理 的解析方法是曲線系應(yīng)用的典范 :首先由直線方程合成二次曲線系方程 ,進而再由二次曲線系分解為直線方程 ,由此解決問題 . 子題 類型 Ⅱ :(2020 年四川 高考 理 科 試題 )橢圓有兩頂點 A(1,0)、 B(1,0),過其焦點 F(0,1) 的直線 l 與橢圓交與 C、 D 兩點 ,并與 x軸交于點 AC與直線 BD 交于點 Q. (Ⅰ )當 |CD|=23 2時 ,求直線 l的方程 。 (Ⅱ )當 a≠ 0 時 ,由 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=ax2+(by+d)x+cy2+ey+f可分 解為 (a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)? Δ =(by+d)24a(cy2+ ey+f)=(b24ac)y2+2(bd2ae)y+(d24af)為 y 的完全平方式 ? b24ac0,且 [2(bd2ae)]24(b24ac)(d24af)=0? b24ac 0,且 (bd2ae)2(b24ac)(d24af)=0。 (Ⅲ )對于 (Ⅱ )中的 C,D,G,H,設(shè) CH交 x軸于 P點 ,GD交 x軸于 Q點 ,求 證 :|OP|=|OQ|(證明過程不考慮 CH或 GD 垂直于 x軸的情形 ). 3.(2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北 預(yù)賽試 題 )如圖 ,已知 A、 B 是圓 x2+y2=4與 x軸的兩個交點 , P 為直線 x=4 上的動點 ,PA、 PB 與圓的另一個交點分別為 M、 N. 求證 :直線 MN 過定點 . 4.(2020 年江蘇 高考試題 )在平面直角 坐標系 xOy 中 ,如圖 ,已知橢圓92x+52y=1 的左 、 右頂點為 A、 B,右焦 點為 F,設(shè)過點 T(t,m)的直線 TA,TB與橢圓分別交于點 M(x1,y1),N(x2,y2),其中 m0,y10,y20. (Ⅰ )設(shè)動點 P 滿足 |PF|2|PB|2=4,求點 P的軌跡 。 同理可得43 432 xx xxk?=rbr222? ? 21 211 xx xxk?=43 432 xx xxk?
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