55二次曲線系的合成與分解-文庫吧資料
2024-11-11 05:33本頁面
【正文】 :設 P(4,t),則直線 PA:y=6t(x+2)? tx6y+2t=0,直線 PB:y=2t(x2)? tx2y2t=0,因過直線 PA、 PB 與圓的交點的曲線系為 :x2+y24+λ (tx6y+2t)(tx2y2t)=0? (1+λ t2)x28λ txy+(1+12λ )y2+8λ ty4λ t24=0,該曲線系退化為直線AD:y=0與直線 MN的方程 ? 4λ t24=0? λ =21t? 曲線系 :y[t8 x+(1212t)yt8]=0? 直線 MN:t8x+(1212t)yt8=0過定點 (1,0). :(Ⅰ )x=29。 (Ⅱ )將 y=k1x代入22ax+2 2)( bry?=1得 :(a2k12+b2)x22a2k1rx+a2r2a2b2=0? x1+x2=2212 122 bka rka?,x1x2=2212 222 )( bka bra ???21 211 xx xxk?=rbr222?。 (Ⅱ )E,F 是橢圓 C 上的兩個動點 ,如果直線 AE 的斜率與 AF 的斜率互為相反數 ,證明 :直線 EF 的斜率為定值 ,并求出這個定值 . : :以 點 O 為坐標原點 ,直線 AB 為 x 軸 ,建立直角坐標系 ,設圓 Γ :x2+y2+dx+ey+f=0,直線 CD:xt1y=0,EF:xt2y=0,則 由圓 Γ 和直線 CD、 EF 合 成 的 二次曲線系 G:x2+y2+dx+ey+f+λ (xt1y)(xt2y)=0,當 二 次曲線系 G 分解為直線 CF 與 DE 的方程之積 時 ,令 y=0 得 :(1+λ )x2+dx+f=0,即 點 I和點 J的橫坐標滿足二次方程 (1+λ )x2+dx+f=0? xi+xj=??1d,xixj=??1f ? ||1OI ||1OJ =ix?1jx1=ji ji xxxx? =fd 。 (Ⅱ )當點 P 異于點 B 時 ,求證 : OQOP? 為定值 . 6.(2020年全國高中數學聯賽安徽初賽試題 )設點 A(1,0),B(1,0),C(2,0),D在雙曲線 x2y2=1的左 支上 ,D≠ A,直線 CD交雙曲線 x2y2=1的右支于點 E, 求證 :直線 AD與 BE的交點 P在直線 x=21上 . 7.(2020年 陜西 高考試題 )已知動圓過定點 A(4,0),且在 y軸上截得弦 MN 的長為 8. (Ⅰ )求動圓圓心的軌跡 C 的方程 。 (Ⅱ )設 x1=2,x2=31,求點 T的坐標 。 (Ⅱ )設直線 y=k1x與橢圓交于 C(x1,y1),D(x2,y2)(y20),直線 y=k2x與橢 圓次于 G(x3,y3),H(x4,y4)(y40),求證 :21 211 xx xxk?=43 432 xx xxk?。 (Ⅱ )設 直線 PQ:y=tx53,代入42x+y2=1 得 :(1+4t2)x2524tx2564=0?221 xx?=)41(5 122tt?? 221 yy? =)41(5 3 2t?? 中垂線l:y+)41(5 3 2t?=t1(x)41(5 122tt?)? 在 x軸上的截距 b=)41(5 9 2tt?∈ [209,209]. [點評 ]:利用曲線系的合成與分解解決 圓錐曲線上的完全四邊形 問題的一個關鍵點是 構造“直線對” ,即圓錐曲線上的完全四邊形
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