55二次曲線系的合成與分解(專業(yè)版)
【正文】 同理可得43 432 xx xxk?=rbr222? ? 21 211 xx xxk?=43 432 xx xxk?。 (Ⅱ )當(dāng) a≠ 0 時(shí) ,由 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=ax2+(by+d)x+cy2+ey+f可分 解為 (a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)? Δ =(by+d)24a(cy2+ ey+f)=(b24ac)y2+2(bd2ae)y+(d24af)為 y 的完全平方式 ? b24ac0,且 [2(bd2ae)]24(b24ac)(d24af)=0? b24ac 0,且 (bd2ae)2(b24ac)(d24af)=0。 (Ⅱ )設(shè) x1=2,x2=31,求點(diǎn) T的坐標(biāo) 。 (Ⅱ )由 橢圓 C在點(diǎn) A處的切線 :x+2y4=0,設(shè)直線 EF:x+ty+m=0,則 過 A、 E、 F三點(diǎn)的曲線系 :3x2+4y212+λ (x+2y4)(x+ty+m) =0? (3+λ )x2+λ (2+t)xy+(4+2tλ )y2+λ (m4)x+λ (2m4t)y124λ m=0,該 曲線系為 Δ AEF 的外接 圓 ? λ (2+t)=0,且 3 +λ =4+2tλ ? t=2,λ =51 ?直線 EF:x2y+m=0? 直線 EF 的斜率 k=21為定值 . 。 (Ⅱ )設(shè)直線 y=k1x與橢圓交于 C(x1,y1),D(x2,y2)(y20),直線 y=k2x與橢 圓次于 G(x3,y3),H(x4,y4)(y40),求證 :21 211 xx xxk?=43 432 xx xxk?。 (Ⅱ )當(dāng)點(diǎn) P 異于 A、 B兩點(diǎn)時(shí) ,求證 : OQOP? 為定值 . [解析 ]:(Ⅰ )橢圓 x2+22y=1,設(shè) 直線 l:y=kx+1,由??? ??? ?? 022 122 yx kxy ?(2+k2)x2+2kx1=0? |CD|= 21 k? ?2 22 122 k k??= 23 2 ?k=? 3 ? 直線 l:y=? 3 x+1。(Ⅱ )T(7,310)。又在 x2+y2+dx+ey+f=0中 ,令 y=0得 :x2+dx+f=0? xA+xB=d,xAxB=f?||1OA||1OB =fd ? ||1OA||1OB=||1OI||1OJ. :(Ⅰ )橢圓方程 :22ax+2 2)( bry?=1,焦點(diǎn) F1( 22 ba ? ,r),F2( 22 ba ? ,r),離心率 e=221 ab?。圓錐曲線上的完全四邊形 問題是高考的熱點(diǎn)問題 ,且是高考?jí)狠S題的發(fā)源地 ,解決該類試題的絕妙方法是曲線系法 ,它將涉及到由 直 線 方程合成二次曲線系方程以及由二次曲線系方程 分解為 直 線 方程 兩個(gè)方面 . [母題結(jié)構(gòu) ]:(Ⅰ )設(shè) 直線 l1:m1x+n1y+p1=0,l2:m2x+n2y+p2=0分別 與 二次曲線 T:ax2+cy2+dx+ey+f=0交于 點(diǎn) A、 B、 C、 D,則過 點(diǎn)A、 B、 C、 D的二次曲線系 G:(ax2+cy2+dx+ey+f)+λ (m1x+n1y+p1)(m2x+n2y+p2)=0。 (Ⅱ )當(dāng)點(diǎn) P 異于點(diǎn) B 時(shí) ,求證 : OQOP? 為定值 . 6.(2020年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽初賽試題 )設(shè)點(diǎn) A(1,0),B(1,0),C(2,0),D在雙曲線 x2y2=1的左 支上 ,D≠ A,直線 CD交雙曲線 x2y2=1的右支于點(diǎn) E, 求證 :直線 AD與 BE的交
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