55二次曲線系的合成與分解-展示頁
2024-11-15 05:33本頁面
【正文】 的每組相對的邊構(gòu)成一對“直線對” ,兩條對角線構(gòu)成一對“直線對” 。 (Ⅱ )設(shè) Q(m,n),則直線 AC:nx(m+1)y+n=0,直線 BD:nx(m1)yn=0,因過直線 AC、 BD與 橢 圓的交點(diǎn)的曲線系為 :2x2+y22+ λ [nx(m+1)y+n][nx(m1)yn]=0? (2+λ n2)x22λ mnxy+[1+λ (m21)]y2+2λ nyλ n22=0,該曲線系退化為直線 AB:y=0與直線 CD的方 程 ? 2+λ n2=0? λ =22n? 曲線系 :y{ nm4 x+[122n(m21)]yn4}=0? 直線 CD:nm4x+[122n(m21)]yn4 =0? P(m1,0)? OQOP? =m1 ?m=1. [點(diǎn)評 ]:利用曲線系的合成與分解解決問題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是對曲線系 方程進(jìn)行分解 ,當(dāng)其中一條直線方程已知時(shí) ,可以x,y 中的其中一個(gè)為主元 ,把已知直線方程與 曲線系 方程分別整理成該主元的一次二項(xiàng)式和二次三項(xiàng)式 ,然后 ,利用多項(xiàng)式的綜合除法 ,并根據(jù)余式為 0,得到相關(guān)條件 ,并求 出另 一條直線方程 . 直線進(jìn)行合成與分解 子題類型 Ⅲ :(2020 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 四川 預(yù)賽試 題 )已知點(diǎn) B(0,1).P、 Q 為橢圓 42x+y2=1 上異于點(diǎn) B的任意兩點(diǎn) ,且 BP⊥ BQ. (Ⅰ )若點(diǎn) B 在線段 PQ上的射影為 M,求 M的軌跡方程 。當(dāng) b≠ 0 時(shí) ,同理可得 :b24ac0,且 (bd2ae)2(b24ac)(d24af)=0. 子題類型Ⅰ :(蝴蝶定理 )圓 O中的弦 AB 的中點(diǎn) M,過點(diǎn) M任作兩弦 CD,EF,弦 CF 與 DE分別 交 AB 于 P,Q,則 M為 PQ 的 中點(diǎn) . [解析 ]:如圖 ,以 點(diǎn) M為坐標(biāo)原點(diǎn) ,直線 AB為 x軸 ,建立直角坐標(biāo)系 ,設(shè) 圓 :x2+(ya)2=r2,直線 CD: y=bx,EG:y=cx? 由 圓和直線 CD、 EF 合 成 的 二次曲線系 G:x2+(ya)2r2+λ (bxy)(cxy)=0,當(dāng) 二 次曲線系 G分解為直線 CF與 DE的方程之積 時(shí) ,令 y=0得 :(1+λ bc)x2+a2r2=0,即 點(diǎn) P和點(diǎn) Q的橫坐標(biāo)滿足二次方程 (1+λ bc)x2+ a2r2=0? xP+xQ=0? xP=xQ? M為 PQ的中點(diǎn) . [點(diǎn)評 ]:證明 蝴蝶定理 的解析方法是曲線系應(yīng)用的典范 :首先由直線方程合成二次曲線系方程 ,進(jìn)而再由二次曲線系分解為直線方程 ,由此解決問題 . 子題 類型 Ⅱ :(2020 年四川 高考 理 科 試題 )橢圓有兩頂點(diǎn) A(1,0)、 B(1,0),過其焦點(diǎn) F(0,1) 的直線 l 與橢圓交與 C、 D 兩點(diǎn) ,并與 x軸交于點(diǎn) AC與直線 BD 交于點(diǎn) Q. (Ⅰ )當(dāng) |CD|=23 2時(shí) ,求直線 l的方程 。 (Ⅱ )關(guān)于 x,y 的二次式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f(a2+c2≠ 0)可分 解為 (a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)? b24ac0,且 (bd2ae)2(b2 4ac)(d24af)=0. [母題 解 析 ]:(Ⅰ )設(shè) A(x0,y0),則 :m1x0+n1y0+p1=0,ax02+cy02+dx0+ey0+f=0? (ax02+cy02+dx0+ey0+f)+λ (m1x0+n1y0+p1)(m2x0+n2y0 +p2)=0? 點(diǎn) A在 二次曲線系 G上 ,同理可得 :點(diǎn) B、 C、 D也 在 二次曲線系
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