55二次曲線系的合成與分解-在線瀏覽
2025-01-06 05:33本頁面
【正文】 G上 。[中國 高考數(shù)學母題一千題 ](第 0001號 ) 愿與您共建真實的中國高考數(shù)學母題 (楊培明 :13965261699) 二次曲線系的合成與分解 圓錐曲線上完全四邊形 問題 的 曲線系解 法 我們把由圓錐曲線上的四點中的任意兩點的連線共六 條直線及它們的 七 個交點所構成的圖形 ,叫做圓錐曲線上的完全四邊形 。圓錐曲線上的完全四邊形 問題是高考的熱點問題 ,且是高考壓軸題的發(fā)源地 ,解決該類試題的絕妙方法是曲線系法 ,它將涉及到由 直 線 方程合成二次曲線系方程以及由二次曲線系方程 分解為 直 線 方程 兩個方面 . [母題結構 ]:(Ⅰ )設 直線 l1:m1x+n1y+p1=0,l2:m2x+n2y+p2=0分別 與 二次曲線 T:ax2+cy2+dx+ey+f=0交于 點 A、 B、 C、 D,則過 點A、 B、 C、 D的二次曲線系 G:(ax2+cy2+dx+ey+f)+λ (m1x+n1y+p1)(m2x+n2y+p2)=0。 (Ⅱ )當 a≠ 0 時 ,由 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=ax2+(by+d)x+cy2+ey+f可分 解為 (a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)? Δ =(by+d)24a(cy2+ ey+f)=(b24ac)y2+2(bd2ae)y+(d24af)為 y 的完全平方式 ? b24ac0,且 [2(bd2ae)]24(b24ac)(d24af)=0? b24ac 0,且 (bd2ae)2(b24ac)(d24af)=0。 (Ⅱ )當點 P 異于 A、 B兩點時 ,求證 : OQOP? 為定值 . [解析 ]:(Ⅰ )橢圓 x2+22y=1,設 直線 l:y=kx+1,由??? ??? ?? 022 122 yx kxy ?(2+k2)x2+2kx1=0? |CD|= 21 k? ?2 22 122 k k??= 23 2 ?k=? 3 ? 直線 l:y=? 3 x+1。 (Ⅱ )求線段 PQ 的中垂線 l在 x軸上的截距的取值范圍 . [解析 ]:(Ⅰ )設直線 BP:kxy+1=0,BQ:x+kyk=0,則由橢圓和直線 CD、 EF合成的二次曲線系 G:x2+4y24+λ (kxy+1)(x+ky k)=0? (1+λ k)x2+λ (k21)xy+(4λ k)y2+λ (1k2)x+2λ ky4λ k=0,當二次曲線系 G分解為直線 PQ 與橢圓在點 B處 的切線 (y=1)的方程之積時 (由 (y1)(ax+by+c)=0中不含 x2項 )? 1+λ k=0? 曲線系 G:(k+1)xy+5y2+(1+k)x2y3=0? (k+1) ? x(y1)+(y1)(5y+3)=0? (y1)[(k+1)x+5y+3]=0? 直線 PQ:(k+1)x+5y+3=0 恒過定 點 N(0,53 )? M 的軌跡 是以 BN為直徑的圓 (除去點 B),其方程為 x2+(y1)(y+53)=0。特別的 ,圓錐曲線上三點 A,B,C 中 .圓錐曲線在點 A 處的切線與直線 BC 構成一對“直線對” . : 1.(2020年全國高中數(shù)學聯(lián)賽 新 疆 預賽試 題 )AB 是圓 Γ 的一條定弦 ,O 為 AB上的定點 ,過 O 任作 圓 Γ 的兩條弦 CD 和 EF,弦 CF 交 OA于 I,弦 DE 交 OB于 :||1OA||1OB=||1OI||1OJ. 2.(2020年 北京 高考試題 )如圖 ,已知橢圓的長軸 A1A2與 x軸平行 ,短軸 B1B2在 y軸上 ,中心 M(0,r)(br0). (Ⅰ )寫出橢圓方程 ,
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