55二次曲線系的合成與分解(參考版)
2024-11-07 05:33本頁(yè)面
【正文】 (Ⅱ )由 橢圓 C在點(diǎn) A處的切線 :x+2y4=0,設(shè)直線 EF:x+ty+m=0,則 過 A、 E、 F三點(diǎn)的曲線系 :3x2+4y212+λ (x+2y4)(x+ty+m) =0? (3+λ )x2+λ (2+t)xy+(4+2tλ )y2+λ (m4)x+λ (2m4t)y124λ m=0,該 曲線系為 Δ AEF 的外接 圓 ? λ (2+t)=0,且 3 +λ =4+2tλ ? t=2,λ =51 ?直線 EF:x2y+m=0? 直線 EF 的斜率 k=21為定值 . 。因過直線 QA、 QB 與 橢 圓的交點(diǎn)的曲線系為 :x2+4y24+λ (x+2y2)[nx2(2n)y+2n]=0? (1+λ n)x2+ 4λ (n1)xy+4[1λ (2n)]y2+8λ y4(1+λ n)=0,該曲線系退化為直線 AB:y=0與直線 CD的方程 ? 1+λ n=0? λ =n1 ?曲線系 :y[4nn1?x+n8yn8]=0? 直線 CD:4nn1?x+n8yn8=0,令 y=0? x=12?n ?P(12?n,0)? OQOP? =12?nm=4. :設(shè) P(x0,y0),直線 AD:yk1xk1=0,直線 BE:yk2x+k2=0,過 A,B,E,D四點(diǎn)的曲線系 :x2y21+λ(yk1xk1)(yk2x+k2)=0? (1+λ k1k2)x2+(λ 1)y2λ (k1+k2)xyλ (k1k2)yλ k1k21=0,該曲線變?yōu)橹本€ AB與 CD? 1+λk1k2=0? 直線 CD:(λ 1)yλ (k1+ k2)xλ (k1k2)=0,由直線 CD過點(diǎn) C(2,0)? 3k1+k2=0,??? ?? ?? )1( )1(21 xky xky? x=21 . :(Ⅰ )設(shè)動(dòng)圓圓心 O1(x,y),則 |O1A|=|O1M|? |O1A|2=|O1M|2? (x4)2+y2=x2+16? y2=8x? 軌跡 C:y2=8x。 (Ⅲ )直線 AT:mx12y+3m=0,直線 BT:mx6y3m=0,因過直線 TA、 TB 與 橢 圓的交點(diǎn)的曲線系為 :5x2+9y245+λ (mx12y+3m) (mx6y3m)=0? (5+λ m2)x218λ mxy+(9+72λ )y2+18λ my9λ m245=0,該曲線系退化為直線 AB:y=0與直線 MN 的方程 ? 5+λ m2=0? λ =25m? 曲線系 :y[m90 x+9(1240m)ym90]=0? 直線 MN:m90x+9(1240m)ym90=0過定點(diǎn) (1,0). 5 解 :(Ⅰ )b=1,由221 ab?=23 ?a=2? 橢圓42x+y2=1? 右焦點(diǎn) F(3 ,0)? 直線 CF:y=33x+1,與 橢圓 的 方程聯(lián)立 ,并消去 y 得 :7x28 3 x=0? xD=738 ?|CD|=716。 (Ⅲ )由橢 圓和直線 CD、 GH 合 成 的 二次曲線系 G:b2x2+a2(yr)2a2b2+λ (k1xy)(k2xy)=0,當(dāng) 二次曲線系 G 分解為直線 CH 與DG的方程之積 時(shí) ,令 y=0得 :(b2+λ k1k2)x2+a2r2a2b2=0,即 點(diǎn) P和點(diǎn) Q的橫坐標(biāo)滿足二次方程 (b2+λ k1k2)x2+a2r2a2b2=0? xP+ xQ=0? xP=xQ? |OP|=|OQ|.
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