【正文】 稱為交貨期或到期日 )是在簽訂合同時(shí)確定的，執(zhí)行價(jià)格 X（也稱為遠(yuǎn)期價(jià)格或者期貨價(jià)格）也是在簽訂合同時(shí)確定的。令 表示合同滿期時(shí)資產(chǎn)市場價(jià)格為 的合同收益。 T? ?,TV x X Tx37 167。 期權(quán)就像汽車保險(xiǎn)，它是由你與保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)或銀行等另一方簽署的一份合同。在汽車保險(xiǎn)的情況下，簽署合同的另一方是保險(xiǎn)公司。你支付少量的錢購買這份合同，支付的錢數(shù)只是資產(chǎn)潛在價(jià)值的很小一部分。在汽車保險(xiǎn)的情況下，這是汽車價(jià)值的很小一部分，合同具有固定期限（如，幾個(gè)月）。保險(xiǎn)可以依據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)的各種各樣狀況進(jìn)行設(shè)定。如果標(biāo)的資產(chǎn)（在歐式期權(quán)的合同到期日或美式期權(quán)的任意時(shí)間）的狀況對(duì)你不利（例如，汽車受損，持有的股票貶值），你就行使這個(gè)權(quán)利。即，要求期權(quán)的對(duì)方履行合同，賠付損失。你所得到的收益會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過期權(quán)費(fèi)用 —— 保險(xiǎn)費(fèi)。如果標(biāo)的物的狀況對(duì)你有利（比如，車輛完好；你持有的股票增值），你可不行使這個(gè)權(quán)利?？紤]到期權(quán)合同存在期間的利息損失，你的損失就是開始時(shí)的期權(quán)費(fèi)用加上標(biāo)的物的利息，而保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)就把你的損失收入囊中。當(dāng)然，他們可以締結(jié)很多這類的合同，并期望從大量費(fèi)用相對(duì)低廉的合同中，賺取利潤來補(bǔ)償履行合同時(shí)的支出（有時(shí)利潤會(huì)超過支出）。期權(quán)定價(jià)的核心就是評(píng)估所簽合同履行的風(fēng)險(xiǎn)。因此，任何期權(quán)定價(jià)模型，必定需要一個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格行為在合同有效期間的隨機(jī) /概率模型。 38 167。 期權(quán)類型 期權(quán)分“看漲期權(quán)”和“看跌期權(quán)”?？礉q期權(quán)是買方（擁有者）所主張的一種權(quán)利，即按標(biāo)的價(jià)格（即執(zhí)行價(jià)格或敲定格， ）從賣方手中買入標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。同樣，看跌期權(quán)是買方按預(yù)先定價(jià)賣出資產(chǎn)的權(quán)利。因期權(quán)提供給擁有者一種權(quán)利，而非義務(wù)，所以很顯然購買期權(quán)需要一些費(fèi)用。 X 歐式期權(quán)是只能在到期日行使權(quán)利的期權(quán)，到期日是在簽訂合同時(shí)確定的，敲定價(jià)格也是在簽訂合同時(shí)確定的。歐式期權(quán)的最簡單類型稱為“香草”期權(quán)，其看漲期權(quán)收益由 給出，看跌期權(quán)收益由 給出。 ? ?m ax , 0TxX? ? ?m ax , 0TXx?39 現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)是一種“數(shù)字”期權(quán)或“二元”期權(quán)，其收益情況如圖（ a）所示，收益函數(shù)為， 其中 是 Heaviside函數(shù)。 可以把看漲期權(quán)、看跌期權(quán)及各種執(zhí)行價(jià)格結(jié)合起來，構(gòu)成各種投資組合。例如，“牛市垂直價(jià)差買賣”就是一種組合形式：“看漲”是因?yàn)橥顿Y者從上升的資產(chǎn)價(jià)格中獲利，“差價(jià)”是因?yàn)樯婕皟蓚€(gè)敲定價(jià)格，“垂直”因?yàn)檫@兩種敲定價(jià)格屬于同一種期權(quán)（即看漲期權(quán)）。其收益函數(shù)為： 。通過買進(jìn)一種看漲期權(quán)，同時(shí)又以較高的敲定價(jià)格賣出一種看漲期權(quán)，兩種期權(quán)具有相同的到期日，這樣就可以從中獲利。 ? ?TBH x X? ? ?...H? ? ? ?12m a x , 0 m a x , 0TTx X x X? ? ?圖 (a) 圖 (b) 40 167。 dx dX dtx ????? ? 2 221, . . .2V V Vd V x t d x d t d xx t x? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?2 221, 2V V Vd V x t x d X x d t d t x d X x d tx t x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?其中 是平均值等于零、方差等于 的高斯型隨機(jī)變量。假設(shè)在時(shí)間 ，期權(quán)現(xiàn)價(jià)為 , 資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)為 ，則期權(quán)價(jià)格的變化為： t? ?,V x txdX dt? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 22 2 2 2 22x d X x d t x d X x d X d t x d t? ? ? ? ? ?? ? ? ?第 一 項(xiàng) 第 二 項(xiàng) 第 三 項(xiàng)1 4 4 4 4 2 4 4 4 43 1 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 3 1 4 4 44 2 4 4 443按照標(biāo)準(zhǔn)金融理論的假定，隨機(jī)過程 是一種隨機(jī)游走過程，其概率分布函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于 ，因此 是 的同階項(xiàng)。第二項(xiàng)，正比于 ，第三項(xiàng)正比于 dX? ?12dt ? ?2dX dt ? ?3/2dt? ?2dt41 ? ? 222 21, 2V V V Vd V x t x d X x x d tx x x t? ? ???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??? ??? ? 2 22x dX x dt x dt? ? ???? ?,V xt tV 這仍然是關(guān)于期權(quán)價(jià)格 滿足的隨機(jī)微分方程。即，是給定時(shí)間 和資產(chǎn)現(xiàn)價(jià) ，仍然不能得到期權(quán)的唯一價(jià)格 。為此，需要考慮持有期權(quán)和資產(chǎn)的組合策略。 x 假設(shè)我們的資產(chǎn)組合由一份期權(quán)和數(shù)量為 的標(biāo)的資產(chǎn)（假設(shè)此時(shí)我們持有期權(quán)）組成。 時(shí)我們的組合資產(chǎn)價(jià)值為： ??t? ? ? ? ? ? ? ?, , ,x t V x t x t x t? ? ? ? 假在 時(shí)間內(nèi)，資產(chǎn)份額 保持示變，但資產(chǎn)價(jià)格和期權(quán)價(jià)格變化了 和 。因此，組合資產(chǎn)的價(jià)值 變化為： t t dt??dx dV42 Vx????d d V d x? ? ? ?222212V V V Vd x d X x x x d tx x x t? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ??? ??由此得到： d?控制組合資產(chǎn)價(jià)值變化 的隨機(jī)因素 ，也反映了資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)。如果 Vx??????????則 222212VVd x d txt?????? ? ??????? 在任意時(shí)刻組合資產(chǎn)的變化都是確定的。 既風(fēng)險(xiǎn)消除了，我們得到了零風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合。 43 假如將用于投資組合資產(chǎn)的資金存入固定利率為 的銀行，則在 時(shí)間內(nèi)，現(xiàn)金資產(chǎn)的變化為 。既然無法確定隨機(jī)游走市場中的系統(tǒng)利潤或系統(tǒng)損失，那么這兩種情況下的贏利就應(yīng)該相等 ： t t dt??d r dt? ? ?r222212VVr d t x d txt?????? ? ???????由此得到 222212V V Vr V x d t x d tx x t???? ? ???? ? ?????? ? ??? ??或 22221 02V V Vx r x r Vt x x?? ? ?? ? ? ?? ? ?BlackScholes 方程！ 44 對(duì)歐式看漲期權(quán)，邊界條件為： ? ? ? ?, m a x , 0V x t x X?? ? ?0,Vt? ? ?, xV x t x?????? 歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為： ? ? ? ? ? ? ? ?12, r T tV x t x e d X d??? ? ? ?其中 ? ? 21212 z yz e d y? ????? ?? ? ? ? ? ?2121ln x X r T tdTt??? ? ???? ? ? ? ? ?2121ln x X r T tdTt??? ? ???45 對(duì)歐式看跌期權(quán)期權(quán)，邊界條件為： ? ? ? ?, m a x , 0V x T X x?? ? ? ? ?0, r T tV t X e ??? ? ?,0xV x t ??????歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為： ? ? ? ? ? ? ? ?21, r T tV x t X e d x d??? ? ? ? ? ?46 對(duì)歐式看漲期權(quán)，對(duì)沖策略 有如下形式： ? ?1V dx??? ???對(duì)歐式看跌期權(quán)，相應(yīng)的對(duì)沖策略由 給出。 ? ?1 1V dx?? ? ? ? ?? BlackScholes理論是一個(gè)數(shù)學(xué)奇跡。然而，盡管得到了廣泛應(yīng)用，且確實(shí)改變了衍生產(chǎn)品交易的面貌，但我們不能保證它在實(shí)際中有效。為什么？因?yàn)槌藨?yīng)用了連續(xù)時(shí)間積分學(xué)外，它還建立在關(guān)于資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)游走模型的嚴(yán)格假設(shè)之上。由于這些假設(shè)，才從數(shù)學(xué)上得到這么整潔的結(jié)果。 如果真實(shí)市場的統(tǒng)計(jì)值與理想隨機(jī)游走市場的值不一致，標(biāo)準(zhǔn)金融理論就不可能應(yīng)用于市場中的問題。更糟糕的是，標(biāo)準(zhǔn)金融理論甚至給投資、套期保值、風(fēng)險(xiǎn)管理等重要問題帶來錯(cuò)誤的答案。