【正文】 更糟糕的是，標(biāo)準(zhǔn)金融理論甚至給投資、套期保值、風(fēng)險(xiǎn)管理等重要問題帶來錯(cuò)誤的答案。由于這些假設(shè)，才從數(shù)學(xué)上得到這么整潔的結(jié)果。然而，盡管得到了廣泛應(yīng)用，且確實(shí)改變了衍生產(chǎn)品交易的面貌，但我們不能保證它在實(shí)際中有效。既然無法確定隨機(jī)游走市場中的系統(tǒng)利潤或系統(tǒng)損失，那么這兩種情況下的贏利就應(yīng)該相等 ： t t dt??d r dt? ? ?r222212VVr d t x d txt?????? ? ???????由此得到 222212V V Vr V x d t x d tx x t???? ? ???? ? ?????? ? ??? ??或 22221 02V V Vx r x r Vt x x?? ? ?? ? ? ?? ? ?BlackScholes 方程！ 44 對歐式看漲期權(quán)，邊界條件為： ? ? ? ?, m a x , 0V x t x X?? ? ?0,Vt? ? ?, xV x t x?????? 歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為： ? ? ? ? ? ? ? ?12, r T tV x t x e d X d??? ? ? ?其中 ? ? 21212 z yz e d y? ????? ?? ? ? ? ? ?2121ln x X r T tdTt??? ? ???? ? ? ? ? ?2121ln x X r T tdTt??? ? ???45 對歐式看跌期權(quán)期權(quán)，邊界條件為： ? ? ? ?, m a x , 0V x T X x?? ? ? ? ?0, r T tV t X e ??? ? ?,0xV x t ??????歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為： ? ? ? ? ? ? ? ?21, r T tV x t X e d x d??? ? ? ? ? ?46 對歐式看漲期權(quán)，對沖策略 有如下形式： ? ?1V dx??? ???對歐式看跌期權(quán)，相應(yīng)的對沖策略由 給出。 既風(fēng)險(xiǎn)消除了，我們得到了零風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合。因此，組合資產(chǎn)的價(jià)值 變化為： t t dt??dx dV42 Vx????d d V d x? ? ? ?222212V V V Vd x d X x x x d tx x x t? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ??? ??由此得到： d?控制組合資產(chǎn)價(jià)值變化 的隨機(jī)因素 ，也反映了資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)。 x 假設(shè)我們的資產(chǎn)組合由一份期權(quán)和數(shù)量為 的標(biāo)的資產(chǎn)（假設(shè)此時(shí)我們持有期權(quán)）組成。即，是給定時(shí)間 和資產(chǎn)現(xiàn)價(jià) ，仍然不能得到期權(quán)的唯一價(jià)格 。假設(shè)在時(shí)間 ，期權(quán)現(xiàn)價(jià)為 , 資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)為 ，則期權(quán)價(jià)格的變化為： t? ?,V x txdX dt? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 22 2 2 2 22x d X x d t x d X x d X d t x d t? ? ? ? ? ?? ? ? ?第 一 項(xiàng) 第 二 項(xiàng) 第 三 項(xiàng)1 4 4 4 4 2 4 4 4 43 1 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 3 1 4 4 44 2 4 4 443按照標(biāo)準(zhǔn)金融理論的假定，隨機(jī)過程 是一種隨機(jī)游走過程，其概率分布函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于 ，因此 是 的同階項(xiàng)。 ? ?TBH x X? ? ?...H? ? ? ?12m a x , 0 m a x , 0TTx X x X? ? ?圖 (a) 圖 (b) 40 167。其收益函數(shù)為： 。 可以把看漲期權(quán)、看跌期權(quán)及各種執(zhí)行價(jià)格結(jié)合起來，構(gòu)成各種投資組合。歐式期權(quán)的最簡單類型稱為“香草”期權(quán)，其看漲期權(quán)收益由 給出，看跌期權(quán)收益由 給出。因期權(quán)提供給擁有者一種權(quán)利，而非義務(wù)，所以很顯然購買期權(quán)需要一些費(fèi)用。看漲期權(quán)是買方（擁有者）所主張的一種權(quán)利，即按標(biāo)的價(jià)格（即執(zhí)行價(jià)格或敲定格， ）從賣方手中買入標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。 38 167。期權(quán)定價(jià)的核心就是評估所簽合同履行的風(fēng)險(xiǎn)?？紤]到期權(quán)合同存在期間的利息損失，你的損失就是開始時(shí)的期權(quán)費(fèi)用加上標(biāo)的物的利息，而保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)就把你的損失收入囊中。你所得到的收益會遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過期權(quán)費(fèi)用 —— 保險(xiǎn)費(fèi)。如果標(biāo)的資產(chǎn)（在歐式期權(quán)的合同到期日或美式期權(quán)的任意時(shí)間）的狀況對你不利（例如，汽車受損，持有的股票貶值），你就行使這個(gè)權(quán)利。在汽車保險(xiǎn)的情況下，這是汽車價(jià)值的很小一部分，合同具有固定期限（如，幾個(gè)月）。在汽車保險(xiǎn)的情況下，簽署合同的另一方是保險(xiǎn)公司。 T? ?,TV x X Tx37 167。合同的滿期日 (也稱為交貨期或到期日 )是在簽訂合同時(shí)確定的，執(zhí)行價(jià)格 X（也稱為遠(yuǎn)期價(jià)格或者期貨價(jià)格）也是在簽訂合同時(shí)確定的。期貨合約與遠(yuǎn)期合約基本相同，只是交易方式有些細(xì)微的差別。 遠(yuǎn)期合約是合約雙方到期必須履行的一種合同，它通常指按預(yù)先定價(jià)交換資產(chǎn)，這在貨幣市場非常普遍。 BlackScholes期權(quán)定價(jià) 理論框架內(nèi)消除風(fēng)險(xiǎn) 167。對高斯概率分布 有： ?[ ] 222212 yp y e sps =? ? 12 2p e rfc ?? ???? ? ? ???? 其中 是余誤差函數(shù)。按風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值方法，風(fēng)險(xiǎn)由包含在 中的最小值所構(gòu)成，也就是由價(jià)格變化的最大負(fù)值所構(gòu)成 。 ? ⑤ 不管時(shí)間間隔 的值如何選擇，嚴(yán)格高斯函數(shù)形式并不適合于價(jià)格變化概率分布函數(shù)的尾部， tD35 金融工程中常用的度量風(fēng)險(xiǎn)的方法 ——— 風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值方法 ： 設(shè)想有 n個(gè)隨機(jī)變量，它們對應(yīng)于每天、或每周金融資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)變化。 ? tD ③ 參數(shù) 對價(jià)格上升和價(jià)格下降作了等價(jià)處理。因此，它只度量這個(gè)預(yù)先確定的時(shí)間間隔上的風(fēng)險(xiǎn)，但它忽視了相繼時(shí)間間隔上積聚起來的損失風(fēng)險(xiǎn)。如果這些經(jīng)驗(yàn)價(jià)格變化的概率分布函數(shù)確實(shí)是高斯函數(shù)，用來度量風(fēng)險(xiǎn)就有一定意義：在平均價(jià)格變化等于零的無偏市場上， 是確定高斯概率分布函數(shù)形狀的唯一參數(shù)。 ：意想不到的尾部 金融工程中，度量風(fēng)險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)量是波動(dòng)率 。 價(jià)格演變的隨機(jī)偏微分方程 dX ?? 高斯型隨機(jī)變量，其平均值等于 0、標(biāo)準(zhǔn)差等于 ( )12dt標(biāo)準(zhǔn)金融理論假定 dx dX dtx ????? ? ? ? 20 e xp 2x t x t t?? ? ?????? ? ?????????積分得： 其中 是代表確定性趨勢項(xiàng)，即確定的價(jià)格變化率。 30 167。每一時(shí)段上價(jià)格變化都是用高斯概率分布生成的。 1t?? 10? n??,0nx?,0npx?????,0nx?,0nx? ④ 假定每一時(shí)段上價(jià)格變化的概率分布函數(shù)都是等寬度的全同獨(dú)立高斯分布，則在任意時(shí)間間隔上價(jià)格變化的概率分布函數(shù)都是高斯分布。也就是說，對于較大偏差 ，我們不能保證具有高斯形式。實(shí)際中，隨著 n的增加，概率分布函數(shù)在圍繞 的中間部分，會逐漸形成高斯形式。實(shí)際中應(yīng)用的標(biāo)準(zhǔn)金融理論假定，每天內(nèi)價(jià)格變化的概率分布函數(shù)都是高斯函數(shù)。因此條件 b也不成立。因此，價(jià)格變化不是全同獨(dú)立分布的，故條件 a 不成立。 n n??t?t ?? ??說明： ① 有足夠的證據(jù)顯示，在幾分鐘、幾小時(shí)、幾天、甚至可能是幾周的時(shí)間間隔內(nèi)，價(jià)格變化不是全同獨(dú)立分布的。 ? 12, , ... nx x x? ? ? b. 每單一時(shí)段（或等價(jià)地，真實(shí)時(shí)間間隔 ）上價(jià)格變化的概率分布函數(shù) 都具有有限的方差 ?；? n??? ?px?? ? 2, 0 , 02,0122, 0 , 0 2,012nnnxxnnnp x x e ???? ? ??????? ? ? ? ??????其中 12,0n n??? 概率分布函數(shù)最終收斂于高斯函數(shù)，說明了為什么標(biāo)準(zhǔn)金融理論中全部用高斯分布作為價(jià)格變化的模型。 ： PDF 第 0到第 時(shí)間段之間價(jià)格變化 的概率分布函數(shù) n ,0 0nnx x x? ? ? ,0npx?????12 , 0 1 2 , 0 1,nnxp x p x x x???? ? ? ?? ? ?