【正文】 且 D(x1)=D(x2)=…=D(xn)=σ2 因此 x)](. ..)()([1)( 212 nxDxDxDnxD ????（ ） nnnxD222 )(1)( ?? ??第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 即 根據(jù)以上分析 ,可以得出兩點(diǎn)結(jié)論： 在 n次測(cè)量的等精度測(cè)量列中 ,算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差的 倍 。 測(cè)量次數(shù)越大 ,算術(shù)平均值越接近被測(cè)量的真值 ,測(cè)量精度也越高 。 n次重復(fù)測(cè)量的算術(shù)平均值 服從以真值為中心 , 以 σ2/n為方差的正態(tài)分布 ,因此算術(shù)平均值 的分布范圍是單次測(cè)量測(cè)得值 xi的分布范圍的 ,即其測(cè)量精度提高了 倍 （ 如圖 ） 。 ?????niix vnnn12)1(1?? （ ） n/1n/1xnx第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 計(jì)量平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 與計(jì)量次數(shù) n之間的關(guān)系曲線如圖 。 由圖可見 ,平均值標(biāo)準(zhǔn)差 。 隨計(jì)量次數(shù) n的增加而減小 ,并且開始較快 ,逐漸變慢 ,當(dāng) n等于 5時(shí) ,曲線變化已比較緩慢 ,當(dāng) n大于 10的時(shí)候 ,變化得更慢 。 所以一般計(jì)量中 ,計(jì)量次數(shù) n等于 10或 12就足夠了 。 同時(shí)也說明 , 要提高測(cè)量結(jié)果 的精密度 ,不能單靠無限地增加計(jì)量次數(shù) ,而應(yīng)在增加計(jì)量次數(shù)的同時(shí) ,減小標(biāo)準(zhǔn)偏差 σ,也就是說要改善計(jì)量方法 ,采用精度較高的儀器 。 x?x第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 圖 和 x的分布曲線 X第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 圖 與 n的關(guān)系曲線 x?第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 (2) 標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差 σσ。 當(dāng)測(cè)量次數(shù) n有限 ,并用貝賽爾公式對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差進(jìn)行估計(jì)時(shí) ,其估計(jì)量 本身也是一個(gè)隨機(jī)變量 。 因此 ,對(duì)于估計(jì)量 同樣也存在一個(gè)估計(jì)的精度 。 我們同樣可以用估計(jì)量 的標(biāo)準(zhǔn)偏差 σσ來表征估計(jì)量 的精密度 , 即 或者 ????????n2??? ?（ ） ? ?12 ?? n???（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 當(dāng) n=8時(shí) , 當(dāng) n=100時(shí) , ?????????1412412????n 由上述計(jì)算可以得出兩個(gè)結(jié)論： 當(dāng) n較大時(shí) ,所求出的標(biāo)準(zhǔn)差比 n較小時(shí)求出的更可靠 。這是因?yàn)?n大 ,σσ小 ,說明估計(jì)值 密集在標(biāo)準(zhǔn)偏差周圍的比較多 。 總的來說 ,估計(jì)值 并不精密 ,因此 ,用貝賽爾公式求出的標(biāo)準(zhǔn)偏差的有效數(shù)字最多取兩位 ,如果其首位為 8或 9,有效數(shù)字取 1位即可 。 ????第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 3． 超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差稱為粗大誤差 。 出現(xiàn)這類誤差的原因主要是工作人員的失誤 、 計(jì)量儀器設(shè)備的故障以及影響量超出規(guī)定的范圍等 。 對(duì)于粗大誤差必須隨時(shí)或在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)予以判別并將相應(yīng)的數(shù)據(jù)剔除 。 粗大誤差在 。 間接測(cè)量的誤差 在很多情況下 ,由于被測(cè)對(duì)象的特點(diǎn) ,進(jìn)行直接測(cè)量會(huì)有困難 ,或者難以保證被測(cè)量的精度 ,因此需要采用間接測(cè)量法 。例如在測(cè)量導(dǎo)線電阻率 ρ時(shí) ,通常是先測(cè)量導(dǎo)線的電阻 R、 導(dǎo)線的長度 l和導(dǎo)線的直徑 d,然后按電阻率的計(jì)算公式 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 將電阻率 ρ計(jì)算出來 。 其中電阻 R、 導(dǎo)線的長度 l和導(dǎo)線的直徑 d為直接測(cè)量量 ,電阻率 ρ為間接測(cè)量量 。 由此可見 ,間接測(cè)量就是根據(jù)一些直接測(cè)量的結(jié)果按一定的關(guān)系式去求得被測(cè)量的量 ,因此間接測(cè)量量是直接測(cè)量量的函數(shù) 。 通常用 來表示間接測(cè)量量 y與 n個(gè)直接測(cè)量量 x1， x2,… , xn 的關(guān)系 。 lRd 24 ???? （ ） )(), .. .,( 21 in xfxxxfy ??（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 1． 間接測(cè)量的絕對(duì)誤差 令 Δxi為 xi的誤差 ,Δy為 y的誤差 ,則 y+Δy=f(x1+Δx1, x2+Δx2, …, xn+Δxn) （ ） 將上式右側(cè)按泰勒 （ Taylor） 級(jí)數(shù)展開得 ), . . .,(. . .), . . .,(21221121nnnnxxxxxyxxyxxyxxxfyy????????????????????（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 略去高次項(xiàng) ,就能夠得到間接測(cè)量的絕對(duì)誤差 : 或者對(duì)式 （ ） 取全微分： ini innxxyxxyxxyxxyy???????????????????? 12211. . .（ . 90） nnxxyxxyxxydy ????????????? ...2211（ . 91） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 若已知各個(gè)直接測(cè)量值的誤差為 Δxi,由于這些誤差值都比較小 ,可以用各直接測(cè)量量 xi的誤差 Δxidxi,也可得到間接測(cè)量的絕對(duì)誤差 : ???????????????????? niiinnxxyxxyxxyxxyy12211. . .（ . 92） 上式也稱為函數(shù)系統(tǒng)誤差傳遞公式 ,式中 , (i=1, 2, …, n) ixy??第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 2． 間接測(cè)量的相對(duì)誤差 利用間接測(cè)量的絕對(duì)誤差的計(jì)算公式可得間接測(cè)量的相對(duì)誤差： 3． 間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差是隨機(jī)誤差常用的一種誤差表示方法 ,設(shè)y=f(xi)中的 xi只含有隨機(jī)誤差 ,并分別對(duì)各直接測(cè)量量 xi進(jìn)行 m次等精度測(cè)量 ,結(jié)果有 yxxyyy ini i?????? ?? 1（ . 93） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 ),...,(),...,(),...,(21222122121111nmmmmnnxxxfyxxxfyxxxfy????（ ） 令 Δxik為 xik的誤差 , Δyk為 yk的誤差 ,則對(duì)于第 k次測(cè) yk+Δyk =f(x1 k+Δx1 k, x2k+Δx2k, …, xnk+Δxnk) （ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 將上式的右側(cè)按泰勒級(jí)數(shù)展開并略去高次項(xiàng) ,可得 ????????????????????niikinknkkk xxyxxyxxyxxyy12211. . .（ ） 將式（ ）兩邊取平方 ,得 ? ?? ? ???????????????????????????????????????njijkikiiniikinknkkkxxxfxfxxyxxyxxyxxyy112222112)(2). . .(（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 然后將 m次測(cè)量結(jié)果相加 ,有 將上式各項(xiàng)除以 m,得 ? ? ? ?? ????? ??????????????????????????????? mkjkikinjijkikiimkniikinik xxxfxxxfxfxxfy1 1112212 ))(2（ ） ? ?????? ?? ???????????????????????????????????????????????????????????? ?? ????)(2)(1))(21)(1111 1221 1112212mxxxfxfxmxfxxxfxxxfxfmxxfmymjkikmkjinjinimkikimkjkikinjijkikiimkniikimkk（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的定義 ,有 ????????mkkixmkkyxmymi1212)(1)(1?? （ ） （ ） 代入式（ ） ,得 )(2 112122mxxxfxfxf jkikmkjinjixni iy i?????????????????????? ??????（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 當(dāng) n足夠大時(shí) , 就是隨機(jī)變量 xi和 xj的協(xié)方差 。寫成一般形式 ,即 mxxmkjkik /1????),c o v () ] }() ] [({[,1 jijjiimjikjkikxxxExxExEmxx?????????（ ） 定義誤差相關(guān)系數(shù)為 ji xxjijixx???),co v (, ?（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 代入式 （ ） ,有 若各測(cè)量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的 ,且當(dāng) m足夠大時(shí) ,相關(guān)系數(shù) ρij應(yīng)該為零 ,得到間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式 : jiii xijjnji ixni iy xfxfxf ????????????????????? ?????.(212212（ ） 2212ixni iy xf ?? ????????????? （ ） （ ） 221ixni iy xf ?? ?????????????即 上式也稱為函數(shù)隨機(jī)誤差傳遞公式。同樣 , f/xi也 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 【 例 】 測(cè)得兩孔中心距坐標(biāo)尺寸為 mmyymmxx yx 0 0 9 ,0 0 2 ???????? ?? 計(jì)算中心距 z )( 22 yxz ??解 中心距 z可以表示為 22 yxzzz x???? ?因?yàn)? 所以 mmyxz 2222 ?????第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 mmzmmzyzxyzxzyxyxyxx662222222222222222???????????????????????????????????????????????????????????