【正文】 寫成一般形式 ,即 mxxmkjkik /1????),c o v () ] }() ] [({[,1 jijjiimjikjkikxxxExxExEmxx?????????（ ） 定義誤差相關(guān)系數(shù)為 ji xxjijixx???),co v (, ?（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 代入式 （ ） ,有 若各測(cè)量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的 ,且當(dāng) m足夠大時(shí) ,相關(guān)系數(shù) ρij應(yīng)該為零 ,得到間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式 : jiii xijjnji ixni iy xfxfxf ????????????????????? ?????.(212212（ ） 2212ixni iy xf ?? ????????????? （ ） （ ） 221ixni iy xf ?? ?????????????即 上式也稱為函數(shù)隨機(jī)誤差傳遞公式。 其中電阻 R、 導(dǎo)線的長度 l和導(dǎo)線的直徑 d為直接測(cè)量量 ,電阻率 ρ為間接測(cè)量量 。 對(duì)于粗大誤差必須隨時(shí)或在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)予以判別并將相應(yīng)的數(shù)據(jù)剔除 。 因此 ,對(duì)于估計(jì)量 同樣也存在一個(gè)估計(jì)的精度 。 所以一般計(jì)量中 ,計(jì)量次數(shù) n等于 10或 12就足夠了 。n次重復(fù)測(cè)量的算術(shù)平均值 服從以真值為中心 , 以 σ2/n為方差的正態(tài)分布 ,因此算術(shù)平均值 的分布范圍是單次測(cè)量測(cè)得值 xi的分布范圍的 ,即其測(cè)量精度提高了 倍 （ 如圖 ） 。 對(duì)式 （ ） 取方差 ,有 且 D(x1)=D(x2)=…=D(xn)=σ2 因此 x)](. ..)()([1)( 212 nxDxDxDnxD ????（ ） nnnxD222 )(1)( ?? ??第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 即 根據(jù)以上分析 ,可以得出兩點(diǎn)結(jié)論： 由于隨機(jī)誤差的存在 ,各個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值也不相同 ,它們圍繞著被測(cè)量的真值有一定的分散性 。 7） 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 和標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差 σσ。 根據(jù)概率論 ,已知樣本方差為 若用樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差 Sσ作為標(biāo)準(zhǔn)偏差 σ的估計(jì) ,則有 ???? ?????niinii vnxxnS121211)(11?（ ） ???? ??????niinii vnxxnS121211)(11???（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 這就是著名的且非常具有實(shí)用價(jià)值的貝塞爾（ Bessel） 公式 ,計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差時(shí)常用的公式 。 將觀測(cè)數(shù)據(jù)分成幾個(gè)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)相等的組 （ 如將 n個(gè)數(shù)據(jù)分成 k組 ,每組有 m個(gè)數(shù)據(jù) (n=km)） ,求出各組極差 Ri,然后用平均極 來估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差 。 dxxdR m i nm a x? ????第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 (1) 計(jì)算 的極差法 : （ ） 其中 ,d為轉(zhuǎn)換因子 ,它隨測(cè)量次數(shù)不同而異 。 評(píng)價(jià)一個(gè)測(cè)量列的精度高低 ,可以用極限誤差 δlim、 標(biāo)準(zhǔn)偏差 σ、 算術(shù)平均誤差 θ和或然誤差 ρ等參數(shù)作為置信限 ,因此稱這些參數(shù)為測(cè)量列精度參數(shù) 。 ???326 7 4 ??（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 (6) 極限誤差 （ δlim） : 一般在精密測(cè)量中 ,對(duì)于服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差常用三倍標(biāo)準(zhǔn)誤差作為極限誤差 ,記為 δlim=3σ （ ） 從理論上講 ,當(dāng)測(cè)量次數(shù)無窮多時(shí) ,若測(cè)得值服從正態(tài)分布 ,則測(cè)得值的誤差小于極限誤差的概率為 ％ ,即測(cè)量誤差只有 3/1000能超過極限誤差 。 標(biāo)準(zhǔn)差與或然誤差的關(guān)系推導(dǎo)如下： 根據(jù)或然誤差的定義 ,有 21)( ?? ??????df（ 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 由于正態(tài)分布具有對(duì)稱性 ,因此 21)(2)(0?? ?? ??????? ???dfdf（ ） 則 41)(0?? ? ??? df（ ） 查正態(tài)分布積分表 ,可得 6 7 4 4 8 ???（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 根據(jù)或然誤差的定義 ,或然誤差的幾何意義是在 ρ～ +ρ范圍內(nèi) ,正態(tài)分布曲線與橫坐標(biāo)所組成的面積為總面積的一半 。 因?yàn)椴还茈x散大小 ,都可能有相同的平均誤差 。 對(duì)于連續(xù)的隨機(jī)變量 ,則有 因?yàn)檎龖B(tài)分布曲線是左右兩邊對(duì)稱的 ,而且對(duì)于右半部分 ,隨機(jī)誤差的絕對(duì)值與隨機(jī)誤差本身的數(shù)值相等 , |δ|=δ δ≥0 （ ） 01????ii????? df )(? ????? （ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 因此 ,上述積分只需對(duì)右半部分進(jìn)行計(jì)算 ,而將結(jié)果乘以 2,同時(shí)以 δ代替 |δ|,得 ?????????????????????547 9 7 22222)(2)(0)2/()2/(002222???????????????????????ededfdf（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 所以 θ=≈ （ ） 算術(shù)平均誤差的幾何意義是 : 正態(tài)分布曲線左半或右半面積重心的橫坐標(biāo) 。 在對(duì)一固定量進(jìn)行精密測(cè)量時(shí) ,需要經(jīng)過多次測(cè)量才能滿足要求 ,為了表示這種多次測(cè)量的測(cè)量誤差 ,可以用算術(shù)平均誤差 θ來表示 。 通過查正態(tài)積分表可知 ,測(cè)得值的誤差不超過 177。 根據(jù)其數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)系也稱均方根差 。 因?yàn)樵趯?shí)用中很少用絕對(duì)誤差 Δx,所以習(xí)慣上都把最大絕對(duì)誤差 U簡稱為最大誤差 。 （ ） 式中： νi為第 i個(gè)測(cè)得值的殘差； xi為第 i次測(cè)量得到的測(cè)得值 ,i=1， 2， …,n； 為 n次測(cè)得值的算術(shù)平均值 。 (2) 對(duì)稱性： 當(dāng)計(jì)量次數(shù)足夠多時(shí) ,絕對(duì)值相等的正 、 負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同 ,即 P(+Δ)=P(Δ) （ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 (3) 抵償性： 當(dāng)計(jì)量次數(shù)無限增加時(shí) ,誤差的算術(shù)平均值的極限為零 ,即 （ ） (4) 單峰性： 在一系列等精度計(jì)量中 ,絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大于絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率 ,也就是說 ,絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多 。 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 設(shè)對(duì)某量 X進(jìn)行 n次等精度獨(dú)立測(cè)量 ,觀測(cè)值為 xi,i=1， 2， …， n,當(dāng) n→∞ 時(shí) ,測(cè)得值將服從正態(tài)分布 ,其概率密度函數(shù)為 式中 ,μ為測(cè)量列的平均值 ,σ為標(biāo)準(zhǔn)差 。 正態(tài)分布也是研究其他非正態(tài)分布的基礎(chǔ) 。 2） 隨機(jī)誤差雖然不具有確定的規(guī)律性 ,但隨機(jī)誤差卻遵從統(tǒng)計(jì)規(guī)律 ,因此概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究隨機(jī)誤差的理論基礎(chǔ) 。 隨機(jī)誤差決定了計(jì)量結(jié)果的 “ 精密 ” 程度 。 2. 隨機(jī)誤差是在測(cè)量過程中 ,因存在許多隨機(jī)因素對(duì)測(cè)量結(jié)果造成干擾 ,而使測(cè)得值帶有大小和方向都難于預(yù)測(cè)的測(cè)量誤差 ,這種隨機(jī)誤差是誤差理論研究的主要對(duì)象 。 Nx , N0分別是用計(jì)數(shù)器在與被測(cè)信號(hào)同步的閘門時(shí)間內(nèi)測(cè)得的對(duì)被測(cè)信號(hào)和標(biāo)頻信號(hào)的計(jì)數(shù)值 。 由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展 ,這種方法獲得了廣泛的應(yīng)用 。 通過適當(dāng)?shù)挠?jì)算 ,根據(jù)事先針對(duì)系統(tǒng)誤差產(chǎn)生 根源的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) ,用計(jì)算或軟件的方法對(duì)計(jì)量結(jié)果引入可能的修正量 ,來改善測(cè)量精度 。a第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 為了創(chuàng)造誤差反號(hào)的條件 ,可把刻度值旋轉(zhuǎn) 180176。 若秒表指針轉(zhuǎn)動(dòng)中心與度盤刻度中心不重合 ,如圖 ,轉(zhuǎn)動(dòng)中心沿水平方向向右偏移的距離為 a,則系統(tǒng)誤差 Δt=asinυ （ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 圖 9 0 176。對(duì)比較規(guī)則的周期性變化的系統(tǒng)誤差 ,可以表示為 式中 : a為系統(tǒng)誤差的幅值 ,也是系統(tǒng)誤差的最大值； T為系統(tǒng)誤差的變化周期； t為決定周期性誤差的量 ,比如時(shí)間 、 儀表可動(dòng)部分的轉(zhuǎn)角等 。 由于兩次諧振都是與固定電感 Lb耦合產(chǎn)生的 ,所以回路中的電容量相等 ,即 Cb1+C0=Cb2+C0+Cx （ ） Cx =Cb1Cb2 （ ） 因此 ,待測(cè)電容 Cx在頻率為 ω0條件下的電容量 ,可由兩次諧振時(shí)標(biāo)準(zhǔn)可變電容 Cb的讀數(shù)之差來求得 。為了消除 C0對(duì)測(cè)量造成的影響 ,就可以采用抵消法 。 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 在具體實(shí)現(xiàn)這個(gè)測(cè)量回路時(shí) ,因標(biāo)準(zhǔn)可變電感難于制造 ,因此用標(biāo)準(zhǔn)線圈產(chǎn)生固定電感 Lb,用標(biāo)準(zhǔn)可變電容 Cb進(jìn)行調(diào)諧 。 用 C表示 Q′與 Q之差 ,即 Q′=Q+C （ ） xx ??（ ） 即 x ?? （ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 代入式（ ） ,得 根據(jù)近似公式 因 C值很小 ,高次項(xiàng)可忽略 ,將 C/Q看成是 a,則 QCQCx ?????? 1)(（ ） )(211)1( 2/1 aaa ?????（ ） 2)21()21( QCQx ????????? （ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 即待測(cè)值可近似地用兩次測(cè)量值的平均值來表示 。 交換法應(yīng)用最典型的例子是用于消除天平不等臂問題引起的恒定系統(tǒng)誤差 。 3425122????? ????（ ） 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 圖 對(duì)稱法 ?O?1?2?3?4?5t1t2t3t4t5t第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 圖 電位差計(jì) …ERnRRxGExSEn第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 首先在 Rn上平衡標(biāo)準(zhǔn)電壓 En。對(duì)稱法的應(yīng)用 ——用電位差計(jì)測(cè)電壓 。 在電學(xué)測(cè)量中 ,為了測(cè)量一未知電阻值 ,可將待測(cè)電阻 Rx與一已知阻值的標(biāo)準(zhǔn)電阻 R0串聯(lián) ,用電壓表測(cè)出兩電阻上通電后的電壓降 。反向補(bǔ)償法的應(yīng)用之一 ——消除恒溫箱熱慣性引入的系統(tǒng)誤差 。 這種方法要求對(duì)被測(cè)量要進(jìn)行兩次適當(dāng)?shù)臏y(cè)量 ,使兩次測(cè)量結(jié)果所產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差大小相等 ,方向相反 ,取兩次測(cè)量結(jié)果的平均值作為最終測(cè)量結(jié)果 ,從而達(dá)到消除系統(tǒng)誤差的目的 。 由 UB=UC,可得 第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 圖 直流電橋法 RsAB CDR3 R2R1RxEG第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 圖 等效電路 AR1DR2RxR3EBC第 3章 計(jì)量誤差與數(shù)據(jù)處理 R1(Rx+R3)=Rx (R1+R2) R1Rx+R1R3=RxR1+RxR2 R1 R3=RxR2 XXRRRERRRE3121 ???