【正文】 定度： mm = mm （按肖維涅準(zhǔn)則檢查無壞值） =游標(biāo)卡尺的示值極限誤差Δm= mm因此得 mm （中間運(yùn)算，多取一位） （2）直徑D的最佳值及不確定度： mm = mm （按肖維涅準(zhǔn)則檢查無壞值） = mm一級千分尺的示值極限誤差Δm= mm因此得 mm （3）密度的算術(shù)平均值： = g/cm3 （4）密度的不確定度： ==%因此得： % = g/cm3 （5）密度測量的最后結(jié)果為： = (+) g/cm3 (P=%) E()= % 當(dāng)合成不確定度來自多個(gè)分量的貢獻(xiàn)時(shí)，常常可能只有一、二項(xiàng)或少數(shù)幾項(xiàng)起主要作用。對不確定度貢獻(xiàn)小的不確定度項(xiàng)可以忽略不計(jì)，通常某一不確定度項(xiàng)小于最大不確定度項(xiàng)的1/3，最小平方項(xiàng)小于最大平方項(xiàng)的1/9，就可以略去不計(jì)。這就是微小誤差準(zhǔn)則。在進(jìn)行誤差分析或計(jì)算不確定度時(shí)，這樣處理可以使問題大大簡化。 思考題？；；；；：＝6 371 km = 6 371 000 m = 637 100 000 cm；L =( + )102 kmt =( + )s mm、 mm、 mm、 mm、 mm、 mm, mm，試求鋼球體積的測量結(jié)果。數(shù)據(jù)處理的基本方法測量獲得了大量的數(shù)據(jù)，只有采用了正確的數(shù)據(jù)處理方法，才能通過這些數(shù)據(jù)得到可靠的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。所謂數(shù)據(jù)處理就是對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄、整理、計(jì)算、作圖等處理，使之反映出事物的內(nèi)在規(guī)律或得到最佳結(jié)果。常用的數(shù)據(jù)處理方法有列表法、作圖法、逐差法和最小二乘法等。一、列表法在記錄和處理數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)常把數(shù)據(jù)列表成表格，這是最基本和最常用的方法。列表可以簡單而明確地表示出有關(guān)物理量之間的對應(yīng)關(guān)系，便于對照檢查和分析計(jì)算，同時(shí)也為作圖奠定了基礎(chǔ)。列表的基本要求：，寫明所列表格的名稱；，便于看出有關(guān)量之間的關(guān)系，便于進(jìn)行計(jì)算處理；，名稱應(yīng)盡量用符號(hào)表示，單位和數(shù)量級寫在該符號(hào)的標(biāo)題欄中；；，并作簡要的說明。具體的例子請參考第三章基本操作練習(xí)。二、作圖法作圖可把一系列數(shù)據(jù)之間的關(guān)系或其變化情況直觀地表示出來。作圖法是研究物理量之間的變化規(guī)律，找出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，求出經(jīng)驗(yàn)公式的最常用方法之一。作圖法有多次測量取平均的效果，并易于發(fā)現(xiàn)測量中的錯(cuò)誤，還可以把復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系簡化。（1）選用合適的坐標(biāo)紙作圖一定要用坐標(biāo)紙，可以根據(jù)需要選用直角坐標(biāo)紙、雙對數(shù)坐標(biāo)紙、單對數(shù)坐標(biāo)紙或極坐標(biāo)紙，其中直角坐標(biāo)紙使用最廣泛。坐標(biāo)紙的大小應(yīng)根據(jù)所測數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和對測量結(jié)果的要求來確定。原則上應(yīng)使坐標(biāo)紙的最小格對應(yīng)測量值中可靠數(shù)字的最后一位。(2)定坐標(biāo)軸與坐標(biāo)標(biāo)度通常以橫坐標(biāo)表示自變量（一般為誤差較小的物理量），縱坐標(biāo)表示因變量。應(yīng)標(biāo)出坐標(biāo)軸的方向，并在坐標(biāo)軸的末端標(biāo)明物理量的符號(hào)和單位。為了使圖線在坐標(biāo)紙上布局合理和充分利用坐標(biāo)紙，坐標(biāo)軸的起點(diǎn)不一定從變量的“0”開始。要盡量使圖線比較對稱地充滿整個(gè)圖紙，避免使圖偏于一角或一邊。在坐標(biāo)軸上，按選定的比例標(biāo)出若干等距離的整齊的數(shù)值標(biāo)度。標(biāo)度數(shù)值的位數(shù)應(yīng)盡可能與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)一致。為便于讀數(shù)和描點(diǎn)，選定比例時(shí)，應(yīng)使最小分格代表1”、2”、“5”、“10”等，而不要用“3”、“6”、“7”、“9”來劃分標(biāo)尺。(3)標(biāo)點(diǎn)與畫線A(x1,y1)B(x2,y1)y1x1x2y2Oxy圖一 電阻的伏安特性圖線根據(jù)測量數(shù)據(jù)，找到每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在坐標(biāo)紙上的位置，用削尖的鉛筆以“X”標(biāo)出各點(diǎn)的坐標(biāo)位置。力求與測量數(shù)據(jù)對應(yīng)的坐標(biāo)準(zhǔn)確地落在“”，每條曲線可用不同標(biāo)記，如“＋”、 “⊙”、“△”等符號(hào)，以示區(qū)別。畫線一定要用直尺或曲線板等作圖工具。根據(jù)不同情況，把數(shù)據(jù)點(diǎn)連成直線或光滑曲線。由于測量存在誤差，所以圖線不一定通過所有的點(diǎn)，而應(yīng)該使測點(diǎn)較均勻地分布在圖線的兩側(cè)。在畫圖線時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)個(gè)別偏離圖線過大的點(diǎn)，應(yīng)重新審核，進(jìn)行分析決定取舍。這樣描繪出來的圖線具有“取平均”的效果.(4)圖注在圖紙的明顯處寫出圖線的名稱、測試條件、作者姓名和日期。如果自變量 和因變量 之間有 的關(guān)系，則圖中的數(shù)據(jù)點(diǎn)將基本分布在一條直線附近；反之，如果圖中的數(shù)據(jù)點(diǎn)基本成一條直線，就能用（或近似用） 來描述自變量 和因變量 之間的函數(shù)關(guān)系。通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理可以確定參數(shù)a，b，即確定直線方程。（1）求斜率b在直線的兩端任取兩點(diǎn)A（x1,y1）,B (x2,y2),用不同于測量值坐標(biāo)點(diǎn)的符號(hào)標(biāo)出，并注明坐標(biāo)點(diǎn)讀數(shù)，如圖一，為了減少誤差，A、B兩點(diǎn)的距離應(yīng)盡量選得遠(yuǎn)一些。將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)值代入直線方程，得到斜率：（2）求截距a如果橫坐標(biāo)原點(diǎn)是零，則直線的截距a為= 0時(shí)的值，可以直接從圖上看出。如果橫坐標(biāo)原點(diǎn)不是零，則由下式求得：為了便于計(jì)算，和兩數(shù)值可取為整數(shù)。 3. 曲線的改直 多數(shù)物理量之間的關(guān)系不是線性的，但是在許多情況下，通過適當(dāng)?shù)淖兓梢允顾鼈兂蔀榫€性關(guān)系，即把曲線改為直線（或稱線性化）。這樣對于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理會(huì)很方便。常用的可以線性化的函數(shù)舉例如下： （1），a、b為常數(shù)則，圖是直線，斜率為b，截距為 lga； （2），a、b為常數(shù)則，圖是直線，斜率為 b，截距為 lna； （3），a、b為常數(shù)則，圖是直線，斜率為 lgb，截距為 lga； （4），c 為常數(shù)則， 圖是直線，斜率為C；（5），p為常數(shù)；則圖為直線，斜率為 2p； （6），a 為常數(shù)則，圖是直線，斜率為1，截距為 a2。三、逐差法逐差法也是一種常用的數(shù)據(jù)處理方法，特別是當(dāng)自變量與因變量成線性關(guān)系，而自變量為等間距變化時(shí)，用逐差法處理更具有獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)。逐差法處理數(shù)據(jù)的方法如下。設(shè)兩個(gè)變量之間滿足線性關(guān)系 ，且自變量 x 是等間隔變化。把因變量 y按測量順序分成兩組： y1 ，y2，...，yn 和 yn+1 ，yn+2，...，y2n求出對應(yīng)項(xiàng)的差值： ， ，…，再求上面差值的平均值，即為變化n個(gè)間隔對應(yīng)的y值平均變化量：（△y1＋△y2＋…＋△yn，） (3)逐差法處理數(shù)據(jù)的好處，可以用一個(gè)例子來加以說明：在用光杠桿法測量彈性模量時(shí)，每次增加一個(gè)相同質(zhì)量的祛碼，連續(xù)增加七次，可得到鋼絲伸長過程中8個(gè)標(biāo)尺的讀數(shù)yo，yI ，y2，…，y7。欲求每增加一個(gè)祛碼時(shí)標(biāo)尺讀數(shù)增大量的平均值，如果不采用逐差法，則 可見中間值全部消掉，只有始末兩個(gè)測值起作用，這與一次加7個(gè)祛碼的單次測量等價(jià)。相比之下，逐差法則利用了全部8個(gè)測量數(shù)據(jù)。逐差法具有充分利用數(shù)據(jù)、減小誤差的優(yōu)點(diǎn)。但是應(yīng)用該方法的前提是自變量等間距變化，且與因變量之間的函數(shù)關(guān)系為線性關(guān)系。自變量與因變量之間為多項(xiàng)式函數(shù)關(guān)系時(shí)，可采用多次逐差法，在這里不做介紹。四、最小二乘法用作圖法處理數(shù)據(jù)雖有許多優(yōu)點(diǎn)，但它是一種粗略的數(shù)據(jù)處理方法。不同的人，用同一組數(shù)據(jù)作圖，由于在擬合直線（或曲線）時(shí)，有一定的主觀隨意性，因而擬合出的直線（或曲線）往往是不一樣的。由一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)找出一條最佳的擬合直線（或曲線），更嚴(yán)格的方法是最小二乘法。由最小二乘法所得的變量之間的函數(shù)關(guān)系稱為回歸方程。最小二乘法擬合亦稱為最小二乘法回歸。限于本課程的教學(xué)要求，我們只討論用最小二乘法進(jìn)行一元線性擬合。有關(guān)多元線性擬合與非線性擬合，讀者可在需要時(shí)查閱其他專著。最小二乘法線性擬合的原理是：若能找到一條最佳的擬合直線，那么該擬合直線上各點(diǎn)的值與相應(yīng)的測量值之差的平方和，在所有的擬合直線中應(yīng)該最小。假設(shè)兩個(gè)物理量之間滿足線性關(guān)系，其函數(shù)形式可寫為y＝a＋bx。現(xiàn)由實(shí)驗(yàn)等精度地測得一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn ； yI ，y2，…，yn 。為了討論簡便起見，認(rèn)為xi值是準(zhǔn)確的，而所有的誤差都只與yi聯(lián)系著。那么每一次的測量值yi與按方程（y = a＋b xi）計(jì)算出的y值之間的偏差為 根據(jù)最小二乘法原理，a、b的取值應(yīng)該使所有y方向偏差平方之和即為最小值。根據(jù)求極值的條件，令s對a和對b的一階偏導(dǎo)數(shù)為零，整理以后得到： 或 聯(lián)立求解，可得 由a、b所確定的方一程y＝a＋bx是由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（xi ，yi）所擬合出的最佳直線方程，即回歸方程。2．yi、a、b的誤差估算一般地說，一列測量值yi的偏差vi大（即數(shù)據(jù)點(diǎn)對直線的偏離大），那么由這列數(shù)據(jù)求出的a、b值的誤差也大，由此確定的回歸方程的可靠性就差；如果一列測量值的偏差vi小，那。么由這列數(shù)據(jù)求出的a、b值的誤差也小，回歸方程的可靠性就好?？梢宰C明，在前述假定只有yi有明顯隨機(jī)誤差的條件下，a和b的標(biāo)準(zhǔn)偏差可以用下列兩式來估算。截距a的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差： 斜率b的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差： 式中s (y）為測量值yi的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差： 3. 對回歸方程y＝a＋bx的確定，在于預(yù)先假定了兩變量之間存在線性關(guān)系。如果實(shí)驗(yàn)是要通過x、y的測量數(shù)據(jù)來尋找經(jīng)驗(yàn)公式，那么還應(yīng)判斷由上述一元線性擬合所找出的線性回歸方程是否恰當(dāng)，這可以用相關(guān)系數(shù)γ來判別： 相關(guān)系數(shù)γ表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系與線性函數(shù)符合的程度。γ值總是在0與土1之間。若γ =士1，表示變量x 、y完全線性相關(guān)，擬合直線通過全部實(shí)驗(yàn)點(diǎn)；相反，如果遠(yuǎn)小于1，而接近于零，說明x與y不相關(guān)，不能用線性函數(shù)擬合。γ0時(shí)，擬合直線的斜率為正，稱為正相關(guān)；γ0時(shí)，擬合直線的斜率為負(fù)，稱為負(fù)相關(guān)。 21