【正文】 （ a＞ 0） 試用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 如果給該系統(tǒng)增加一個開環(huán)零點 ， 試分析附加開環(huán)零點對根軌跡的影響 。 r2KG(s)H(s) =s ( s + a )圖 419 原系統(tǒng)的根軌跡 ? j ? [s] 3 a a ? ) 0 ( 2 ? r K P ) 0 ( 1 ? r K P ) 0 ( 3 ? r K P 0 解 ⑴ 原系統(tǒng)的根軌跡如圖419所示 。 由于根軌跡的兩條分支全部位于 s平面的右半部 ， 故該系統(tǒng)無論 Kr 為何值都是不穩(wěn)定的 。 ⑵ 若給原系統(tǒng)增加一個負(fù)開環(huán)實零點 Z1=b（ b＞ 0） ，則開環(huán)傳遞函數(shù)為 r2K ( s + b )G(s)H(s) =s ( s + a )a b 02圖 420(a) 附加開環(huán)零點對根軌跡的影響 b ＜ a （ a ） ? ? j [s] 1 P 2 P 3 P 1 Z ) 0 ( ? r K ) 0 ( ? r K ) 0 ( ? r K ) ( ? r K 2 b a ? ? b ? a ? 0 ? 當(dāng) b＜ a時 ， 根軌跡漸近線與實軸的交點為 ， 它們與實軸正方向的夾角分別為90176。 和 90176。 ， 三條根軌跡均在 s平面左半部 （ 如圖 420（ a）所示 ） 。 這時 ， 無論根軌跡增益 Kr 為何值 ， 系統(tǒng)都是穩(wěn)定的 。 圖 420(b) 附加開環(huán)零點對根軌跡的影響 ? ? j [s] 1 P 2 P 3 P 1 Z ) 0 ( ? r K 2 a ? b ? a ? b ＞ a 0 )( ??rK)( ??rK)( ??rK? 當(dāng) b＞ a時 ， 根軌跡的漸近線與實軸的交點為 ， 根軌跡如圖420（ b） 所示 ， 與原系統(tǒng)比較 ， 雖然根軌跡的形狀發(fā)生了變化 ， 但仍有兩條根軌跡全部位于 s平面右半部 ，系統(tǒng)仍然是不穩(wěn)定的 。 a b 02 由上面的分析可以看出 ， 附加開環(huán)零點可使原來不穩(wěn)定的系統(tǒng)變成穩(wěn)定系統(tǒng) ， 但附加零點的取值要適當(dāng) ， 否則便達(dá)不到預(yù)期的目的 。 例 415 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試分析附加開環(huán)零點對系統(tǒng)性能的影響 。 r23KG(s)H(s) =s ( s p ) ( s p )32p p 0圖 421 例 415原系統(tǒng)根軌跡 ? j ? 1 P 2 P 3 P 0 rc K rc K [s] 解 ⑴ 原系統(tǒng)的根軌跡如圖 421所示 ， 由圖 421可看出 ， 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益 KrKrc 時 ，該系統(tǒng)有兩條根軌跡進(jìn)入 S平面右半部成為不穩(wěn)定系統(tǒng) 。 ⑵ 給原系統(tǒng)增加一附加負(fù)實零點 Z1（ Z1 0 ） ， 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 此時 ， 開環(huán)傳遞函數(shù)分子與分母的最高階次分別為 n=3， m=1； nm=2。 因此根軌跡漸近線與實軸正方向的夾角分別為 90176。 和 90176。 ， 兩條漸近線垂直于實軸 ， 它們與實軸的交點坐標(biāo)位置視附加零點的取值而改變 ， 分別討論如下 。 r123K ( s z )G(s)H(s) =s ( s p ) ( s p ) （ ⅰ ）當(dāng) 時 ，漸近線與實軸的交點 漸近線位于 S平面右半部 ， 根軌跡如圖 422（ a） 所示 。 比較原系統(tǒng)的根軌跡 （ 圖 421） ， 雖然右邊兩條根軌跡形狀發(fā)生了變化 ， 但它們?nèi)赃M(jìn) 入 了 平 面 右 半 部 ， 當(dāng) 時 ( 為增加了開環(huán)零點后的開環(huán)根軌跡與虛軸交點對應(yīng)的臨界值 )， 系統(tǒng)仍是不穩(wěn)定的系統(tǒng) 。 1 2 3z p + p 0? ?1p =0??ijaP Zσ = 0n m?r rcK K rcK39。1 z 1 p 2 p 3 p rc K rc K 0 ? j ? [s] 圖 422(a) 例 415中不同附加開環(huán)零點對根軌跡的影響 （ ⅱ ） 當(dāng) P3 Z1 P2 0 時 ， 漸近線與實軸的交點 漸近線位于 S平面左半部 ，根軌跡如圖 422（ b） 所示 。 此時系統(tǒng)的三條根軌跡全部位于 S平面左半部 ， 無論 Kr 為何值 ， 系統(tǒng)都是穩(wěn)定的系統(tǒng) 。 ??ijaP Zσ = 0n m1 z 1 p 2 p 3 p 1 r K 0 ? j ? [s] 1 r K 1 s 2 s n ?? n ? 圖 422(b) 例 415中不同附加開環(huán)零點對根軌跡的影響 1 z 1 p 2 p 3 p r K’ r K’ 0 ? j ? [s] r K’ 1 s 2 s 3 s （ ⅲ ）當(dāng) P3 P2 Z1 0 時，漸近線與實軸的交點也小于零，根軌跡如圖 422（ c）所示。 圖 422(c) 例 415中不同附加開環(huán)零點對根軌跡的影響 比較圖 422（ b） 和 422（ c） 會發(fā)現(xiàn) ， 前者的漸近線離虛軸的距離較后者近 。 因此 ， 雖然從系統(tǒng)的穩(wěn)定性角度看 ， 二者是一樣的 ， 即無論 Kr 為何值系統(tǒng)都是穩(wěn)定的 。 但從簡化系統(tǒng)以便于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能的角度看 ， 條件（ ⅱ ） 所對應(yīng)的圖 422（ b） 則優(yōu)于條件 （ ⅲ ） 所對應(yīng)的圖 422（ c） 。 這是因為圖 422（ b） 右邊兩條進(jìn)入復(fù)平面的根軌跡離虛軸較近 ， 容易在其上面找到一對滿足主導(dǎo)極點條件的共軛復(fù)數(shù)極點 S1,2 （ 對應(yīng) K’r ） ， 這時便可將系統(tǒng)簡化成閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ?1212ssφ ( s ) =( s s ) ( s s )的二階系統(tǒng) ， 而圖 422（ c） 所示系統(tǒng)不能滿足這樣的簡化條件 。 1 z 1 p 2 p 3 p r K’ r K’ 0 ? j ? [s] r K’ 1 s 2 s 3 s 1 z 1 p 2 p 3 p 1 r K 0 ? j ? [s] 1 r K 1 s 2 s n ?? n ? 1 z 1 p 2 p 3 p rc K rc K 0 ? j ? [s] 如圖 422（ c） 所示 ， 如果 S1 、 S2 、 S3 分別為對應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù) K’r 的三個閉環(huán)極點 ， 由于 Re[S1,2 ]＞ Re[S3] ， 共軛復(fù)數(shù)極點 S1 、 S2不滿足主導(dǎo)極點條件 ， 系統(tǒng)不能簡化成二階系統(tǒng) 。但如果在圖 422（ c） 中 ， 閉環(huán)實極點 S3到虛軸的距離比閉環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點 S1 、 S2 到虛軸的距離小五倍以上 ， 也可將系統(tǒng)簡化為由閉環(huán)實極點 S3 決定的一階系統(tǒng) 。 綜上分析 ， 我們可以得到如下兩點結(jié)論： 1 z 1 p 2 p 3 p r K’ r K’ 0 ? j ? [s] r K’ 1 s 2 s 3 s ⑴ 附加負(fù)實零點具有將 S平面上的根軌跡向左 “ 拉 ”的作用 ， 且附加零點愈靠近虛軸 ， 這種 “ 拉力 ” 愈強(qiáng) ， 反之亦然 。 因此選擇合適的附加零點有可能將系統(tǒng)的根軌跡從平面的右半部全部 “ 拉 ” 到 S平面左半部 ， 有利于改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 ⑵ 適當(dāng)選擇附加零點的大小 ， 不僅可改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ， 還可改善系統(tǒng)的動態(tài)性能和簡化系統(tǒng)分析 。 如上例中滿足條件 （ ⅱ ） 的附加零點可使三階系統(tǒng)簡化成由主導(dǎo)極點 S1 、 S2所確定的二階系統(tǒng) ， 適當(dāng)選擇附加零點的大小 ，就可以使由 S1 、 S2所確定的二階系統(tǒng)滿足響應(yīng)速度和阻尼比的要求 ， 這在工程實踐上是很有用的 。 例 416 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 （ a＞ 0） 其中 P4=a 為附加開環(huán)極點，試分別繪制原系統(tǒng)（無附加開環(huán)極點）和 a=、 a=2和 a=6時系統(tǒng)的根軌跡圖。 2 附加開環(huán)極點對根軌跡的影響 增加開環(huán)極點會使系統(tǒng)的階次升高 ， 一般來說這是不希望的 。 但有時為了改善系統(tǒng)的某項性能指標(biāo) （ 如限制頻帶寬度或減小穩(wěn)態(tài)誤差 ） ， 附加開環(huán)極點也不失為一種有效途徑 。 下面通過一個示例分析附加開環(huán)極點對根軌跡的影響 。 r2KG(s)H(s) =s ( s + 2 s + 2 ) ( s + a ) 解 根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和繪制根軌跡的基本規(guī)則 ，將無附加開環(huán)極點的原系統(tǒng)和不同附加開環(huán)極點 （ 不同 a值 ） 所對應(yīng)的根軌跡的有關(guān)數(shù)據(jù)的計算結(jié)果列入 表 41中其對應(yīng)的根軌跡圖分別如 圖 42（ a） 、 （ b） 、 （ c） 、（ d） 所示 。 表 41 例 416計算結(jié)果 a 項目 無附加開環(huán)極點 a= a=2 a=6 起 點 (Kr =0) (n=3或 4） 終 點 (Kr ??) m=0 P1=0 P2=1+j P3=1j ?? P1=0 P2=1+j P3=1j P4= ?? P1=0 P2=1+j P3=1j P4=2 ?? P1=0 P2=1+j P3=1j P4=6 ?? 漸近線 交點： 交角： 、 交點： 交角： 、 交點： 交角： 、 交點： 交角： 、 根軌跡與實軸的交點 無 d= 實軸上的根軌跡 0→ ∞ 0→ 0→ 2 0→ 6 出射角 根軌跡與虛軸的交點 ( )nm??34或.d ??4 62pp??? ? ?? ? ?234545..pp??? ? ?? ? ?231 6 1 61 6 1 6 pp??? ? ?? ? ?239090..pp??? ? ?? ? ?235 6 35 6 3..crcjK? ??? 1 2 21 8 7 5crcjK? ??? 15..crc jK? ??? 0 6 3 226crcK? ??? 24??60.a? ??07 d=1 .a? ?? 0 6 2 5 a? ??1a? ??2?180 ??45 ??45 ??45??135 ??135 ??135 由四個根軌跡圖可以看出，附加開環(huán)極點的大小不同（即不同的 a值）對根軌跡的形狀會產(chǎn)生很大的影響，即開環(huán)極點（同樣也包括開環(huán)零點）在 S平面上位置的微小變化，有可能引起根軌跡形狀的重大變化，這一點務(wù)必給予足夠的重視。正是這種根軌跡形狀的變化為系統(tǒng)的分析和設(shè)計提供了多種選擇的可能。 無開環(huán)附加極點 a=－ a=2 a=6 1. 反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖所示，試畫出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡在 和 兩種情況下的大致根軌跡，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 0?a 0?a課堂練習(xí) R(s) C(s) _ ?)1(1Tsss???Ka