【正文】 第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法 回顧與展望 線性系統(tǒng)分析的三種方法： 時間域法 根軌跡法 頻域法 時間域法： 特點：直觀、準(zhǔn)確，能提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息。 內(nèi)容：穩(wěn)定性分析－充要條件（閉環(huán)系統(tǒng)特征根均具有負(fù) 實部） 勞斯穩(wěn)定判據(jù)（勞斯表首列各值為正）－用閉環(huán)特 征方程構(gòu)造勞斯表 赫爾維茨判據(jù)（行列式法）－用閉環(huán)特征方程構(gòu)造 行列式 準(zhǔn)確性分析－穩(wěn)態(tài)誤差的計算 ? ?? ?l iml imss?????00s s ee = s φ ( s ) R s1 = s R s1 + G ( s ) H ( s )動態(tài)性能分析－系統(tǒng)動態(tài)性能隨系統(tǒng)閉環(huán)極點位置 變化的規(guī)律；附加開環(huán)零極點對系統(tǒng)性能的影響； 附加閉環(huán)零極點對系統(tǒng)性能的影響。 根軌跡法－分析和設(shè)計 LTI系統(tǒng)的圖解方法，使用十分簡便， 特別在進(jìn)行多回路系統(tǒng)分析時，應(yīng)用根軌跡法比用 其它方法更為方便，因此在工程實踐中獲得了廣泛 應(yīng)用。 學(xué)習(xí)目的及要求： ? 掌握根軌跡的基本概念 ? 掌握控制系統(tǒng)根軌跡的繪制方法 ? 能夠運用根軌跡法對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析 ? 明確等效開環(huán) 傳遞函數(shù)的概念，能正確繪制出不同參量變化對系統(tǒng)根軌跡圖 重點難點 ? 重點：根軌跡的繪制 利用根軌跡分析控制系統(tǒng) ? 關(guān)鍵點：特征方程 幅值條件，相角條件 學(xué)習(xí)方法 通過具體習(xí)題練習(xí) 掌握根軌跡繪制方法，不要死記硬背各種繪制法則，要多總結(jié)歸納典型極、零點分布對根軌跡的大致圖形。 學(xué)會利用 MATLAB軟件繪制系統(tǒng)根軌跡的方法。 用 學(xué) 習(xí) 一、 根軌跡的概念 根軌跡： 開環(huán)系統(tǒng) 某一參數(shù)從零變到無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根（ 閉環(huán)系統(tǒng)的極點 ）在 S平面上變化的軌跡。 k s(+1) 例 試分析右圖所示系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式的根隨系統(tǒng)開環(huán)增益 K的變化在 S平面的分布情況。 167。 4－ 1 根軌跡法的基本概念 K=0時， s1=0,s2=－ 2 0＜ k＜ 時，兩個負(fù)實根 ；若 s1=－ , s2=? K=， s1=s2=－ 1 ＜ k＜ ∞時， s1,， 2=－ 1177。 j√2k－ 1 特征根： s1,2= － 1177。 √1－ 2k 特征方程： S2+2s+2k=0 2 1 0 j 1 2 2 1 K=0 K=0 K= K=1 K=1 K= K= K?? K?? 注意 ： K一變，一組根變 ； K一停，一組根停 ； 一組根對應(yīng)同一個 K； 根軌跡與系統(tǒng)的性能 穩(wěn)定性 穩(wěn)態(tài)性 動態(tài)性能 二、 閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點之間的關(guān)系 通常系統(tǒng)的開環(huán)零、極點是已知的，因此建立開環(huán)零、極點與閉環(huán)零、極點之間的關(guān)系，有助于閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的繪制。 G(s)φ ( s ) =1 + G ( s ) H ( s )R(s) C(s) G(s) H(s) ????lljj*j = 1 j = 1HHhhiii = 1 i = 1(τ s + 1 ) ( s z )H ( s ) = K = K( T s + 1 ) ( s p )????ffii*i = 1 i = 1GGqqiii = 1 i = 1(τ s + 1 ) ( s z )G ( s ) = K = K( T s + 1 ) ( s p )————G*GH*HKKKK前 向 通 路 增 益前 向 通 路 根 軌 跡 增 益反 饋 通 路 增 益反 饋 通 路 根 軌 跡 增 益系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ? ? ?? ??m f lj i j*j = 1 i = 1 j = 1nq hi iji = 1 i = 1 j = 1(τ s + 1 ) ( s z ) ( s z )G(s)H(s) = K = K( T s + 1 ) ( s p ) ( s p ) ?GHK = K K 系 統(tǒng) 的 開 環(huán) 增 益 n = q + h 開 環(huán) 系 統(tǒng) 的 極 點 數(shù) ?* * *GHK = K K 開 系 統(tǒng) 的 根 軌 跡 增 益 零m = f + l 開 環(huán) 系 統(tǒng) 的 點 數(shù)*G ????fhiji = 1 j = 1nm*iji = 1 j = 1K ( s z ) ( s p )φ ( s ) =( s p ) + K ( s z )1) 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益＝開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。 當(dāng) H(S)=1時，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益＝開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。 2) 閉環(huán)零點的組成：開環(huán)前向通路的零點、反饋通路的極點。 當(dāng) H(S)=1時，閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。 3) 閉環(huán)極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點以及根軌跡增益 K*有關(guān)。 根軌跡法的基本任務(wù)： 如何由已知的開環(huán)零點、極點的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點，并根據(jù)閉環(huán)極點的分布對系統(tǒng)性能進(jìn)行分析。一旦確定閉環(huán)極點后，閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式便不難確定，可直接由下式求得： 在已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的時間響應(yīng)可利用拉氏反變換的方法求出，或利用計算機直接求解。 *G ????fhiji = 1 j = 1nm*iji = 1 j = 1K ( s z ) ( s p )φ ( s ) =( s p ) + K ( s z )三、根軌跡方程 G(s)φ ( s ) =1 + G ( s ) H ( s )系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)閉環(huán)極點即為特征方程的解： 1 + G ( s ) H ( s ) = 0????1mj* j = 1nii = 1( s z )K( s p )根軌跡方程 只要系統(tǒng)閉環(huán)特征方程可以化為此形式，都可以繪制根軌跡，其中處于變動地位的實參數(shù)，不限定是根軌跡增益 K*，也可以是其它變動參數(shù)。但是開環(huán)零極點的在 S平面的位置必須是確定的，否則無法繪制根軌跡。 ?????????? ? ??? ?mjj = 1 mnjij = 1 i = 1nii = 1m m mj j j * * *j = 1 j = 1 j = 1nnniiii = 1 i = 1i = 1( s z ) s z e s zK = K = K e = 1( s p ) s ps p e???1mj* j = 1nii = 1s zKs p??＝ni* i = 1mjj = 1s pKs z即 ： ? ? ? ?k? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 21m n m nj i j ij = 1 i = 1 j = 1 i = 1 s z (s p )模值條件 相角條件 綜上分析 ， 可以得到如下結(jié)論： ⑴ 繪制根軌跡的 相角條件 與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益 值 的大小無關(guān) 。 即在 s平面上 ， 所有滿足相角條件點的集合構(gòu)成系統(tǒng)的根軌跡圖 。 即相角條件是繪制根軌跡的充要條件 。 ⑵ 繪制根軌跡的 幅值條件 與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益 值的大小有關(guān) 。 即 值的變化會改變系統(tǒng)的閉環(huán)極點在 s平面上的位置 。 ⑶ 在系數(shù)參數(shù)全部確定的情況下 ， 凡能滿足相角條件和幅值條件的 s值 ， 就是對應(yīng)給定參數(shù)的特征根 ， 或系統(tǒng)的閉環(huán)極點 。 ⑷ 由于相角條件和幅值條件只與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān) ， 因此 ， 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)便可繪制出根軌跡圖 。 *K*K*K167。 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制法則 通常 ， 我們把以開環(huán)根軌跡增益 為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做普通根軌跡 （ 或一般根軌跡 ） 。 繪制普通根軌跡的基本法則主要有 8條： ； 、 對成性和連續(xù)性； ； ； ； ； 。 。 *K法則一 根軌跡的起點與終點 幅值條件可寫成 當(dāng) ， 必須有 此時 ， 系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)極點相同 (重合 )， 我們把開環(huán)極點稱為根軌跡的起點 ， 它對應(yīng)于開環(huán)根軌跡增益 。 當(dāng) 時 ， 必須有 ， 此時 ， 系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)零點相同 (重合 )， 我們把開環(huán)零點稱為根軌跡的終點 ， 它對應(yīng)于開環(huán)根軌跡增益 。 *K = 0iis = p (i = 1, 2, ,n)jjs = z (j = 1, 2, ,m)??＝ ni* i = 1mjj = 1s pKs z*K = 0*K = ∞*K = ∞ 下面分三種情況討淪 。 1． 當(dāng) m=n時 ， 即開環(huán)零點數(shù)與極點數(shù)相同時 ， 根軌跡的起點與終點均有確定的值 。 2． 當(dāng) mn時 ， 即開環(huán)零點數(shù)小于開環(huán)極點數(shù)時 ， 除有 m條根軌跡終止于開環(huán)零點 (稱為有限零點 )外 ， 還有 nm條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)點 (稱為無限零點 )。 3． 當(dāng) mn時 ， 即開環(huán)零點數(shù)大于開環(huán)極點數(shù)時 ， 除有 n條根軌跡起始于開環(huán)極點 (稱為有限極點 )外 ， 還有 mn條根軌跡起始于無窮遠(yuǎn)點 (稱為無限極點 )。 這種情況在實際的物理系統(tǒng)中雖不會出現(xiàn) ， 但在參數(shù)根軌跡中 ， 有可能出現(xiàn)在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中 。 結(jié)論 ： 根軌跡起始于開環(huán)極點 ， 終止于開環(huán)零點 （ )；如果開環(huán)極點數(shù) n大于開環(huán)零點數(shù) m，則有 nm條根軌跡終止于 s平面的無窮遠(yuǎn)處 (無限零點 )， 如果開環(huán)零點數(shù) m大于開環(huán)極點數(shù) n， 則有 mn條根軌跡起始于 s平面的無窮遠(yuǎn)處 (無限極點 )。 ? ?*K = 0*K = ∞? ?? ?? ?*K s + 1G(s)H(s) = s s + 2 s + 3法則二 根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性 根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù) 。 既然根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根 （ 即閉環(huán)極點 ） 在 S平面上的分布 ， 那么 ， 根軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù) 。 系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益 (實變量 ） 與復(fù)變量 s有一一對應(yīng)的關(guān)系 ， 當(dāng) 由零到無窮大連續(xù)變化時 ， 描述系統(tǒng)特征方程根的復(fù)變量 s在平面上的變化也是連續(xù)的 ， 因此 ， 根軌跡是 n條連續(xù)的曲線 。 由于實際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實數(shù) ， 若它的特征方程有復(fù)數(shù)根 ， 一定是對稱于實軸的共軛復(fù)根 ， 因此 ， 根軌跡總是對稱于實軸的 。 結(jié)論 ：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點數(shù)。根軌跡是連續(xù)且對稱于實軸的曲線。 *K*K法則三 實軸上的根軌跡 若實軸上某線段 右側(cè) 的開環(huán)零、極點的個數(shù)之和為奇數(shù)，則該線段是實軸上的根軌跡。 例 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其中 、 、 、 、 為實極點和實零點， 為共軛復(fù)數(shù)零、極點，它們在 s平面上的分布如圖 44所示，試分析實軸上的根軌跡與開環(huán)零點和極點的關(guān)系。 *1 2 31 2 3 4K ( s z ) ( s z ) ( s z )G(s)H(s) =( s p ) ( s p ) ( s p ) ( s p )1P 4P z1 z2 z3 、23PP解：實軸上的根軌跡必須滿足繪制根軌跡的相角條件，即 ??mn jij = 1 i = 1∠ (