【正文】 于非齊次泊松過(guò)程，用類似的方法，可得 .)(1)(),(。)()]([。,2,1,0,0,!)(})()({),m i n (0),m i n (000)(000??????????????????????????????????????????ddtsRdtNEkttkedktNtNPtstsNtdktttt? 下面介紹與泊松過(guò)程有關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)變量，即等待時(shí)間和點(diǎn)間間距，以及它們的概率分布。 在一些實(shí)際問(wèn)題中， 觀察 質(zhì)點(diǎn)時(shí)， 通常 不是對(duì)時(shí)間間隔 (t1, t2] 內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)數(shù) , 而是對(duì)達(dá)到一定數(shù)量的質(zhì)點(diǎn)所需要的時(shí)間進(jìn)行計(jì)時(shí)。 例如：為研究含某放射性元素的物質(zhì)，常對(duì)它發(fā)射出來(lái)的粒子作如下計(jì)時(shí)試驗(yàn)。 設(shè)質(zhì)點(diǎn) (或事件 )依次重復(fù)出現(xiàn)的時(shí)刻 t1, t2,? , tn, ? 是一強(qiáng)度為 λ 的泊松流， {N(t), t ≥0}為相應(yīng)的泊松過(guò)程。 記 W0=0, Wn= tn, n=1, 2, ? 。 Wn是一隨機(jī)變量，表示第 n個(gè)質(zhì)點(diǎn) (或事件第 n次 )出現(xiàn)的 等待時(shí)間 (見(jiàn)圖 106)。 為求出 Wn的分布函數(shù) 首先注意，事件 {Wnt}={N(t)n}。 }.{)( tWPtF nW n ??}{1}{)( tWPtWPtF nnW n ?????所以， , 0,!)( ?? ???? tktenkkt ??})({})({1ntNPntNP?????0. ,0)( ?? ttF nW將上式關(guān)于 t 求導(dǎo)，得 Wn的概率密度為 ( 3 . 1 2 ) .,0,0,)!1()()()(1 其他 ???????????tentdttdFtftnWWnn???易見(jiàn)：泊松過(guò)程的等待時(shí)間 Wn服從 Γ分布 。特別地，質(zhì)點(diǎn) (或事件 )首次出現(xiàn)的等待時(shí)間 W1服從指數(shù)分布 ，其密度函數(shù)為： ( 3 . 1 3 ) ,0,0,)( 其他. ??? ?? ? tetf tW??１ 又記 它也是一連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為相繼出現(xiàn)的第 i1個(gè)質(zhì)點(diǎn)和第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)間間距 (見(jiàn)圖 106)。 .,2,1,1 ? ??? ? iWWT iii 　圖 106 下面求 Ti 的分布。 由于 T1=W1，所以 T1服從指數(shù)分布 ()。對(duì)于 i≥2，我們先求在第 i1 個(gè)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)在時(shí)刻 ti1 (即ti1= ti1)的條件下， Ti 的條件分布函數(shù)： 由 N(t)的定義 由增量的獨(dú)立性 由增量的平穩(wěn)性 從而知相應(yīng)的條件概率密度為 ?????? ??? .0,0,0,)(111 ttettf titT ii ??于是，隨機(jī)變量 Ti, ti1的聯(lián)合概率密度為 其他. ????? ??? ?????,0,0,0),(),( 111 1 iittitttfettf i??此處 為 ti1的概率密度。將此表達(dá)式關(guān)于 ti1積分，即得 Ti (i=2, 3, ? )的概率密度 ,0)()()(10110111?????????????????tedttfedttfetftiittiittTiii ，??????)( 11 ?? it tf i）（，3 . 1 4.0,0,0)( 即 ???????ttetftT i??.0,0)( ?? ttf iT 由 ()及 ()知，點(diǎn)間間距序列 {Ti} 服從同一指數(shù)分布。理論上還有 :T1, T2, ? 是獨(dú)立的隨機(jī)變量。我們把這些結(jié)論寫成如下定理。 定理 1 強(qiáng)度為 λ 的 泊松過(guò)程的點(diǎn)間間距是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且同服從指數(shù)分布 ()。 定理 2 若任意相繼出現(xiàn)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)間間距是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且同服從指數(shù)分布 ()，則質(zhì)點(diǎn)流構(gòu)成強(qiáng)度為 λ 的泊松 過(guò)程。 這兩個(gè)定理刻畫了 泊松 過(guò)程的特征， 定理 2 告訴我們：為確定一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程是不是 泊松 過(guò)程，只要用統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)點(diǎn)間間距是否獨(dú)立，且服從同一個(gè)指數(shù)分布。 泊松 過(guò)程或 泊松流是研究排隊(duì)理論的主要工具，在技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)它又是構(gòu)造 (模擬 )一類重要噪聲 (散粒噪聲 )的基礎(chǔ)。 維納過(guò)程 維納過(guò)程是布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。英國(guó)植物學(xué)家布朗 (Brown) 在顯微鏡下，觀察漂浮在平靜的液面上的微小粒子，發(fā)現(xiàn)它們不斷地進(jìn)行著雜亂無(wú)章的運(yùn)動(dòng) , 這種現(xiàn)象后來(lái)稱為布朗運(yùn)動(dòng)。以 W(t) 表示運(yùn)動(dòng)中一微粒從時(shí)刻 t =0 到時(shí)刻 t 0 的位移的橫坐標(biāo) (同樣也可以討論縱坐標(biāo) )，且設(shè) W(0)=0。 根據(jù)愛(ài)因斯坦 (Enisten) 1905年提出的理論 , 微粒的這種運(yùn)動(dòng)是由于受到大量隨機(jī)的、相互獨(dú)立的分子碰撞的結(jié)果。于是 , 粒子在時(shí)段 (s, t] (與相繼兩次碰撞的時(shí)間間隔相比是很大的量 )上的位移可看作是很多微小位移的代數(shù)和。 依中心極限定理 , 假定位移 W(t)W(s) 為正態(tài)分布是合理的。 其次，由于粒子的運(yùn)動(dòng)完全是由液體分子的不規(guī)則碰撞而引起的。這樣，在不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)，碰撞的次數(shù)、大小和方向可假定是相互獨(dú)立的。這就是說(shuō)：位移 W(t) 具有獨(dú)立的增量。 另外，液面處于平衡狀態(tài)，這是粒子在一時(shí)段上位移的概率分布可認(rèn)為只依賴于這時(shí)段的長(zhǎng)度 ,而與觀察的起始時(shí)刻無(wú)關(guān)，即 W(t) 具有平穩(wěn)增量。 綜合所述，可引入如下的數(shù)學(xué)模型： 給定二階矩過(guò)程 {W(t), t ≥0}，如果它滿足 (1). 具有獨(dú)立增量； (2). 對(duì)任意的 t s ≥0, 增量 W(t) W(s) ～ N(0, σ 2(t s ))且 σ0； (3). W(0)=0, 則稱此過(guò)程為維納過(guò)程。圖 107展示了它的一條樣本曲線。 圖 107 由 (2)可知，維納過(guò)程增量的分布只與時(shí)間差有關(guān)，所以它是齊次的獨(dú)立增量過(guò)程。它也是正態(tài)過(guò)程。事實(shí)上，對(duì)任意 n(n≥1) 個(gè)時(shí)刻 0 t1 t2 ? tn (記 t0=0)，把 W(tk)寫成 ,2,1,)]()([)(11 nktWtWtWkiiik ? ??? ???根據(jù) (1)—(3)，它們都是獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的和 ,由第四章 167。 4中的 n維正態(tài)變量的性質(zhì)推知 (W(t1), W(t2), ? , W(tn))是 n維正態(tài)變量 , 即 {W(t), t ≥0}是正態(tài)過(guò)程。因此 , 其分布完全由它的均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù) (或自相關(guān)函數(shù) )所確定。 根據(jù)條件 (2)、 (3)可知， W(t) ～ N(0,σ2t), 由此可得維納過(guò)程的均值與方差函數(shù)分別為 其中 σ2稱為 維納過(guò)程的參數(shù)，它可通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察值加以估計(jì)。再根據(jù) ()就可求得自協(xié)方差函數(shù)(自相關(guān)函數(shù) )為 維納過(guò)程不只是布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，前面講到的電子元件或器件在恒溫下的熱噪聲也可歸結(jié)為維納過(guò)程。 .)(,0)]([ 2 ttDtWE W ??? .0,),m i n (),(),( 2 ??? tststsRtsC WW ? 泊松過(guò)程和維納過(guò)程的重要性，不僅是因?yàn)閷?shí)際中不少隨時(shí)間演變的隨機(jī)現(xiàn)象可以歸結(jié)為這兩個(gè)模型，而且在理論與應(yīng)用中常利用它們構(gòu)造出一些新的重要的隨機(jī)過(guò)程模型。