【正文】 +n2 221121)()(????SnmYX???????換形式 ~ t m+n 2 . 分母互換 利用該定理，我們可以得到 μ1μ2 的 置信 系數(shù)為 1α的置信區(qū)間。 的置信區(qū)間為：系數(shù)為的置信，得式由時，均已知和當 1 )( ???????? 212221 4? ? ( 8 ) ；)/()/( 22212/ nmzYX ??? ?? ?的置信區(qū)間為：信系數(shù)為的置，得式由時，但未知當 1 )( ????????? 212221 5,? ? ( 9 ) ，112 )2/( ???? ?? nmStYX nm ??( 1 0 ) . 2 )1()1(2221??????nmSnSmS例 4 (比較棉花品種的優(yōu)劣 )： 假設用甲、乙兩種棉花紡出的棉紗強度分別為 X～ N(?1, )和 Y ～ N(?2, )。試驗者從這兩種棉紗中分別抽取樣本 X1, X2 ,? , X200 和 Y1, Y2, ? , Y100，樣本均值分別為 : 求 ?1?2 的置信系數(shù)為 的區(qū)間估計。 。， ?? YX解 : ?1=, ?2=, m=200, n=100, ?=, 由 (8)式，得 ? 1? 2 的置信系數(shù)為 1? 的置信區(qū)間為 ? ? ? ? . 0 . 0 1 9 )/()/( 22212/ ，???? nmzYX ????例 5： 某公司利用兩條自動化流水線灌裝礦泉水。設這兩條流水線所裝礦泉水的體積 (單位 :毫升 ) X～ N(?1, ?2) 和 Y～ N(?2, ?2)?，F(xiàn)從生產(chǎn)線上分別抽取 X1, X2,? , X12 和 Y1, Y2, ? , Y17，樣本均值與樣本方差分別為 : 求 ? 1? 2 的置信系數(shù)為 。 . , 2221 ???? SYSX ，；解： m=12, n=17, ? = ，再 由其他已知條件及 (10)式，可算出 . 21712 )117()112( ??? ??????S查 t 分布表 ， 得 tm+n2(α /2) = t27()=. 再由 (9)式，得 ? 1? 2 的置信系數(shù)為 1? 的置信區(qū)間 ? ?. 2 . 9 0 1 ] 0 . 1 0 1[ )2/( 112，???? ???? nmStYX nm ?? 在這兩個例子中， ? 1? 2 的置信區(qū)間都包含了零，也就是說： ? 1可能大于 ? 2， 也可能小于 ? 2。這時我們認為二者沒有顯著差異。 II. 兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計 定理 2： 設 X1, X2, , Xm是抽自正態(tài)總體X 的簡單樣本， X～ N(?1, ?12)，樣本均值與樣本方差分別為 ；， 21211)(11 1 XXmSXmXmiimii ???? ????Y1, Y2, , Yn 是抽自正態(tài)總體 Y 的簡單樣本，Y ～ N(?2, ?22)，樣本均值與樣本方差為 .)(11 ,1 21221YYnSYnYmiinii ???? ????.~//則1,22212221?? nmFSS 1 ??由定理 2，易得到兩個正態(tài)總體方差之比 的置信系數(shù)為 1α 置信區(qū)間為： )11()2/1(1)2/(11,122211,12221 . ??????????????? ?? nmnm FSSFSS ，2221??2221 ?? /例 5： 研究機器 A和機器 B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑 , 隨機抽取 A生產(chǎn)的鋼管 18根 , 測得樣本方差 (mm2)。 隨機抽取 B生產(chǎn)的鋼管 13根 , 測得樣本方差為 (mm2)。設兩樣本相互獨立 , 且機器A和機器 B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布 N(?1, ?2) 與 N(?2, ?2)。求 的置信水平為 。 解 : 由 m=18, n=13, S12=, S22=, ? = 及 (11)式，得 的置信系數(shù)為 的置信區(qū)間為 2221 ?? /]., [ ??????? ?? ，167。 非正態(tài)總體的區(qū)間估計 前面兩節(jié)討論了正態(tài)總體分布參數(shù)的區(qū)間估計 。 但是在實際應用中 ， 我們有時不能判斷手中的數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布 ， 或者有足夠理由認為它們不服從正態(tài)分布 。 這時 ， 只要樣本大小 n 比較大 ， 總體均值 μ 的置信區(qū)間仍可用正態(tài)總體情形的公式 或 ,znXznX 22 ?????? ?????? ，. , 2/2/ ?????? ???? znSXznSXσ2已知時 σ2未知時 所不同的是：這時的置信區(qū)間是近似的。 這是求一般總體均值的一種簡單有效的方法，其理論依據(jù)是中心極限定理，它要求樣本大小 n 比較大。因此，這個方法稱為大樣本方法。 設總體均值為 μ, 方差為 σ2 , X1, X2, ? , Xn 為來自總體的樣本。因為這些樣本獨立同分布的，根據(jù)中心極限定理，對充分大的 n, 下式近似成立 ( 1 ) , )1 ,0(~ /1 NnnXnXnii??????? ??因而，近似地有 于是， μ 的置信系數(shù)約為 1α 的置信 區(qū)間為 . 1/ 2/???? ???????? ?? znXP. 22 ?????? ?????? znXznX ，當 σ2未知時，用 σ2的 某個估計，如 S2 來代替， 得到 ( 2 ) . 22 ?????? ???? znSXznSX ，只要 n 很大， (2)式所提供的置信區(qū)間在應用上是令人滿意的。 那么， n 究竟多大才算很大呢？ 顯然，對于相同的 n , (2)式所給出的置信區(qū)間的近似程度隨總體分布與正態(tài)分布的接近程度而變化 ， 因此，理論上很難給出 n 很大的一個界限。 但許多應用實踐表明：當 n≥30時， 近似程度 是 可以接受 的；當 n≥50時， 近似程度 是 很好 的。 例 1： 某公司欲估計自己生產(chǎn)的電池壽命 ?，F(xiàn)從其產(chǎn)品中隨機抽取 50 只電池做壽命試驗。這些電池壽命的平均值為 (單位： 100小時 )，標準差 S=。求該公司生產(chǎn)的電池平均壽命的置信系數(shù)為 95% 的置信區(qū)間。 解： 查正態(tài)分布表，得 zα /2= =，由公式 (2)，得電池平均壽命的置信系數(shù)為 95% 的置信區(qū)間為 2 . 8 0 2 ] . [ 1 . 7 3 0 50 50 ，??????????? 設事件 A 在一次試驗中發(fā)生的概率為 p， 現(xiàn)在做 n 次試驗，以 Yn記事件 A 發(fā)生的次數(shù) ,則 Yn ~ B(n, p)。依中心極限定理，對充分大的 n，近似地有 二項分布 ( 3 ) ).1 ,0(~)1(/)1( Npnp npYnpp pX n ?????(3)式是 (1)式的特殊情形。 式變?yōu)閷ΜF(xiàn)在的情形，記 ( 2 ) /? nYXp n??? ? ( 4 ) . )/?(1?? )/?(1?? 22 nppzpnppzp ???? ?? ， (4)式就是二項分布參數(shù) p 的置信系數(shù)約為 1α 的置信區(qū)間。 例 2： 商品檢驗部門隨機抽查了某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品 100件，發(fā)現(xiàn)其中合格產(chǎn)品為 84件，試求該產(chǎn)品合格率的置信系數(shù)為 。 解： n=100, Yn=84, α =, zα/2=, 將這些結(jié)果代入到 (4)式，得 p 的置信系數(shù)為 近似置信區(qū)間為 [, ]。 例 3： 在環(huán)境保護問題中 , 飲水質(zhì)量研究占有重要地位， 其中一項工作是檢查飲用水中是否存在某種類型的微生物。假設在隨機抽取的 100份一定容積的水樣品中有 20份含有這種類型的微生物。試求同樣容積的這種水含有這種微生物的概率 p 的置信系數(shù)為 區(qū)間。 解： n=100, Yn=20, α =, zα/2=, 將這些結(jié)果代入到 (4)式，得 p 的置信系數(shù)為 的近似置信區(qū)間為 [, ]。 泊松分布 的置信區(qū)間為的置信系數(shù)約得到參數(shù)，估計 1 ????X 設 X1, X2 ,? , Xn 為抽自具有泊松分布 P(λ )的總體的樣本，因為 E(X)=D(X) = λ ， 應用 (2)式，并用 ? ? ( 5 ) .// 22 nXzXnXzX ?? ?? ，例 4： 公共汽車站在一單位時間內(nèi) (如半小時 ,或 1小時 , 或一天等 ) 到達的乘客數(shù)服從泊松分布 P( λ ), 對不同的車站 , 不同的僅是參數(shù) λ 的取值不同?，F(xiàn)對某城市某公共汽車站進行 100個單位時間的調(diào)查。這里單位時間是 20分鐘。計算得到每 20 分鐘內(nèi)來到該車站的乘客數(shù)平均值為 人。試求參數(shù) λ 的置信系數(shù)為 95%的置信區(qū)間。 解 : n=100, α=, zα /2=, 將這些結(jié)果代入到 (5) 式 , 得 λ 的置信系數(shù)為 的近似置信區(qū)間為 [, ]。 ，?X