高考數(shù)學(xué)考前60天沖刺50題六大解答題圓錐曲線專練-資料下載頁(yè)
2025-04-17 12:56本頁(yè)面
【正文】 ：14分，為所求點(diǎn)15分，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，且滿足.（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)、為軌跡上兩點(diǎn)，且1, 0,，求實(shí)數(shù)，使，且.解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由得. …………2分 由,得，即. …………… 4分 又點(diǎn)在軸的正半軸上，∴.故點(diǎn)的軌跡的方程是. …………………………………………………………6分（Ⅱ）由題意可知為拋物線：的焦點(diǎn)，且、為過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn),所以直線的斜率不為. ……………………………………7分 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，得，不合題意； ……8分 當(dāng)直線斜率存在且不為時(shí)，設(shè)，代入得 ， 則，解得. …………9分 代入原方程得，由于，所以，由, 得，∴. ……………………………………………………12分，在中，以、為焦點(diǎn)的橢圓恰好過(guò)的中點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作直線與圓 相交于、兩點(diǎn)，試探究點(diǎn)、能將圓分割成弧長(zhǎng)比值為的兩段弧嗎？若能，求出直線的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.yPABCOx解（1）∵∴∴∴依橢圓的定義有： ∴， 又，∴ ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為……………………………………………7分（求出點(diǎn)p的坐標(biāo)后，直接設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出橢圓方程，也可以給滿分.）橢圓的右頂點(diǎn)，圓圓心為，半徑.假設(shè)點(diǎn)、能將圓分割成弧長(zhǎng)比值為的兩段弧，則，圓心到直線的距離 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離（符合）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，即，∴圓心到直線的距離，無(wú)解綜上：點(diǎn)M、N能將圓分割成弧長(zhǎng)比值為的兩段弧，此時(shí)方程為xA(4,2)OyPF，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為8.（1）求拋物線方程；（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)是否存在定點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恰過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn), 若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)作于，過(guò)作于，BxA(4,2)OyPF （1）由拋物線定義知C(折線段大于垂線段)，,即拋物線的方程為： 5分（2）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，顯然，設(shè)，由以為直徑的圓恰過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)有 ① 6分把代人得由韋達(dá)定理 ② 7分又 ③ ②代人③得 ④②④代人①得 動(dòng)直線方程為必過(guò)定點(diǎn) 10分當(dāng)不存在時(shí)，直線交拋物線于,仍然有， 綜上：存在點(diǎn)滿足條件 12分注：若設(shè)直線BC的方程為可避免討論.。（1）求橢圓的方程；（2）如果直線與橢圓相交于，若，證明直線與直線的交點(diǎn)必在一條確定的雙曲線上；（3）過(guò)點(diǎn)作直線（與軸不垂直）與橢圓交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，證明：為定值。解：（1）由已知………………………3分所以橢圓方程為?！?分（2）依題意可設(shè)，且有又，將代入即得所以直線與直線的交點(diǎn)必在雙曲線上?！?0分（3）依題意，直線的斜率存在，故可設(shè)直線的方程為，……………11分設(shè)、則兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組消去并整理，得， 所以， ① ， ② ……………………13分因?yàn)?，所以，即所以，又與軸不垂直，所以，所以，同理。 …………………………14分所以。將①②代入上式可得。 …………………………16分:y=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與C交于 A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）求的值；（2）設(shè)=，求△ABO的面積S的最小值；（3）在（2）的條件下若S≤，求的取值范圍。⑴根據(jù)拋物線的方程可得焦點(diǎn)F（1,0），設(shè)直線l的方程為x=my+1，將其與C的方程聯(lián)立，消去x可得4my4=0.設(shè)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，），（，）（﹥0﹥），則=4.因?yàn)?4，=4，所以==1，故=+=3 ………………………………………………4分(2)因?yàn)?，所以（1，）=（1，）即 1=① =②又=4③ =4④ ，由②③④消去，后，得到=，將其代入①，注意到﹥0，解得=。從而可得=，=2，故△OAB的面積S==因?yàn)楱R2恒成立,故△OAB的面積S的最小值是2………(8分).(3)由 ≦解之的≦≦ 28. 已知拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線的方程。(2)已知?jiǎng)又本€過(guò)點(diǎn),交拋物線于、兩點(diǎn).若直線的斜率為1,求的長(zhǎng)。是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說(shuō)明理由. 解：解:(1)由題意,可設(shè)拋物線方程為. …………1分由,得. …………2分拋物線的焦點(diǎn)為,. …………3分拋物線D的方程為. …………4分(2)設(shè),. …………5分直線的方程為：, …………6分聯(lián)立,整理得: …………7分=.…………9分 (ⅱ) 設(shè)存在直線滿足題意,則圓心,過(guò)作直線的垂線,垂足為,: …………10分 …………11分即==== …………13分當(dāng)時(shí), ,此時(shí)直線被以為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)恒為定值. …………14分因此存在直線滿足題意 …………15分 第 38 頁(yè) 共 39 頁(yè)
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