二次函數(shù)綜合動(dòng)點(diǎn)問題——三角形存在問題培優(yōu)教案一橫版-資料下載頁
2025-04-16 13:00本頁面
【正文】 ∵旋轉(zhuǎn)角為90176。，∴∠BAO+∠CAD=180176。90176。=90176。，又∵∠BAO+∠ABO=90176。，∴∠CAD=∠ABO，在△ABO和△CAD中，∵∠CAD＝∠ABO∠AOB＝∠CDA＝90176。AC＝AB，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴AD=BO=2，CD=AO=1，∴OD=AO+AD=1+2=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，1）；（2）①∵二次函數(shù)y=12x2ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（3，1），∴12（3）2（3）a2=1，解得a= 12，故二次函數(shù)的關(guān)系式為y=12x2+12x2；②∵y=12x2+12x2=12（x+12）2178，∴當(dāng)1≤x≤4時(shí)，x= 12時(shí)取得最小值y= 178， x=4時(shí)，取得最大值y=12（4+12）2 178=8，所以，函數(shù)值y的取值范圍為： 178≤y≤8；③（i）當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)P1，使AP1=AC=AB，則△ABP1是以AB為直角邊的等腰直角三角形，過點(diǎn)P1作P1E⊥x軸，∵AP1=AC，∠EAP1=∠DAC，∠P1EA=∠CDA=90176。，∴△EP1A≌△DCA，∴AE=AD=2，EP1=CD=1，∴可求得P1的坐標(biāo)為（1，1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在二次函數(shù)的圖象上；（ii）當(dāng)B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)B作直線L⊥BA，在直線L上分別取BP2=BP3=AB，得到以AB為直角邊的等腰直角△ABP2和等腰直角△ABP3，作P2F⊥y軸，同理可證△BP2F≌△ABO，則P2F=BO=2，BF=OA=1，可得點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（2，1），經(jīng)檢驗(yàn)P2點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，同理可得點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（2，3），經(jīng)檢驗(yàn)P3點(diǎn)不在二次函數(shù)的圖象上．綜上所述：二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P1（1，1），P2（2，1）兩點(diǎn)，使得△ABP1和△ABP2是以AB為直角邊的等腰直角三角形．2. （重慶）如圖，已知拋物線y=x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)（不與B，C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，求△BPN的周長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)Q，使得△CNQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1) A（1，0），B（3，0），C（0，3）；(2) 3+322；(3) Q1（1，3+112），Q2（1，3112），Q3（1， 14），Q4（1，72）.【解析】解：（1）由拋物線的解析式y(tǒng)=x2+2x+3，∴C（0，3），令y=0，x2+2x+3=0，解得x=3或x=1；∴A（1，0），B（3，0）．（2）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：k+b＝0b＝3，解得k＝1b＝3，∴直線BC的解析式為：y=x+3．設(shè)P（x，x+3），則M（x，x2+2x+3），∴PM=（x2+2x+3）（x+3）=x2+3x．∴S△BCM=S△PMC+S△PMB=12PM?（xPxC）+12PM?（xBxP）=12PM?（xBxC）=32PM．∴S△BCM=32（x2+3x）= 32（x 32）2+ 278．∴當(dāng)x= 32時(shí)，△BCM的面積最大．此時(shí)P（32，32），∴PN=ON= 32，∴BN=OBON=3 32= 32．在Rt△BPN中，由勾股定理得：PB=322． C△BCN=BN+PN+PB=3+322．∴當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，△BPN的周長(zhǎng)為3+322．（3）∵y=x2+2x+3=（x1）2+4∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1．在Rt△CNO中，OC=3，ON= 32，由勾股定理得：CN= 352．設(shè)點(diǎn)D為CN中點(diǎn)，則D（34，32），CD=ND=354．如解答圖，△CNQ為直角三角形，①若點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)．作Rt△CNO的外接圓⊙D，與對(duì)稱軸交于QQ2兩點(diǎn)，由圓周角定理可知，QQ2兩點(diǎn)符合題意．連接Q1D，則Q1D=CD=ND=354．過點(diǎn)D（34，32）作對(duì)稱軸的垂線，垂足為E，則E（1，32），Q1E=Q2E，DE=134=14．在Rt△Q1DE中，由勾股定理得： Q1E=Q1D2DE2=112∴Q1（1，3+112，Q2（1，3112）；②若點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)．過點(diǎn)N作NF⊥CN，交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q3，交y軸于點(diǎn)F．易證Rt△NFO∽R(shí)t△CNO，則ＯＦＯＮ=ＯＮＯＣ，即ＯＦ３２＝３３２，解得OF=３４．∴F（0，３４），又∵N（３２，0），∴可求得直線FN的解析式為：y=１２x３４．當(dāng)x=1時(shí)，y=１４，∴Q3（1，１４）；③當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)．過點(diǎn)C作Q4C⊥CN，交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q4．∵Q4C∥FN，∴可設(shè)直線Q4C的解析式為：y=１２x+b，∵點(diǎn)C（0，3）在該直線上，∴b=3．∴直線Q4C的解析式為：y=１２x+3，當(dāng)x=1時(shí)，y=７２，∴Q4（1，７２）．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q有4個(gè)，其坐標(biāo)分別為：Q1（1，3+112），Q2（1，3112），Q3（1， 14），Q4（1，72）．課程小結(jié)三角形的性質(zhì)和判定求作等腰三角形，直角三角形的方法
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