【正文】 原式 ⑶ [解答] 原式 ⑷ ： 及 [解答] 原式 8．設(shè) 是半徑為 的周長，證明： 證明：將積分化為極坐標形式為9．設(shè) 是 上非負連續(xù)函數(shù)， 在 上連續(xù)且單調(diào)遞增，證明： 證明：左邊 ⑴ 右邊 ⑵ ⑵ － ⑴ 可得 ⑵ ＋ ⑴ 可得 由于 都是連續(xù)且單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即 ，從而 ，則 10．設(shè) 均為正整數(shù)，且其中至少有一個是奇數(shù)，證明：證明：當 為奇數(shù)時，將積分化為先對 后對 的二重積分因為 為奇數(shù)，于是 關(guān)于 是奇函數(shù)從而 ，所以 .當 為奇數(shù)時，同理可證 .11．設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，令 ，證明： 證明： 12．計算 [解答] 原式 13． ， ：由 及 所圍之區(qū)域.[解答] 設(shè) ，則 14．計算下列三重積分： ⑴ ， ：由 及 所圍形體[解答] 原式 ⑵ ， ： 及 所圍形體[解答] 原式 ⑶ ， ：由 面上的區(qū)域 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的空間區(qū)域，其中 ： [解答] 利用“先二后一”法將區(qū)間分為兩部分 ： ， ： ， 則原式 ⑷ , ：由 及 所圍形體[解答] 原式 ⑸ , ：由 與 所圍的空間區(qū)域[解答] 原式 ⑹ ， 為底面為單位正方形，高為 的正四棱錐體，而 為錐體中任一點到頂點 的距離[解答] 以底面正方形中心為 ，建立坐標系，其中 ， ， ， ，則 ，此函數(shù)關(guān)于 對稱，故只需計算第一象限上的部分，由于 的方程分別為 和 ，所以原式 15．求下列曲線所圍圖形的面積. ⑴ [解答] 兩曲線的交點為 所以 ⑶ [解答] 將原式化為極坐標形式為 ，令 ，可得 或 所以 ⑷ [解答] 設(shè) ，原式化為極坐標形式為 原式 16．求曲面 夾在兩曲面 之間的部分的面積.[解答] 由題意可得 則 17．求用平面 與曲面 相截所得的截斷面之面積.[解答] 方法一：由 ，可得 ， 則所得的截斷面之面積 即求 之面積，其中 ： 令 ， ，則 其中 ： ，即 故 又橢圓 的面積為 所以 方法二：由兩方程可得 ， 設(shè)所截圓面的半徑為 ， 又原心到平面 的距離 ，則圓面半徑 所以 18．求下列曲面所圍形體的體積. ⑴ [解答] ⑵ [解答] ⑶ [解答] 21．設(shè)質(zhì)量為 ，半徑為 的非均勻球體，球上任一點的密度與該點到球心的距離成正比，求球關(guān)于切線的轉(zhuǎn)動慣量.[解答] 以球心為坐標原點，建立直角坐標系 令 ，則 設(shè)切線過點 ，方向向量為 ，則切線的轉(zhuǎn)動慣量為 習 題 十 二1． 設(shè) 在 內(nèi)有連續(xù)導函數(shù)，求 ，其中 是從點 到點 的直線段. [解答] 令 ， 則 ，故在單連通區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān) 方法一：選取積分路徑：從 到 ，再從 到 的折線段，于是 方法二：可取曲線 : ，從 到 則 2． 計算 ，其中 為過 ， ， 三點的圓周.[解答] 連接 ，使 與 圍成區(qū)域 ，令 ， 則 ， 由格林公式可得 所以 1． 計算 ， 是上半圓周， , 的坐標分別為 ， .[解答] 連接 ，使 與 圍成區(qū)域 ，令 ， 由格林公式可得 則 2． 計算 ，其中 為常數(shù)， ， ， ， 為 上的一段弧， 為 上的一段弧.[解答] 連接 ，使 與 圍成區(qū)域 ，令， 則 ， 由格林公式可得 則 5 . 計算 ，其中 為連接 與 的曲線弧段.[解答] 令 ， , ，故在單連通區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)，因此取曲線 ： ，從 到 則 6． 計算 ，其中 是沿橢圓 的正向從 到 的一段弧. [解答] 連接 ， 使 圍成區(qū)域 ，令 ， 則 由格林公式可得 則 7． 計算 ，其中 是依次連接 ， ， ， 的有向折線. [解答] 連接 ，使 圍成區(qū)域 ，令 ， 則 由格林公式可得 所以 則 8． 設(shè)平面 與橢圓柱面 相截，求其在 及平面 之間的橢圓柱面的側(cè)面積.[解答] 設(shè) 則 根據(jù)弧長的曲面積分 令 ，當 從 時， 從 ， 從 原式 9． 計算 ，其中 和 為連續(xù)函數(shù)， 為連接 和點 的任何路徑，但與線段 圍成圖形 有定面積 . [解答] 10．計算 其中 是通過點 ， ， 的半圓周 . [解答] 連接 ，使 圍成區(qū)域 ，令 ， 則 由格林公式有 所以 11． ,其中 是圓周 ， ,若從 軸正向看去，這個圓周取逆時針方向. [解答] 設(shè) 為 上側(cè)，則 12．計算 ，其中 是 被平面 所割下的部分.[解答] 由對稱性，只要計算第一掛限的部分，則 ( ) ( ) 13．計算 ， :錐面 及平面 所圍立體的外側(cè).[解答] 由 可得 則 14．求 在 處沿曲線： ，在 處的切線方向的方向?qū)?shù). [解答] 曲線切線方向向量 則 習 題 十 三1． 證明不等式證明：設(shè) 則 由拉格朗日中值定理可知，在 上，至少存在一個 ，使 即 又 ，則 ，且 ，所以 2． 若 ，證明： .證明：設(shè) ，則 ，又 為連續(xù)函數(shù) 所以 故 又設(shè) ，則 ，所以 為單調(diào)減函數(shù). ，所以 所以 當 時， ，即 令 ，則 ，即 (原式中等號僅當 與 至少有一個為零時成立)3． 設(shè)函數(shù) 在 上有連續(xù)導數(shù)，滿足 ，并且 ，求證： 證明：設(shè) ，則 令 有 又 且當 時， 所以 ，即 ，從而 單調(diào)遞增，則 即