【正文】 若 ，證明： .證明：設(shè) ，則 ，又 為連續(xù)函數(shù) 所以 故 又設(shè) ，則 ，所以 為單調(diào)減函數(shù). ，所以 所以 當(dāng) 時， ，即 令 ，則 ，即 (原式中等號僅當(dāng) 與 至少有一個為零時成立)3． 曲線切線方向向量 則 習(xí) 題 十 三1． 計算 ，其中 和 為連續(xù)函數(shù)， 為連接 和點 的任何路徑，但與線段 圍成圖形 有定面積 . [解答] 10．計算 其中 是通過點 ， ， 的半圓周 . [解答] 連接 ，使 圍成區(qū)域 ，令 ， 則 由格林公式有 所以 11． ,其中 是圓周 ， ,若從 軸正向看去，這個圓周取逆時針方向. [解答] 設(shè) 為 上側(cè)，則 12．計算 ，其中 是 被平面 所割下的部分.[解答] 由對稱性，只要計算第一掛限的部分，則 ( ) ( ) 13．計算 ， :錐面 及平面 所圍立體的外側(cè).[解答] 由 可得 則 14．求 在 處沿曲線： ，在 處的切線方向的方向?qū)?shù). [解答] 計算 ，其中 是依次連接 ， ， ， 的有向折線. [解答] 連接 ，使 圍成區(qū)域 ，令 ， 則 由格林公式可得 所以 則 8． 5 . 計算 ，其中 為連接 與 的曲線弧段.[解答] 令 ， , ，故在單連通區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)，因此取曲線 ： ，從 到 則 6． 計算 ，其中 為常數(shù)， ， ， ， 為 上的一段弧， 為 上的一段弧.[解答] 連接 ，使 與 圍成區(qū)域 ，令， 則 ， 由格林公式可得 則 所以 1． 計算 ，其中 為過 ， ， 三點的圓周.[解答] 連接 ，使 與 圍成區(qū)域 ，令 ， 則 ， 由格林公式可得 ⑷ [解答] 設(shè) ，原式化為極坐標(biāo)形式為 原式 16．求曲面 夾在兩曲面 之間的部分的面積.[解答] 由題意可得 則 17．求用平面 與曲面 相截所得的截斷面之面積.[解答] 方法一：由 ，可得 ， 則所得的截斷面之面積 即求 之面積，其中 ： 令 ， ，則 其中 ： ，即 故 又橢圓 的面積為 所以 方法二：由兩方程可得 ， 設(shè)所截圓面的半徑為 ， 又原心到平面 的距離 ，則圓面半徑 所以 18．求下列曲面所圍形體的體積. ⑴ [解答] ⑵ [解答] ⑶ [解答] 21．設(shè)質(zhì)量為 ，半徑為 的非均勻球體，球上任一點的密度與該點到球心的距離成正比，求球關(guān)于切線的轉(zhuǎn)動慣量.[解答] 以球心為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系 令 ，則 設(shè)切線過點 ，方向向量為 ，則切線的轉(zhuǎn)動慣量為 習(xí) 題 十 二1．⑵ ， ： 及 所圍形體[解答] 原式 ⑶ ， ：由 面上的區(qū)域 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的空間區(qū)域，其中 ： [解答] 利用“先二后一”法將區(qū)間分為兩部分 ： ， ： ， 則原式 ⑷ , ：由 及 所圍形體[解答] 原式 ⑸ , ：由 與 所圍的空間區(qū)域[解答] 原式 ⑹ ， 為底面為單位正方形，高為 的正四棱錐體，而 為錐體中任一點到頂點 的距離[解答] 以底面正方形中心為 ，建立坐標(biāo)系，其中 ， ， ， ，則 ，此函數(shù)關(guān)于 對稱，故只需計算第一象限上的部分，由于 的方程分別為 和 ，所以原式 15．求下列曲線所圍圖形的面積. ⑴ [解答] 兩曲線的交點為 所以 ⑶ [解答] 將原式化為極坐標(biāo)形式為 ，令 ，可得 或 所以 15．求曲面 的平行于平面 的切平面方程.[解答] 曲面方程在 處切平面的法向量為 則曲面在 處切平面方程為 由題意可知 ，即 則 解得 即 所以切平面的方程為 或 16．求圓周 在 處的切線與法平面方程.[解答] 由題意，對 求導(dǎo)得： ， 可解得 所以，圓周在 的切向量 圓周在 處的切線方程為 法平面方程為 17．試求函數(shù) 在閉區(qū)域上 與 的最大值 [解答] 先求函數(shù)在 內(nèi)的駐點 由 可得 ，即函數(shù)在 內(nèi)只有唯一的駐點 ， 再求在邊界上的最值在邊界 ， ，此時 在邊界 ， ，此時 在 上，將 代入 中化簡可得 ，可得 ，此時 18．在橢球面 內(nèi)作內(nèi)接直角平行六面體，求其最大體積.[解答] 設(shè) 位于第一掛限內(nèi)橢球面上，則 ，由題意有 則 解得唯一解 所以 19．求原點到曲面 的最短距離.[解答] 設(shè) 位于球面 上，則 令 ，由題意可得，即求 在約束條件 下的最小值. ，則 當(dāng) 時，無解當(dāng) 時，由 ，可得 20．當(dāng)時 ，求函數(shù) 在球面 上的最大值，并證明對任意的正實數(shù) 成立不等式[解答] 由題意可得，則 解得 ， 14．若 滿足 ，其中有 連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，求 .[解答] 令 ， 則 同理 則 化簡得 即 解得 即 ( 為任意常數(shù))13．設(shè) ，試確定常數(shù) ，使 .[解答] 由 ，可得 9．設(shè) ，求 .[解答] 所以 10．設(shè) ，其中 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 二階可導(dǎo)，求 .[解答] 11．已知 ，且 ，其中 可微， 連續(xù)，且 ， 連續(xù) ，試求 .[解答] ，又 即 ，又 即 12．設(shè) ，其中出現(xiàn)的函數(shù)是連續(xù)可微的，試計算 .[解答] [解答] 8．設(shè) ，由 確定，求 .[解答] 對方程組求導(dǎo)可得 求解可得 題 七2．填空題 ⑴ 函數(shù) 的單調(diào)減少區(qū)間__[解答] ，令 ，可得 當(dāng) 時， ， 單調(diào)遞減. 所以 的單調(diào)遞減區(qū)間是 或 . ⑵ 曲線 與其在 處的切線所圍成的部分被 軸分成兩部分，這兩部分面積之比是__ [解答] 直線方程為 ，即 ，兩直線的交點可求得 ，即求解 方法一：已知其一根為 ，設(shè)方程為 通過比較可得 ，可解得另外一根為 方法二：分解方程有 即 所以 則 ⑶ 設(shè) 在 上連續(xù)，