20xx陳文燈考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解(理工)-高等數(shù)學(xué)ch10(參考版)
2024-09-07 22:30本頁面
【正文】 z取自 [1, 2]時(shí) , V在 xoy平面上的投影xyD 如右圖 . 1 1 Dxy Dxy z z － 1 1 1 于是 ??? ? 2201010 ),(yx dzzyxfdydx = ?????? ? ????? ? 1011010 ),(),(2 dxzyxfdydxzyxfdydz zyzz + ????? 11 121 2 ),(yzz dxzyxfdydz 由 x, y的對稱性 , 直接可得 ??? ? 2201010 ),(yx dzzyxfdydx = ?????? ? ????? ? 1011010 ),(),(2 dyzyxfdxdyzyxfdxdz zxzz + ????? 11 121 2 ),(xzz dyzyxfdxdz 2. 積分區(qū)域如下圖 : 14 當(dāng) x取自 [0, 1]時(shí)積分區(qū)域 V在 yoz平面的投影如圖 : z 1 x 1－ x y 于是 ??? ?? yxx dzzyxfdydx01010 ),( = ? ?? ???? ? ???x xxzxx dyzyxfdzdyzyxfdzdx 10 11010 ),(),( 當(dāng) z取自 [0, 1]時(shí) , V在 xoy平面的投影區(qū)域如圖 : y 1 x+y=1 z z=x+y z 1 x ??? ?? yxx dzzyxfdydx01010 ),( = ? ?????? ??? ? yzyyzz dxzyxfdydxzyxfdydz 1011010 ),(),( 二 十 . 已知質(zhì)量為 M, 半徑為 a 的球上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到球心的距離成正比 , 求球關(guān)于切線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 . 解 . 設(shè)直線 l和 z軸平行， l和 xoy平面的交點(diǎn)坐標(biāo)為 x1和 y1，則物體繞 l的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： Il=???? ??? dx dy dzzyxyyxx ),(])()[(2121 ? (1) 將球心放在原點(diǎn)，則密度 ?（ x,y,z） =kr， r為點(diǎn)（ x,y,z）到球心的距離。222 adydxS ayx ??? ???? 十 七 . 求下列曲面所圍形體的體積 . 1. z = xy, x + y + z = 1, z = 0. 解 . 曲頂?shù)那鏋?z = xy及 x + y + z = 1. 所以所求體積必須分成二部分 . 該二部分在 xoy平面上的投影區(qū)域分別為 D1, D2. 于是體積 V為 ???? ????21)1(DD dx dyyxx y dx dyV = ??? ? ????? ??? xxxxx dyyxdxy dyx dx 1111010 110 )1( = 2ln212172ln66252ln4411 ???????? ???????? ? 2. 0,2, 222222 ??????? zxyxxyxyxz 12 解 . ???? ??? ??? ? c o s2c o s 2022 )( r drrddx dyyxV xyD ? ?? ? ???0 44 )c osc os16(41 d= ?3245. 3. 2222 ,8 yxzyxz ????? 解 . 解聯(lián)立方程????????22228yxzyxz , 得 z = 4. ?????????? ? ?????? ? 84408440 )8( dzzz dzdx dydzdx dydzdvVxyxy DD?= 16?. 十 八 . 將三重積分 ???? dvzyxf ),(化為柱面坐標(biāo) 的累次積分 , 其中 ?是由 222 zyx ?? , z = 1及 z = 4所圍成 . 解 . ? ??? ? ???20 4110 ),s i n,c os( dzzrrfr drdI +? ??? ???20 441 ),s i n,c os(r dzzrrfr drd 十九 . 改變下列三重積分的積分次序 : 1. ??? ? 2201010 ),(yx dzzyxfdydx, 2. ??? ?? yxx dzzyxfdydx01010 ),( 解 . 1. 因?yàn)?? ???????? ?? ),(),( )(2121 ),(),(),(zxyzxy yDyyDV xzxz dx dzzyxfdydyzyxfdx dzdvzyxf. 應(yīng)該注意最后這個(gè)積分的積分區(qū)域和 y有關(guān) , 因此內(nèi)層的二重積分為 y的函數(shù) . 當(dāng) x取自 [0, 1]時(shí) , 該積分區(qū)域 V在 yoz平面上的投影區(qū)域如圖 : 于是 z ??? ? 2202010 ),(yx dzzyxfdydx x2+1 =? ? ? ??? ?????? ? ? ?10 10 1 1100 22 22 ),(),( xx
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