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20xx陳文燈考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解(理工)-概率ch2(參考版)

2024-08-25 18:51本頁面
　　

【正文】 21210)()(zzFz ZZ? 10 0????zzz D2 10. 設(shè) (X, Y)的密度為 ??? ??? 0 )1(24),( yxyyx? 其它 1,0,0 ???? yxyx 求 : i. )21|(),|(),( ?xyxyxX ???, ii. )21|(),|(),( ?yxyxyY ??? 解 . 14 i. ? ????? dyyxxX ),()( ?? 當(dāng) x ? 0 或 x ? 1時(shí) 0),()( ?? ? ???? dyyxxX ?? 當(dāng) 0 x 1時(shí) 310 )1(4)1(24),()( xdyyxydyyxx xX ?????? ?? ????? ?? 所以 ??? ?? 0 )1(4)( 3xxX? 其它 10 ??x 所以 ????? ? ????0)1()1(6)(),()|( 3x yxyxyxxyX??? 其它 1,0,0 ???? yxyx 所以 ??? ??? 0 )21(24)21|( yyxy? 其它 210 ??y ii. ? ????? dxyxyY ),()( ?? 當(dāng) y ? 0 或 y ? 1時(shí) 0),()( ?? ? ???? dxyxyY ?? 當(dāng) 0 y 1時(shí) 210 )1(12)1(24),()( yydxyxydxyxy yY ?????? ?? ????? ?? 所以 ??? ?? 0 )1(12)( 2yyyY? 其它 10 ??y 所以 ????? ? ????0)1()1(2)(),()|( 2y yxyyxyxY??? 其它 1,0,0 ???? yxyx 所以 ??? ??? 0 )21(4)21|( xyx? 其它 210 ??x 。 ii. 接連獨(dú)立測量三次 , 至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過 30的概率 . 解 . 因?yàn)????????? ??? 3 2 0 0 )20(e x p240 1)(2xx??, － ? x +?, 所以 X～ N(20, 402). i. ? ??????? ?????????? )30|(| XPXPXP )()( ????? 1)()()(1()( ?????????? ??? = . (其中 ?(x)為 N(0, 1)的分布函數(shù) ) ii. P(至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過 30) = 1－ P(三次誤差的絕對(duì)值都超過 30) = )(1 3 ???? 6. 設(shè)電子元件的壽命 X具有密度為 ??????0100)( 2xx? 100100??x x 問在 150小時(shí)內(nèi) , i. 三只元件中沒有一 只損壞的概率是多少 ? ii. 三只電子元件全損壞的概率 11 是多少 ? iii. 只有一個(gè)電子元件損壞的概率是多少 ? 解 . X的密度??????0100)( 2xx? 100100??x x . 所以 311 0 0)1 5 0( 150100 2 ??? ? dxxXP. 令 p = P(X ? 150) = 1－ 31 = 32 . i. P(150小時(shí)內(nèi)三只元件沒有一只損壞 ) = 2783?p ii. P(150小時(shí)內(nèi)三只元件全部損壞 ) = 271)1( 3 ?? p iii. P(150小時(shí)內(nèi)三只元件只有一只損壞 ) =943231213 ?????????????c 7. 對(duì)圓片直徑進(jìn)行測量 , 其值在 [5, 6]上服從均勻分布 , 求圓片面積的概率分布 . 解 . 直徑 D的分布密度為???? 01)(d? 其它 65 ??d 假設(shè) 42DX ?? , X的分布函數(shù)為 F(x). )()()( 2 xDPxXPxF ???? ? 當(dāng) x ? 0時(shí) , F(x) = 0 當(dāng) x 0時(shí) ?????? ???????? ??? xDxPxDPxXPxF 44)()()( 2 當(dāng) 時(shí)即425,54 ?? ?? xx F(x) = 0 當(dāng) 時(shí)即 ??? 925,645 ???? xx ?????? ???????? ??? xDxPxDPxXPxF 44)()()( 2 = 54145 ??? ??xdtx 當(dāng) x 9?時(shí) 12 1)()( 65 ??? ?? ?? dtdttxF x ? 所以 ?????????1540)( ?xxF ????99425425????xxx 密度???????01)(39。 iii. 每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回 , 再抽取 . 解 . 假設(shè) Ai表示第 i次取出正品 (i = 1, 2, 3, … ) i. 每次取出的產(chǎn)品不放回 X 1 2 3 4 p 1310 1331210? 1331221110 ?? 133122111 ?? 1310)()1( 1 ??? APXP 1331210)()|()()2( 11212 ????? APAAPAAPXP 1331221110)()|()|()()3( 11223321 ?????? APAAPAAPAAAPXP 1331221111)()|()|()|()4( 1122334 ?????? APAAPAAPAAPXP ii. 每次抽取后將原產(chǎn)品放回 X 1 2 … k
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