20xx陳文燈考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解(理工)-線代ch4(參考版)
2024-08-25 18:50本頁(yè)面
【正文】 充分性 : 設(shè) 0|| ?A , 則方程組 Ax = 0 有非零解 ),( 2,1 nbbbx ?? . 構(gòu)造矩陣 ?????????????00000021???????nbbbB 則 B ? 0, 且 AB = 0. 9. 假設(shè) A 是 m n 階矩陣 ,若對(duì)任意 n 維向量 x, 都有 0?Ax , 則 A = 0. 解 . 假設(shè) ),( 21 nA ??? ?? , i? 為 A 的列向量 ),2,1( ni ?? . 取Ti )0,1,0( ???? ),2,1( ni ?? , 只有第 i 個(gè)分量為 1, 其余都為 0. 則 0010??????????????????? ii AA ????, ),2,1( ni ?? 所以 A = 0. 10. 假設(shè)?????????????????????????????????????1111,010,1113102112?bcaA . 如果 ?是方程組 bAx? 的一個(gè)解 , 試求bAx? 的通解 . 解 . 將???????????????1111? 代入 bAx? , 得到 caca ????? ,011 . ?????????????????????????002121011310021120111131002112??????aaaa 11 i. 21??ca ?????????? ??????????????????????????00000113101120200000113100211201212111131002112????????? 于是 2)()( ?? ArAr , 基礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)為 : 2)(4 ?? Ar . 齊次方程 : ??? ?????? 03 022432431 xxx xxx , 令 1,3,0,1 1243 ????? xxxx 解得, 解向量為 : T)0,1,3,1( ? 令 1,2,2,0 1243 ?????? xxxx 解得, 解向量為 : T),0,2,1( ? 所以通解為 : ??????????????????????????????????????????20210131111121 kk i. 21??ca ?????????????????????????002121011310021120111131002112??????aaaa ??????????????????aaa 21211001131011202??? 于是 3)()( ?? ArAr , 基礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)為 : 1)(4 ?? Ar . 齊次方程 : ?????????????????0)21()1(0302243432431xaxaxxxxxx, 令 2,1,1,2 1234 ?????? xxxx 解得 , 解向量為 : T)2,1,1,2( ?? 12 所以通解為 : ????????????????????????????21121111k 11. 假設(shè)?????????????????????????222141,111111BaaaA . 如果矩陣方程 BAX? 有解 , 但解不惟一 , 試確定參數(shù) a. 解 . ?????????????????????????????????aaaaaaaaaa4221106011041112211211141112 ?????? ????????????????????aaaaaaa482)2)(1(00601104111??? 當(dāng) 2??a 時(shí) , 對(duì)于 B 的任一列向量 , 都有 32)()( ??? ArAr , 所以矩陣方程BAX? 有解 , 但解不惟一 . 。 512,0 ??? ba 時(shí) , )(2)( ArAr ?? , 方程組有無(wú)窮多解 , 即 ?有無(wú)窮多種方法可表示成321 , ??? 的線性組合 . 8 ii. 0125,0 ???? baa 時(shí) , )(3)( ArAr ?? , 方程組 有惟一 解 , 即 ?能表示成 321 , ???的線性組合 , 且表示法惟一 . 此時(shí)得方程組
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