20xx陳文燈考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解(理工)-高等數(shù)學(xué)ch7(參考版)
2024-09-08 10:08本頁(yè)面
【正文】 ??? ff ， . 將上式由 0到 x積分二次 , 得 ??? ??? ????? 1 222 )12(!)!22( !)!12()1(21)( n nn xnn nxxf , 即 ??? ??? ?????? 1 222 )12(!)!22( !)!12()1(21)( n nn xnn nxxf 當(dāng) 1??x 時(shí) , 考察數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ??? ???1 )12(!)!22(!)!12(n nnn . 由拉阿伯判別法 )12( 11101 221?????????? ?? nnnaannn 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 . 所以 ??? ??? ?????? 1 222 )12(!)!22( !)!12()1(21)( n nn xnn nxxf , [－ 1, 1] 八 . 把下列級(jí)數(shù)在指定點(diǎn)展成冪級(jí)數(shù) : 1. 231)(2 ??? xxxf在 40 ??x 處 解 . 2413412111231)(2 ????????????? xxxxxxxf = ??? ????????? ?????????0 11)4(3 12 1341 131241 121 n nnn xxx, (－ 6,－ 2) 2. xxf lg)( ? , 在 10?x 處 解 . ?????????????011)1()1(10ln 1)11l n(10ln 1ln10ln 1lg)(nnn nxxxxxf , (0, 2] 14 九 . 把下列函數(shù)分別展成正弦函數(shù)和余弦函數(shù) : 1. 2)( xxf ? , ( ?20 ??x ) 解 . 1. 偶展拓 3831132032020 ??? ?? ??? ? xdxxa ???????? ???? ??? ???????20202202202 2s i n22s i n22s i n22c o s1 dxnxxnxxnnxdxndxnxxa n =???????? ???? ??? ???????2020220220 2c o s2c o s82c o s82s i n4 dxnxnxxnnxxdndxnxxn =22 16)1(22c os28 nnnn??? ??? . 于是 ?? ???? ?????? 1 22102 2c os16)1(342c os2)( n nn n nxnnxaaxxf ?, [0, 2?] 2. 奇展拓 ???????? ?????? ??? ???????20202202202 2c o s22c o s22c o s22s i n1 dxnxxnxxnnxdxndxnxxb n = ???? ???? 2022 2s i n8)1(42 nxxdnn n ???????2031202021 2c o s168)1(2s i n2s i n88)1( nxnndxnxnxxnn nn ??????????? ???? ?? ? = ]1)1[(168)1(31 ???? ? nn nn ??. 當(dāng) kn 2? , kkb kk ?? 428)1( 122 ???? ? 當(dāng) 12 ?? kn , ?????? ????????? 32312 )12( 4128)12( 3212 8 kkkkb k ???? 15 ????? 12 2s in)( n n nxbxxf , (0, 2?) 2. ??? ?? xxxf 2)( 21 10 ?? ??xx 解 : 1. 偶展拓 12121)2()( 2110200 ??????? ??? dxxx dxdxxfa ??? ???? 211020 2c os)2(2c os2c os)( dxxnxdxxnxdxxnxfa n ??? = ]1)1[(222 ?? nn ? 當(dāng) kn 2? 時(shí) , 02 ?ka 當(dāng) 12 ?? kn 時(shí) , 2212 )12( 4 ????? ka k 于是 ??? ????0 22 )12(212c o s421)(k kxkxf ?? , (1 x 2) 2. 奇展拓 ??? ???? 211020 2s i n)2(2s i n2s i n)( dxxnxdxxnxdxxnxfb n ???= nn )1(8 22 ?? 于是 ?????1 222s in)1(8)(nn nxnxf?? , (1 x 2) 十 . 把下列函數(shù)展成付氏級(jí)數(shù) 1. ||c os21)( xxxf ?? , [－ ?, ?] 解 . |x|為偶函數(shù) , 將它展拓成以 2?為周期的周期函數(shù) . ?? ? ?? ?00 2 xdxa 16 ?? ?? ?? ?? 00 c os2c os)(2 nx dxxnx dxxfa n = ]1)1[(22 ?? nn ? 當(dāng) kn 2? 時(shí) , 02 ?ka 當(dāng) 12 ?? kn 時(shí) , ?212 )12( 4???? ka k 于是 ??? ????????2 2)12()12c os (4c os)421(2||c os21)(k kxkxxxxf ??? , [－ ?, ?] 2. ?????????22)(??xxf ???????????????xxx2222 解 : )(xf 為奇函數(shù) , 展拓成以 2?為周期的周期函數(shù) ??? ??? ???? ??? 2200 s i n2s i n2s i n)(2 nx dxnx dxxnx dxxfb n
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