20xx陳文燈考研數(shù)學復習指南習題詳解(理工)-高等數(shù)學ch7(編輯修改稿)
2024-10-10 10:08 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1 )1(n nna 發(fā)散 , 證明 : 級數(shù) ?????11 )1(n nnaa 收斂 . 2. 設正項數(shù)列 }{na , }{nb 滿足 0(11 ??? ?? ??nnnn baab為常數(shù) ), 證明 : 級數(shù) ???1n na收斂 . 證明 : 1. 因為正項數(shù)列 }{na 單調(diào)下降 , 且 ??? ?1 )1(n nna 發(fā)散 , 由萊布尼茲判別法 , aann ???lim 存在 , 且 0?a . 容易證明 : aan n ?? , .(反設存在 N, 使得 aaN? . 則 kNNN aaaa ?? ???? ?1 , 令 ??k , 得到 aaa N ?? , 矛 盾 ). 所以 a aaa aaaa nnn nnnn 1111 ??? ?????. 因為 ?????11nnn aaa 收斂 , 所以 ?????11 )1(n nnaa 收斂 . 2. 考 察 數(shù) 列 }{ nnab , 因為 0(11 ??? ?? ??nnnn baab為 常 數(shù) ), 所以0111 ??? ??? nnnnn aabab ?, 即該數(shù)列遞減有下界 , 于是 nnn ab??lim 存在 . 由此推出??? ???1 11 )(n nnnn abab 收斂 . ? 111 ??? ?? nnnnn ababa , 所以級數(shù) ???1n na 收斂 . 五 . 求下列級數(shù)的收斂域 : 1. ??? ??123 )1)(3(nnn xn 8 解 . ??? ?????? ?????? 12312123 )1()1(3)1)(3(nnnnnnnn xnxxn 第一個級數(shù)的收斂半徑為31, 第二個級數(shù)的收斂半徑為 1. 所以它們的共同收斂區(qū)域為)311,311( ?? . 考察端點 : 當311??x時 , 得 ?? ???? ? 131 31 n nnn 第一個級數(shù)發(fā)散 , 第二個級數(shù)收斂 . 所以該級數(shù)發(fā)散 . 原級數(shù)的收斂區(qū)域為 )311,311( ??. 2. ??????112 12)1(nnn nx 解 . 1||12 ||lim 212 ?????? xnxn nn, 于是 1|| ?x . 當 1?x 時 , 得 ??? ??1 121)1(nn n , 收斂 。當 1??x 時 , 得 ???? ??11 12 1)1(nn n , 收斂 . 于是原級數(shù)的收斂區(qū)域為 [－ 1, 1]. 3. ?????1122 12nnn xn 解 . 2||12 ||||2 12l i m 212 ???? ??? xxxnn nnn ，. 當 2??x 時 , 得數(shù)項級數(shù) ????1 212nn 及??? ??1 212n n , 通項都不趨于 0, 發(fā)散 . 該級數(shù)的收斂區(qū)域為 )2,2(? . 4. ??? ?????? ?1 21n nnn xx 解 . ??? ?????? ???????? ?111 212 1n nnnnn nnn xxxx 9 第一個級數(shù)的收斂區(qū)域 (－ 1, 1)。 第二個級數(shù)的收斂區(qū)域21|| ?x. 所以公共收斂區(qū)域為)121()211( ， ??? . 5. ??? ??129)1(n nnnx 解 . 19 |1|9 |1|lim22 ??????? xnxn nnn. 當 31 ???x 時得數(shù)項級數(shù) ???11n n, 發(fā)散 . 該級數(shù)的收斂區(qū)域為 (－ 2, 4). 6. ????1)5(nnnx 解 . 1|5||5|1lim ?????? xxnnnn. 當 15 ???x 時 , 得 ????1)1(nnn收斂 , 當 15??x 時 , 得 ???11n n發(fā)散斂 . 該級數(shù)的收斂區(qū)域為 [4, 6). 六 . 求下列級數(shù)的和 : 1. ??? ???0 )73)(43)(13(1n nnn 解 . ???? ?????? ????????? nknk kkkkkk 11 73143 213 1181)73)(43)(13( 1 = ?????? ??????????????? 73 143 213 113110271101724171421181 nnn? =24173 143 1411181 ??????? ????? nn. 所以 241)73)(43)(13( 10 ???????n nnn 2. ??? ?1 )(1n mnn 10 解 . ?????? ???? mnnmmnn 111)( 1. 令 n充分大 , ??n ??? ???????? ?????? ?????? nknnknn mkkmmkkmnn 111 11l i m1)( 1l i m)( 1 = ?????? ?????????? ?????????? mmmnnmm n 121111111211l i m1 ??? 3. ????? ??1121 12)1(nnn nx 解 . 1||12 ||lim 212 ?????? xnxn nn級數(shù)收斂 , 所以收斂半徑為 1. 當 1??x 時都得到交錯級數(shù) . 由萊布尼茲判別法知收斂 . 所以收斂區(qū)域為 [－ 1, 1].令 ?)(xs ????? ??1121 12)1(nnn nx . ?)(39。 xs 21221 1 1)1( xxnnn ???????? 所以 xdxxdxxsxs xx a rc t a
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